Теория меркаторской проекции.

Морские навигационные карты строятся в предположении, что Земля имеет форму эллипсоида вращения. М - главный радиус кривизны меридионального сечения, N - главный радиус кривизны перпендикулярного ему нормального сечения, а - большая полуось - радиус экватора.

На рис. 1 показаны элементарная трапеция, образованная дифференциальными дугами меридиана Мdφ, и параллели N*cosφd на земной поверхности; на рис. 2. - нормальная цилиндрическая проекция этой трапеции. Для простоты примем, что масштаб изображения по экватору равен единице, когда все меридианы в этой проекции изобразятся параллельными прямыми, причем отрезки параллелей между меридианами будут растянуты и равны длине дуги экватора. Чтобы проекция была равноугольной, необходимо сохранить равенство частых масштабов по меридиану и параллели: m=n или

.т.к. .Тогда .(*)

Проинтегрировав дифференциальное уравнение (*) от φ₁ до φ₂, найдем закон, определяющий растяжение меридианов на изображении, при котором обеспечивается равенство масштабов ( m= n).

Проинтегрировав уравнение (*) по φ в пределах от 0 до φ, найдем расстояние изображений параллели с широтой φ от экватора на карте в меркаторской проекции. Это расстояние обозначается буквой D и называется меридиальной частью; Решив это интегральное уравнение получим:

.Величина а может быть выражена в обычных линейных мерах, например в километрах, но для морских карт удобнее ее выразить через длину экваториальной минуты (мили): экв.мин. Для перехода от натуральных логарифмов к десятичным введем модуль:

.Т.е. (**)

Вычисленные по формуле (**) меридиональные части для эллипсоида даны в табл. 26 МТ—75 в экваториальных милях с точностью до 0,1 по аргументу широты с интервалом 1΄. Для нахождения промежуточных значений меридиональных частей для десятых долей минуты или секунды широты достаточно простого интерполирования, считая, что изменение меридиональных частей пропорционально изменению широты в пределах 1΄. Если принять Землю за шар, то Покажем теперь, что прямая линия на меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Напишем уравнение прямой, проходящей через точку b (x₀, y₀) наклонно к оси х под углом K, равным курсу: (y - y_о) = (х – x₀) tgK.

Подставим в полученное уравнение вместо х и у их выражения через φ и λ, принимая для простоты Землю за шар: у = а λ; x = D= lg tg(45˚+ φ/2)

Тогда

Данное уравнение показывает, что прямая линия на меркаторской проекции действительно представляет собой локсодромию.

Таким образом, проведенная на меркаторской проекции параллель в расстоянии D от экватора удовлетворяет оба требования, предъявляемые к навигационной карте, - меркаторская проекция конформна и локсодромия изображается на ней прямой линией.

Вопрос 13

Д альность видимости горизонта.Наблюдаемая в море линия, по которой море как бы соединяется с небосводом, называется видимым горизонтом наблюдателя.Если глаз наблюдателя находится на высоте е_М над уровнем моря (т. А рис. 2.13), то луч зрения идущий по касательной к земной поверхности, определяет на земной поверхности малый круг аа, радиуса D.

Это было бы верно, если бы Землю не окружала атмосфера.

Если принять Землю за шар и исключить влияние атмосферы то, из прямоугольного треугольника ОАа следует: ОА=R+e

Так как величина     чрезвычайно мала (для е = 50м при R = 6371км – 0,000004), то окончательно имеем:

Под действием земной рефракции, в результате преломления зрительного луча в атмосфере, наблюдатель видит горизонт дальше (по кругу вв).

(2.7)

Где х – коэффициент земной рефракции (≈ 0,16).Если принять дальность видимого горизонта D_e в милях, а высоту глаза наблюдателя над уровнем моря (е_М) в метрах и подставить значение радиуса Земли (R=3437,7 мили = 6371 км), то окончательно получим формулу для расчета дальности видимого горизонта

(2.8)

Дальность видимости ориентиров в море

Если наблюдатель, высота глаза которого находится на высоте е_М над уровнем моря (т. А рис. 2.14), наблюдает линию горизонта (т. В) на расстоянии D_е(миль), то, по аналогии, и с ориентира (т. Б), высота которого над уровнем моря h_М, видимый горизонт (т. В) наблюдается на расстоянии D_h(миль).

Из рис. 2.14 очевидно, что дальность видимости предмета (ориентира), имеющего высоту над уровнем моря h_М, с высоты глаза наблюдателя над уровнем моря е_М будет выражаться формулой:

(2.9)

Вопрос 14

С истемы счета направлений. Круговая система счетаКруговая система счета направлений является основной системой счета. В этой системе горизонт делится на 360° (рис. 2.3) и счет направлений ведется от 0° до 360° от северной части истинного меридиана наблюдателя N_И вправо по ходу часовой стрелки.

Если при расчете направлений получится значение более 360° (390°), то от результата следует вычесть 360° (т.е. один оборот 390° – 360° = 30°).

Круговая система счета направлений применяется в судовождении для определения направления движения судна (курс) и определения направления с судна на береговые ориентиры, соседние суда и пр. (пеленг).