1. ПРЕДМЕТ І ЗНАЧЕННЯ ЛОтКИ

1.2 Значення логіки

2.1. Сутність та види понять

3. СУДЖЕННЯ

3.2. Класифікація суджень

5. Логічний вивід і проблема розв'язання

6.1. Безпосередні умовиводи

6.3. Індукція

7. Гіпотеза

8.1. Доведення

Мистецтво полеміки

10.2. Логіка Давньої Греції

10.5. Логіка нового часу

10.7. З історії логіки в Україні

Логіка - Тофтул:1. ПРЕДМЕТ І ЗНАЧЕННЯ ЛОтКИ1. ПРЕДМЕТ І ЗНАЧЕННЯ ЛОтКИ

Логіка - Тофтул:1.2 Значення логікиПевні категорії людей (а серед них і видатні мислителі) схильні недооцінювати, а то й ігнорувати значення формальної логіки. Одні з них вважали, ніби міркування людей можуть бути досконалими й без знання логіки, тому її в.ивчення — зайве чи принаймні малоефективне. Нігілістичне ставлення до логіки інших пояснюється їх антипатією до знеособленого відношення суб'єкта суворо логічного міркування до проблем, які розв'язуються за допомогою цих міркувань. Подібні погляди, звичайно, мають деякі, хоча й недостатні, підстави.

Справді, кожна людина володіє більш чи менш досконалою стихійно сформованою, інтуїтивною логікою. Без неї вона взагалі не могла б правильно міркувати, спілкуватися з людьми тощо. Та стихійно сформована логіка ніколи не може замінити свідомо засвоєних знань законів і форм мислення. По-перше, вона не завжди спроможна вирішувати ті проблеми, які постають перед людьми. А по-друге, лише незначний відсоток людей, які не вивчали логіки, має більш-менш задовільний рівень стихійно сформованої логічної культури.

Про необхідність вивчення курсу логіки свідчить той факт, що немало людей не можуть відрізнити правильні міркування від неправильних. Так, лише чоти-ри-п'ять відсотків студентів, які щойно починають вивчати курс логіки, здатні виявити логічну помилку в такому міркуванні: «У всіх містах за Полярним колом спостерігаються білі ночі, а Санкт-Петербург не лежить за Полярним колом; отже, в цьому місті не спостерігаються білі ночі». При цьому вони стверджують, що це міркування неправильне, оскільки тут не йдеться про міста, які не лежать за Полярним колом. Це правильна відповідь, характерна для людей з досконалою стихійно сформованою логічною культурою. Переважна ж більшість студентів логічну неправильність цього міркування вбачає в тому, що в Санкт-Петербурзі насправді спостерігаються білі ночі. Проте це істинне положення не має прямого відношення до правильності чи неправильності міркування. Хибність висновків може випливати не лише з неправильності міркування, а й з хибності засновків.

Розкриваючи проблему значення логіки, з'ясуємо, по-перше, яку роль відіграє вона як наука, а по-друге, яке значення має знання логіки як науки. З'ясовуючи перший аспект, треба зазначити, що рівень розвитку логіки постійно давався взнаки у всіх сферах наукового пізнання, а в кінцевому підсумку — і в практиці. Історія свідчить про нерозривний (хоча далеко й неоднозначний) зв'язок логіки з іншими науками, прогресом техніки і технології. Особливо переконливо цей зв язок виявляється в наш час. Один з відомих засновників кібернетики американський математик Н. Вінер вважав, що виникнення кібернетики було б неможливим без сучасної логіки. Автоматика і електронно-обчислювальна техніка, що застосовуються в кібернетиці, як відомо, використовують алгебру логіки, а в керуючих системах кібернетики важливу роль відігра-ють релейно-контактні схеми, які моделюють логічні операції.

Сучасна логіка проникає у нові галузі науки і техніки. При цьому досягнення логіки використовують в усіх галузях знання, бо вона досліджує загальні засади правильного міркування, зв'язки між засновками і висновками незалежно від того, з якої сфери пізнання взяті ці засновки. Важливо враховувати й те, що різні логічні системи (класична й некласична) і навіть різні розділи цих систем, особливо некласичної, виконують свої специфічні функції.

