Вопрос 12. Арифметические операции над числами с плавающей запятой.

Любое число N в системе счисления с основанием q можно записать в виде N=M*p^q , где M – множитель (мантисса), а p – целое число, называемое порядком. – Представления числа с плавающей точкой.

|M|<1, P-целое. Если 0,1≤ |M| < 1, то число нормализованное, иначе ненормализованное.

Операции выполняются над мантиссами и над порядками. Обязательна проверка нормализованности результата. Если произошло нарушение нормализации (нарушение влево при сложении – переполнение или нарушение вправо при умножении), то результат необходимо нормализовать (при нормализации изменяется порядок числа).

Сложение и вычитание.

1) выравнивание порядков (одинаковый порядок)

2) Сложение или вычитание (по правилам с фиксированной запятой).

3) проверка нормализованности результата.

Умножение.

При умножении двух нормализованных чисел их порядки складываются, а мантиссы перемножаются.

(0.11101 ^. 2¹⁰¹) ^. (0.1001 ^. 2¹¹) = (0.11101 ^. 0.1001) ^. 2^(101+11) = 0.100000101 ^. 2¹⁰⁰⁰.

Деление.

При делении двух нормализованных чисел из порядка делимого вычитается порядок делителя, а мантисса делимого делится на мантиссу делителя. Затем в случае необходимости полученный результат нормализуется.

0.1111 ^. 2¹⁰⁰ : 0.101 ^. 2¹¹ = (0.1111 : 0.101) ^. 2^(100–11) = 1.1 ^. 2¹ = 0.11 ^. 2¹⁰

Вопрос 13. Основные операции алгебры логики. Таблицы истинности

Алгебра логики — это раздел математики, изучающий высказывания, рассматриваемые со стороны их логических значений (истинности или ложности) и логических операций над ними.

Алгебра логики возникла в середине ХIХ века в трудах английского математика Джорджа Буля. Ее создание представляло собой попытку решать традиционные логические задачи алгебраическими методами.

Операции: унарные и бинарные.

НЕ Операция, выражаемая словом "не", называется отрицанием и обозначается чертой над высказыванием. Высказывание (А отриц) истинно, когда A ложно, и ложно, когда A истинно. Пример. "Луна — спутник Земли" (А); "Луна — не спутник Земли" (А отриц).

not A – Basic; !A – C#.

И Операция, выражаемая связкой "и", называется конъюнкцией или логическим умножением и обозначается точкой " " (может также обозначаться знаками ^ или &). Высказывание А В истинно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В истинны. Например, высказывание "10 делится на 2 и 5 больше 3" истинно, а высказывания "10 делится на 2 и 5 не больше 3", "10 не делится на 2 и 5 больше 3", "10 не делится на 2 и 5 не больше 3" — ложны.

A and B – Basic; A && B – C#.

ИЛИ Операция, выражаемая связкой "или" (в неисключающем смысле этого слова), называется дизъюнкцией или логическим сложением и обозначается знаком v (или плюсом). Высказывание А v В ложно тогда и только тогда, когда оба высказывания А и В ложны. Например, высказывание "10 не делится на 2 или 5 не больше 3" ложно, а высказывания "10 делится на 2 или 5 больше 3", "10 делится на 2 или 5 не больше 3", "10 не делится на 2 или 5 больше 3" — истинны.

A or B – Pascal и Basic; A || B – C#.

ЕСЛИ-ТО Операция, выражаемая связками "если ..., то", "из ... следует", "... влечет ...", называется импликацией и обозначается знаком ( ). Высказывание (А В) ложно тогда и только тогда, когда А истинно, а В ложно.

A IMP B – Basic.

РАВНОСИЛЬНО Операция, выражаемая связками "тогда и только тогда", "необходимо и достаточно", "... равносильно ...", называется эквиваленцией или двойной импликацией и обозначается знаком ( ) или ~. Высказывание истинно тогда и только тогда, когда значения А и В совпадают.

A EQV B – Basic; not(A XOR B) – Pascal; !(A^B) – C#.

Сложение по модулю 2  —  булева функция, которая соответствует логическому «исключающему ИЛИ». Это означает, что результат выполнения операции является истинным только при условии, если является истинным в точности один из аргументов. Такая операция естественным образом возникает в кольце вычетов по модулю 2, откуда и происходит название операции.

В естественном языке операция "сложение по модулю 2" эквивалентна двум выражениям:

1. "результат истинен (равен 1), если A не равно B (A≠B)"; 2. "если A не равно B (A≠B), то истина (1)".

 истинно, если истинно   или  , но не оба сразу.

A XOR B – Pascal; A ^ B – C#.

Таблица истинности - это табличное представление логической схемы (операции), в котором перечислены все возможные сочетания значений истинности входных сигналов (операндов) вместе со значением истинности выходного сигнала (результата операции) для каждого из этих сочетаний.

Логические операции производятся побитово, без переносов.