Тема 25, 26

Раціональна функція. розклад раціональної функції в суму елементарних дробів(Теорема про неї).

Раціональною ф-єю(алгебраїчним дробом) називається відношення 2-х многочленів. Ця ф-я визначена на всій числовій прямій, виключаючи нулі знаменника. Раціональну ф-ю Pn(x)/Qm(x), де Pn(x) – многочлен n-ного степеня, Qm(x) – многочлен степені m від змінної x називають правильним алгебраїчним дробом, якщо n<m, і неправильним алгебраїчним дробом, якщо n>=m. Будь-який алгебраїчний дріб можна представити у вигляді P/Q=S+P/Q, де S – многочлен(ціла частина неправильного алг дробу), P/Q – правильний алг дріб. Інтегрувати можна лише правильні алг дроби. Надалі будемо вважати всі дроби правильними. Правильні раціональні дроби вигляду коефіцієнтів, яка має єдиний розвязок.

Тема 27

Знаходження інтегралів від раціональних дробів.

Тема 28

Інтегрування тригонометричних функцій.

Тема 29

Визначений інтеграл

Допоміжні означення

Df 1. Нехай [ a,b] –відрізок,набір точок Х0,X1,…,Хn : a=X0 ; Х0<X<….Xn=b називаеться розбиттям відрізку [a,b]

Позначається:

ʎ([a,b]), ʎ

Df 2. Діаметром розбиття ʎ називаеться число │ ʎ│=max ∆Xk,де ∆Xk =Xk+1-Xk,k =0,n-1

Зауваження для будь якого k ∆Xk >0 ; ∑^n-1_k=0

Нехай ʎ-деяке розбиття відрізку [ а, b] Для кожного k =0 …. n -1 визначимо числа

mk=min {f(x),x є[Xk,X_k+1]}

Mk =max {f(x),x є [Xk,X_k+1]} , тоді

∑^n-1_k=0 mk ∆Xk -площа вписаної ступінчатої фігури

∑^n-1_k=0 Mk ∆Xk - площа описаної ступінчатої фігури

Очевидно ,що ∑^n-1_k=0 mk ∆Xk ≤ ∑^n-1_k=0 Mk ∆Xk

На кожному із відрізків [Xk,X_k+1] зафіксуємо ξk ,отримаемо набір точок ξk ,L, F відповідних ʎ.

Df 3. Інтегральною сумую для функції f, розбиття ʎ і набору ξk назив.

Число S(f, ʎ, ξk) =∑^n-1_k=0 f(ξk)•∆Xk

1. Визначений інтеграл.Класи інтегрованих ф-й.Властивості визначення ін-лу.

Df 4. Вказаний інтегралом ф-ї f[a,b] → R називаеться границя інтегральних сум.

lim_│ʎ│ S(f, ʎ, ξk) = lim_│ʎ│ ∑^n-1_k=0 f(ξk) ∆Xk= ∫^b _a f(x)dx,

якщо ця границя існує.

Позначення : ∫^b _a f(x)dx.

Тема 30

Класи інтегрованих функцій, властивості визначеного інтегралу.

30. Класи інтегрованих функцій, властивості визначеного інтегралу.

Класи інтегрованих функцій,для яких існує інтеграл:

Зауваження : Якщо функція f інтегрована на [a,b] то вона обмежена на цьому відрізку.

1. Якщо f монотонна на відрізку [a,b] то вона інтегрована на цьому відрізку.

2. Якщо f неперервна на [a,b] то вона інтегрована на [a,b].

3. Якщо f обмежена на [a,b] і має скінченну кількість точок розриву, то вона інтегрована на [a,b].

Властивості визначеного інтегралу:

1. Значення інтегралу не залежить від позначення змінної інтегрування

Тема 31

Основна формула інтегрального числення, заміна у визначеному інтегралі та інтегрування частинами.

31 Основна формула інтегрального числення(Ньютона – Лейбніца) , заміна у визначеному інтегралі та інтегрування частинами.

Теорема: Нехай функція f задовольняє умову:

3. f інтегрована на [a,b]

4. f має первісну на [a,b]

Нехай А – будь-яка первісна f на [a,b], тоді

Зауваження 1:

При замінні змінної у визначеному інтегралі умови заміни є такими ж,як і у відповідній теоремі для невизначених інтегралів. Особливість полягає в тому, що не має необхідності виконувати обернену заміну. Достатньо лише при кожній заміні змінити відповідним чином межі інтегрування.

Зауваження 2:

У визначеному інтегралі можна використовувати формулу інтегрування частинами. При цьому межі інтегрування не змінюються і слід запам’ятати, що для першої частини отриманого виразу застосувати формулу Ньютона – Лейбніца і надалі записувати цей доданок як число.