З'ясовуючи значення знання логіки як науки, треба насамперед зазначити, що воно підвищує загальну інтелектуальну культуру людини, сприяє формуванню логічно правильного мислення, основними рисами якого є чітка визначеність, послідовність, несупереч-ливість та доказовість. Освоєння логічної науки дає можливість свідомо будувати правильні міркування, відрізняти їх від неправильних, уникати логічних помилок, вміло й ефективно обґрунтовувати істинність думок, захищати свої погляди і переконливо спростовувати хибні думки та неправильні міркування своїх опонентів, сприяє удосконаленню стихійно сформованої логіки мислення. Завдяки логіці, особливо сучасній, людина прилучається до новітніх результатів логічних досліджень.

Необхідність знання логіки пояснюється вже тією обставиною, що вона досліджує загальнолюдські закони мислення, які діють у всіх галузях науки. Висока логічна культура громадян країни сприяє її прогресу в усіх сферах життя.

Логіка - Тофтул:2.1. Сутність та види понять

Поняття — форма мислення, яка відображає предмети в їх загальних та істотних ознаках.

Ознаками вважають усе те, чим предмети відрізняються один від одного або подібні між собою. Істотними називають таку сукупність ознак предмета, кожна з яких необхідна, а всі разом достатні, щоб відрізнити даний предмет (чи множину предметів) від будь-якого іншого. Так, знання того, що квадрат має ознаки ромба і прямокутника, дає можливість відрізнити його (квадрат) від будь-яких інших геометричних фігур.

Поняття та уявлення

Розкриваючи специфіку поняття, його порівнюють з іншими формами мислення (із судженням і умовиводом), а також з уявленням — найдосконалішою формою чуттєвого відображення дійсності. Може виникнути запитання: а чому не з відчуттями й сприйняттями? Тому, що уявлення значно подібніші до поняття, ніж відчуття і сприйняття. По-перше, останні виникають при безпосередньому контакті людини з предметами матеріального світу і тут же «згасають». А уявлення, як і поняття, постійно перебувають у свідомості людини. Щоправда, їх (уявлення) доводиться акту-алізовувати, піднімати з «архівів пам'яті», оскільки уявлення — це відтворення в пам'яті зовнішності тих предметів, які раніше сприймалися. Завдяки уявленням людина може вільно оперувати чуттєво-наочними образами предметів. А по-друге, уявлення — це чуттєві образи речей, які (образи) вже зазнали попередньої мисленої обробки.

Поняття, як і уявлення, відображають предмети, явища та їх ознаки. Проте між ними існують і суттєві відмінності. Прийнято вважати, що поняття відображає множину предметів, а уявлення — лише один предмет. Це, безумовно, стосується сприйняття. А з уявленням справа складніша вже хоча б тому, що в ньому наявний момент узагальнення. В уявленні, як правило, «стирається» індивідуальна неповторність сприйнять, а іноді відбувається і свідоме узагальнення, групування образів предметів у складне уявлення. До того ж, у логіці визнається факт існування одиничних понять, що зближує їх з уявленнями.

Поняття і уявлення різняться і за змістом. Часто поняття називають абстрактними, а уявлення — конкретними. Та конкретність образу передбачає не лише багатство відображених ознак (уявлення, як правило, відображає більше ознак, ніж поняття), а й їх координацію та субординацію. В уявленні ж відображені ознаки предметів координовані, але не субординовані, зокрема істотні ознаки тут не віддеференційовані від неістотних. Іншими словами, уявлення є «дифузійно»-конкретним.

Вважається, що поняття відображають ознаки, які є одночасно загальними, істотними, необхідними, внутрішніми та опосередкованими, а уявлення — одиничні, неістотні, випадкові, зовнішні, безпосередні; що в понятті мисляться й ознаки, недоступні для органів чуття; що зміст понять чітко окреслений; що завдяки поняттям людина глибше проникає в саму сутність речей, набуває здатності практично впливати на них, змінювати їх. Загалом це так, хоча в уявленнях, як уже зазначалося, присутній і момент узагальнення, і осягнення істотних ознак (принаймні умовно-істотних). Це собливо стосується уявлень, які супроводжують моральні, естетичні, політичні та інші оцінки.

Зміст уявлень має індивідуальний, суб'єктивний відтінок, оскільки залежить від власного життєвого досвіду, психічних особливостей людини тощо. Уявлення — це образи речей, які використовуються насамперед для «власного вжитку». А поняття з самого початку готуються для інших (а тому й для себе), для спілкування. З них елімінується (вилучається) все суб'єктивне. Вони мають загальнолюдський характер. Цьому сприяє і закріплення поняття за відповідним терміном. Уявлення ж не обов'язково об'єктивуються з допомогою мови, а коли й передаються засобами мови, то, як правило, багато втрачають у змісті, індивідуальній неповторності тощо.

Важко перебільшити роль уявлень у житті людини. Вони є тим матеріалом, «сировиною», з якої виготовляються мислені образи, зокрема й поняття. Завдяки уявленням людина впізнає предмети і явища, які раніше сприймала, розрізняє їх, орієнтується в матеріальному світі. Порівнюючи образи сучасного, дані у відчуттях і сприйняттях, з уявленнями про минуле і проникаючи подумки у майбутнє в його чуттєвому «вбранні», вона осягає плин часу. Людині постійно доводиться зіставляти зміст понять з відповідними уявленнями. Правда, в цій ситуації можлива помилка, яка виявляється зокрема в тому, що уявлення приймаються за поняття, чим створюється ілюзія наявності справжніх, тобто теоретичних, знань. І це треба брати до уваги.

Уявлення людини якісно відрізняються від уявлень тварин. В уявленнях людини містяться в «знятому» вигляді життєвий досвід, практика, а через них — і результат мисленого пізнання світу.

Поняття і слово (ім'я)

Мислення не існує поза матеріальною оболонкою. Такою оболонкою, безпосередньою дійсністю мислення є мова і мовлення1. Поняття виражається словом, словосполученням, а то й цілим реченням — називним. Слово є звуковим або графічним комплексом, за яким закріплені відповідне предметне значення (денотат) і

Чснує думка, що безпосередньою дійсністю мислення є не мова, а мовлення.

смисл, тобто думка. Смисл пов'язує слово з відповідним предметом, і слово виступає як безпосередній представник цього предмета, несучи в собі певне значення. Індиферентність звукового і графічного аспектів слова стосовно сутності предметів, які ним позначаються, дає можливість виділити й узагальнити властивості цих предметів. Слово має свій зміст (смисл) і значення. Його значенням є той предмет, який презентується цим словом. Два слова (чи групи слів) є тотожними за значенням, якщо вони позначають один і той самий предмет. Так, вирази «автор «Кобзаря» і «Т. Г. Шевченко» є тотожними і мають одне й те саме значення. Слово водночас виражає відповідний зміст (смисл). Останній не вичерпується змістом поняття. Річ у тім, що понять про один і той же предмет може бути й кілька. І всі вони можуть закріплюватися за одним і тим самим словом (скажімо, поняття «вода» для фізика і хіміка будуть різними за змістом). До того ж у поняттях відображаються лише загальні та істотні ознаки, а слово має презентувати предмет з будь-якими його ознаками, які цікавлять людину. Слова, які вживаються для вираження думок, повинні мати ясний зміст і чітке значення, інакше обмін думками між людьми буде неможливим чи принаймні малоефективним.

Щоб уникнути розбіжності в тлумаченні значень уживаних слів, кожна наука виробляє свою термінологію.

Термін — слово чи група слів, які позначають один предмет (чи певну групу предметів) і вживаються в даній науці з одним чітко визначеним значенням і відповідним змістом.

Науковий термін позначає певний предмет (чи клас предметів) і виражає поняття про нього. Сукупність термінів, які вживаються в тій чи іншій науці, становить її термінологію.

Оскільки поняття поза словом не існує, може скластися думка, ніби вони перебувають у винятково Жорсткому взаємозв'язку, навіть у відношенні тотожності. Проте поняття і слово відрізняються за своєю Риродою (слово матеріальне, а поняття ідеальне), і зв язок між ними певною мірою умовний. Про це свід-ить і те, що одні й ті самі поняття в різних націо-альних мовах позначаються різними словами; і наяв-сть таких явищ, як омонімія та синонімія; і те, що одне поняття нерідко виражається не одним словом, а цілим словосполученням.

Оскільки в сучасній логіці створено цілу теорію імен, ознайомимося з її елементами. Ця потреба зумовлена й тим, що розуміння слова, як воно щойно було охарактеризоване, не повністю збігається з визначенням поняття «ім'я»: «Ім'я» — нелогічний термін, який позначає будь-який предмет або клас предметів»

З теорії імен

Всі осмислені вирази природної мови можна розглядати як знаки, які є носіями імен.

Ім'я — вираз природної чи штучної, формалізованої мови, що позначає окремий предмет чи клас предметів (денотат).

При цьому під предметом розуміють усе те, що може бути об'єктом думки — речі, явища, процеси, властивості та відношення як реально існуючих предметів (чи тих, що існували), так і уявних, які або поки що не існують, або в принципі не можуть існувати. Не позначивши предмети відповідними іменами, люди не можуть не тільки спілкуватися, але й мислити (на теоретичному рівні).

Між іменем і його денотатом існує відношення іменування, тобто ім'я називає, найменовує свій денотат. Позначаючими (іменами) виступають слова, словосполучення, речення, а позначуваними — окремі предмети або класи предметів. Причому один і той самий денотат може мати різні імена. Так, ім'я «автор повісті «Тіні забутих предків» та ім'я «український письменник, друг М. Горького» вказують на одну особу — М. Коцюбинського. Що ж дає можливість пов'язувати в кожному окремому випадку певне ім'я з відповідним предметом (денотатом)? Річ у тім, що в процесі іменування задіяний якийсь посередник, завдяки якому і створюється можливість користуватися іменами та знаходити і відрізняти одні предмети від усіх інших. Цим посередником є певне знання про позначуваний предмет, яке називається смислом (концептом) імені. Смисл і значення (денотат) становлять зміст імені. Значення мають лише ті імена, які позначають існуючі чи ті, що існували, предмети («Рим»,

«кенгуру», «динозавр»). Уявні імена тільки символічно щось позначають, оскільки позначуваних ними предметів не існує (поки що не існує — «людина, яка вперше побувала на Марсі», або їх існування взагалі неможливе — «вічний двигун», «відьма», «абсолютно чорне тіло»). Стосовно смислу, то його мають усі імена. Оскільки саме смисл пов'язує ім'я з предметом, то виявлення смислу є винятково важливим. Логіку в теорії імен цікавить питання про зв'язок імен з предметами, які ними позначаються, зокрема співвідношення смислу імені й змісту поняття, залежність логічного значення висловлювання від значень імен, що є його складовими, тощо.

При побудові логічних систем прагнуть, аби відношення іменування відповідало таким принципам:

1. Принцип однозначності: ім'я повинно мати лише один денотат, тобто позначати один предмет чи клас предметів. У природних мовах цей принцип часто порушується через багатозначність і невизначеність слів і виразів. Тому необхідно прагнути, щоб принаймні в межах одного контексту наші слова і вирази стосувались одних і тих самих предметів. Що ж до спеціалізованих мов, зокрема мов науки, то тут можна і потрібно домагатися того, щоб кожне ім'я мало одне-єдине значення і один смисл. В іншому разі на нас чекають логічні помилки.

2. Принцип предметності: зв'язки та відношення, які виражає складне ім'я, є зв'язками та відношеннями не між іменами-складниками, а між предметами, які позначаються простими іменами, що входять до цього складного імені. Тобто складне ім'я виражає зв'язки між значеннями простих імен. Будь-яке висловлювання говорить про денотати тих виразів, що є його складовими. Так, у висловлюванні «Тбілісі — місто» йдеться про Тбілісі і про місто, а не про їх імена.

Принцип предметності здається простим, навіть очевидним, проте існують ситуації, за яких можливе порушення цього принципу. Це виявляється, зокрема, ототожнюванні мовного виразу з висловлюванням пРо цей же мовний вираз. Розглянемо, наприклад, таке міркування:

Автомобіль — транспортний засіб.

Автомобіль» — слово.

Отже, деякі слова є транспортними засобами.

У першому судженні ім'я «автомобіль» позначає відповідний вид транспортних засобів, а в другому — іменує саме себе. Це може призвести до плутанини.

3. Принцип взаємозамінюваності: якщо два імені мають одне і те ж предметне значення (один і той самий денотат), то будь-яке з них можна замінити другим, при цьому висловлювання не змінить свого іс-тиннісного значення. Наприклад, ім'я «Амазонка» можна замінити іменем «найповноводніша в світі ріка». І якщо у висловлюванні «Амазонка протікає в Південній Америці» замінити ім'я «Амазонка» на ім'я «найповноводніша в світі ріка», то нове висловлювання «Найповноводніша в світі ріка протікає в Південній Америці» не змінить свого істиннісного значення, тобто воно, як і перше висловлювання, буде істинним.

Принцип взаємозамінюваності ще називають принципом екстенсіональності (від «екстенсія» — обсяг), бо він є основою для розрізнення двох видів контексту — екстенсіонального та інтенсіонального (від «інтенсія» — смисл).

Екстенсіональний контекст — контекст, в якому важливі тільки денотати мовних виразів, котрі до нього входять. Предметне значення такого контексту залежить лише від предметних значень імен-складни-ків. У цих контекстах принцип взаємозамінюваності зберігається, бо заміна імен з однаковими денотатами не спричиняє зміни значення істинності висловлювання, в якому здійснена така заміна імен.

Інтенсіональний контекст — контекст, в якому важливими є не тільки денотати мовних виразів, які до нього входять, а й їх смисл. Предметне значення такого контексту залежить як від предметного, так і від смислового значення імен, що входять до його складу. Тому принцип взаємозамінюваності в таких контекстах порушується, оскільки заміна імен з однаковими денотатами призводить до зміни значення істинності висловлювання, в якому здійснено заміну імен.

їнтенсіональними є контексти, що містять пряму мову; так звані прагматичні контексти, до складу яких входять терміни, що виражають відношення людини до предметів, — «хоче», «сумнівається», «знає», а також деякі контексти, в яких виражаються необхідні зв'язки між явищами.

Залежно від обраної основи поділу імена можна поділити на відповідні види: імена, денотати яких існують чи існували («повні» імена), і так звані порожні імена, в яких відсутні денотати; названі імена, у свою чергу, можна поділити на одиничні та загальні, конкретні та абстрактні тощо.

Прикладом «повних» імен можуть бути «Г. Сковорода», «І. Драч», «океан», «рослина», а прикладом порожніх — «Зевс», «античне божество», «жінка, яка побувала на Місяці».

Здавалося б, що в розумінні одиничних і загальних імен немає ніяких труднощів. Та й визначення цих видів імен досить банальне (одиничне ім'я — ім'я, денотатом якого є один предмет; загальне ім'я — ім'я, денотатом якого є клас однорідних предметів). Проте Б. Расел знайшов і тут певну проблему. Так, на його думку, слово «людина» позначає не множину людей, а невизначену людину. І тут є доля істини.

Зміст і обсяг понять

Кожне поняття має зміст і обсяг.

Зміст поняття — сукупність істотних і загальних ознак, які в ньому мисляться.

Так, у понятті «паралелограм» мисляться такі ознаки: чотирикутність (родова ознака) і попарна паралельність сторін (видова ознака).

Обсяг поняття — множина, клас предметів, кожен з яких є носієм ознак, що становлять зміст поняття.

Так, окремими предметами (елементами обсягу), які мисляться в понятті «ліс», є не дерева, оскільки жодне з них не має ознак лісу, а окремі ліси — Чорний ліс, Овруцький ліс тощо.

Між змістом і обсягом поняття існує взає-Мозв язок, який називається законом зворотного відношення (змісту і обсягу). Згідно з цим законом, чим ідніший зміст поняття (тобто чим абстрактніше оняття, чим менше в ньому мислиться ознак), тим иршим (а отже, невизначенішим) є його обсяг. І, авпаки, чим багатший зміст поняття, тим вужчим і

Обсяг так званих нульових понять є уявним. визначенішим є його обсяг. До речі, цей закон діє між поняттями, які перебувають у родово-видових відношеннях. Відомі логічні операції узагальнення і обмеження понять (сутність яких буде розкрито нижче) ґрунтуються на цьому законі.

Види понять

Важливою проблемою логіки є класифікація понять, завдяки якій вони систематизуються. Наслідком цього є мислене упорядкування предметного світу, орієнтованого на його (світу) об'єктивну упорядкованість.

Найбільша відмінність існує між тими поняттями, в яких відображаються реально існуючі (чи ті, що існували) предмети, і тими, в яких мисляться уявні предмети, — так званими нульовими поняттями. Останні ще називають поняттями з порожнім обсягом або просто — порожніми, а протилежні — непорожніми.

Непорожнє поняття — поняття, в якому мисляться реально існуючі (або ті, що існували) предмети.

Наприклад: «Токіо», «Карфаген», «Ярослав Мудрий», «океан», «слон», «мамонт».

Порожнє поняття — поняття, в якому мисляться предмети, котрих або ще не було й немає, або ніколи не буде.

Наприклад: «людина, яка побувала на Марсі», «лікар, здатний перемогти ракову хворобу на будь-якій стадії її перебігу», «вічний двигун», «античне божество», «абсолютно чорне тіло». Не тільки непорожі, а й порожні поняття поділяють за обсягом і змістом.

За обсягом, тобто за кількістю предметів, які в них мисляться, поняття поділяють на загальні й одиничні.

Загальне поняття — поняття, в якому мислиться два чи більше предметів.

Наприклад: «полюс Землі», «планета Сонячної системи», «елементарна частка», «відьма», «вічний двигун».

Одиничне поняття — поняття, в якому мислиться один-єдинии предмет.

Наприклад: «найдовша на Землі ріка», «Чернівецький державний університет», «найповноводніша ріка на Місяці», «Коростенський державний педагогічний інститут».

Усі поняття, незалежно від того, до якого з перелічених видів і підвидів вони належать, поділяються на збірні і незбірні.

Збірне поняття — поняття, в якому кожен елемент обсягу є сукупністю відносно самостійних предметів, що мисляться як один предмет («сузір'я», «сузір'я Водолія»; «оркестр двадцять другого століття»). Всі інші належать до незбірних.

Обравши відповідну основу поділу, перелічені види понять у свою чергу можна поділити на підвиди. Так, загальні поняття поділяють на реєструючі, в обсязі яких мислиться скінченна, обчислювана множина предметів («пора року», «обласний центр України»), і нереєструючі, обсяг яких не піддається обчисленню («елементарна частка», «небесне тіло»).

Залежно від того, мисляться в поняттях ознаки разом з їх носіями (предметами) чи ізольовано від них, вони поділяються на конкретні й абстрактні.

Конкретне поняття — поняття, в якому мисляться ознаки з їх носіями, тобто відповідними предметами.

Абстрактне поняття — поняття, в якому мислиться ознака, ізольована від її носія.

Так, у понятті «геніальна людина» мисляться і ознаки, притаманні геніальним людям, і носії цих ознак — геніальні люди, а в понятті «геніальність» відповідна ознака відділяється свідомістю від її носія і мислиться як щось окреме, як самостійний предмет думки (як це парадоксально не звучить). Тому поняття «геніальна людина» належить до конкретних, а «геніальність» — до абстрактних.

Поняття поділяють ще на позитивні й негативні.

Позитивне поняття — поняття, в якому виражається наявність у предмета певних ознак.

Негативне (заперечне) поняття — поняття, й якому виражається відсутність у предмета ознак, що становлять зміст відповідного позитивного поняття.

Прикладами позитивних понять можуть бути «доб-Рий», «красивий», «скупий», а негативних — «недобрий», «некрасивий», «нескупий». Зміст негативного Поняття не можна визначити без знання змісту відпоного йому позитивного.

В одних і тих самих поняттях одночасно відображаються і предмети, і їх зв'язки зі світом. Про це свідчить хоча б наявність у змісті переважної більшості понять родових ознак, характерних для кожного елемента їх обсягу. Проте у формальній логіці до певної міри абстрагуються від цієї істини, жорстко поділяючи поняття на безвідносні й співвідносні.

Безвідносне поняття — поняття, що відображає предмет, з існуванням якого не пов'язується необхідне існування будь-яких інших предметів.

Співвідносне поняття — поняття, що відображає предмети, існування яких немислиме без існування деяких інших предметів.

Прикладами перших можуть бути «прокурор», «дерево», «прислівник», а других — «мати», «сват», «командир». Види понять наведено на схемі 1.

Відношення між поняттями

У процесі пізнання виникає потреба зіставляти поняття за змістом і обсягом. Порівнюючи поняття за змістом, можна дійти висновку, що одні з них мають спільні ознаки, а інші не мають. Перші називають порівнянними («жито» і «ячмінь», «людина» і «вчитель», «істина» і «хиба»), а другі — непорівнянними1 («електрон» і «кохання», «мораль» і «хімічний елемент», «рослина» і «політика»).

Порівнянні поняття зіставляють за обсягом.

Сумісні поняття — поняття, обсяг яких збігається принаймні частково.

Несумісні поняття — поняття, обсяг яких зовсім не збігається.

Залежно від характеру збігу обсягів сумісні поняття поділяються на тотожні (рівнозначні), перехресні (відношення неповного збігу обсягів, перетину) і відношення підпорядкування.

Тотожні (рівнозначні) поняття — поняття, які повністю збігаються за обсягом.

Так, у поняттях «квадрат» і «прямокутний ромб» увага акцентується на різних ознаках, проте всі вони належать предметам однієї й тієї ж множини. Тому ці поняття є тотожними.

Відношення тотожності зображують за допомогою двох кругів, які повністю збігаються (схема 2).

Перехресні поняття — поняття, обсяг кожного з яких має лише частину спільних елементів.

Наприклад, «студент» і «волейболіст». Графічно відношення цього типу зображається у вигляді двох кругів, які частково збігаються. Зображене на схемі можна передати такими трьома поняттями: «студент-волейболіст», «студент-неволейболіст» і «волейболіст-нестудент» (схема 3).

Поняття, що перебувають у відношенні підпорядкування, —

такі два поняття, обсяг одного з яких повністю входить до обсягу другого, а обсяг другого — лише частково до обсягу першого (схема 4).

У такому відношенні перебувають поняття «поет» і «митець», «нейтрон» і «елементарна частка», «адвокат» і «юрист».

Перші в перелічених парах понять називаються підпорядкованими, а другі — підпорядковуючими. Вони співвідносяться як вид і рід. Це відношення треба відрізняти від іншого відношення — частини і цілого. Так, поняття «хвойний ліс» і «ліс» перебувають у відношенні підпорядкування, а «дерево» і «ліс» — у відношенні частини і цілого. Ці поняття несумісні, оскільки жодне дерево не є лісом, а ліс — деревом.

Несумісні поняття невиправдано поділяють на спів-підпорядковані, протилежні і суперечні. Проте такий поділ не узгоджується з вимогами логіки, оскільки всі несумісні поняття належать до співпідпорядкованих. Це пояснюється тією обставиною, що вони як порівнянні мають спільну родову ознаку, належать до одного роду, якому вони підпорядковуються як видові щодо нього. Зазначене стосується як тих понять, що визнаються півпідпорядкованими (наприклад, «ячмінь» і «овес»), так і тих, які невиправдано виключають із співпідпорядкованих («білий» і «чорний», «білий» і «небілий»). Всі наведені пари понять є співпідпорядкованими, тобто разом підпорядкованими поняттям «злакова культура» (перший випадок) і «колір» — другий і третій випадки.

Інша річ, що порівнянні несумісні поняття, спів-підпорядковані стосовно родового, між собою перебувають у різних відношеннях. В одному випадку вони виступають як більш чи менш нейтральні одне до одного («ячмінь» і «овес»), а в іншому — перебувають у певному протистоянні («білий» і «чорний», «білий» і «небілий»). І перші, й другі потребують якоїсь назви. Оскільки ж відповідних термінів ще немає, можна б назвати перші — нейтрально співпідпорядкованими, а другі — антагоністично співпідпорядкованими. Спів-підпорядковані нейтрально поняття утворюються внаслідок поділу за видотвірною ознакою, а їх число може бути різним, від двох до нескінченності. Антагоністично співпідпорядковані поняття відрізняються від них як основою поділу, так певною мірою і кількістю членів поділу. Маючи подібність, антагоністично співпідпорядковані поняття разом з тим і ізняться між собою, що є підставою для їх поділу на протилежні та суперечні.

Протилежні поняття — порівнянні несумісні поняття, видові ознаки яких взаємно виключаються.

Зміст протилежних понять має спільну родову ознаку, тому вони й належать до співпідпорядкованих. Обсяги двох протилежних понять не вичерпують обсягу родового стосовно них поняття. До обсягу відповідного родового поняття входить ще й обсяг третього, «проміжного». Так, поняття «білий» і «чорний» мають спільну родову ознаку — «бути кольором». А видові ознаки цих понять взаємно виключаються (жоден білий предмет не має ознак чорного). Разом з тим, крім білих і чорних, існують й інші предмети.

Суперечні поняття — порівнянні несумісні поняття, в одному з яких мисляться предмети з певними ознаками, а в другому — ті предмети відповідної предметної сфери, в яких ці ознаки відсутні, а наявність інших ознаку них не мислиться.

Іншими словами, у відношенні суперечності перебувають позитивне і відповідне йому негативне (заперечне) поняття. На відміну від протилежних два суперечних поняття повністю вичерпують обсяг відповідного родового стосовно них поняття. Суперечні поняття, подібно до протилежних, співпідпорядковані. Вони є результатом дихотомічного поділу, чого не можна сказати про протилежні поняття. Якщо нейтрально співпід-порядкованих понять може бути скільки завгодно, то кількість антагоністично співпідпорядкованих дорівнює двом. Два суперечних поняття вичерпують обсяг відповідного їм родового, а обсяг двох протилежних понять не вичерпує обсягу родового стосовно них поняття. В останньому мислиться ще одна, «проміжна», множина предметів, яка не відображається в жодному з протилежних понять.

Про умовність відмінності різновидів несумісних понять свідчить хоча б те, що одного разу поняття «колір предмета» поділяється на підмножини, кожній з яких відповідає певний колір; другого разу — на «білі і чорні», а решта зараховується до проміжних за кольором; третього разу — виділяються предмети одного кольору, а всі інші об'єднуються у широку і невизначену множину (в нашому випадку — в множину небілих). Відношення між поняттями зображене на схемі 5.

Визначити родове поняття (і відповідне ім'я) стосовно суперечних і протилежних понять загалом складніше, ніж здійснити аналогічні операції стосовно нейтрально півпідпорядкованих понять. Скажімо, утворення суперечного поняття абсолютно не залежить від знання змісту та обсягу відповідного родового поняття. Так, не знаючи ні змісту, ні обсягу поняття «матеріаліст», а виходячи лише із знання відповідного слова (імені), приєднаємо до цього слова частку «не» і одержимо нове слово (ім'я) і нове поняття, яке позначається цим словом, — «нематеріаліст». Захищаючись від закидів мовознавців, які можуть не погодитися з нашим правом на словотворення, можемо поступитися в цьому разі лише тим, щоб частка «не» в деяких випадках писалася через дефіс. Окремо ж у такій ситуації вона писатися не може, оскільки виступає тут складовою частиною відповідного терміна і виконує роль префікса.

Графічне зображення відношення між обсягами несумісних понять пов'язане з певними труднощами. Це стосується насамперед двох нейтрально співпідпоряд-кованих понять, які вичерпують увесь обсяг відповідного родового поняття. Подібна схема (схема 6) нічим не буде відрізнятися від схеми суперечних понять.

Логіка - Тофтул:3. СУДЖЕННЯ3. СУДЖЕННЯ

Логіка - Тофтул:3.2. Класифікація судженьЗалежно від обраної основи (принципу) поділу судження поділяють на різні види — прості й складні, категоричні й некатегоричні (спеціального терміна для позначення останніх поки що немає). Названі види у свою чергу можна поділити на підвиди тощо (див. схему 13).

Простими називають судження, структура яких виражається формулами «S є (не є) Р» або «аії>», «і? (а, Ь)і>, а складними — ті, що містять два чи більше простих.

Прості судження

Жодну частину простого судження не можна вважати самостійним судженням. У суб'єкті такого судження мислиться певна множина предметів, а в предикаті — властивість, яка належить чи не належить цим предметам, або відношення між ними. Наприклад: «М. Коцюбинський — видатний український письменник»; «Життя на Марсі не існує»; «Місто Одеса більше за Херсон».

Прості судження за змістом предиката поділяють на атрибутивні та судження про відношення.

Атрибутивне судження — судження, в якому стверджується чи заперечується наявність певних властивостей у предметів.

Одним із різновидів атрибутивних суджень є судження існування, або екзистенційні. До них належать ті судження, в яких констатується наявність чи відсутність у предметів думки їх найзагальнішої властивості (атрибуту) — буття. Прикладом такого судження може бути наведене нами судження про відсутність життя на Марсі.

До складу атрибутивного судження входять суб'єкт (S) і предикат (Р), які є логічними змінними і можуть бути замінені тими чи іншими предметними постійними, а також зв'язка, яка виконує роль логічної постійної і виражається словами «є», «не є», «суть», «не суть», «належить», «не належить» тощо. Формула атрибутивних суджень «S є (не є) Р».

Судження про відношення — судження, в якому відображено зв'язки між предметами та відношення (за розміром, положенням у просторі, послідовністю в часі тощо).

Наприклад: «Тетяна — сестра Юлії»; «ріка Синюха більша за річку Вись»; «Кіровоград знаходиться південніше від Києва».

Категоричні судження та їх види

Категоричне судження — судження, в якому констатується наявність чи відсутність властивості предмета безвідносно до будь-яких умов.

За кількістю, тобто за обсягом суб'єкта, категоричні судження поділяють на загальні («Всі люди мають свідомість»); часткові («Деякі люди — талановиті») та одиничні («Гегель — геніальний мислитель»).

Загальне судження — судження, в якому за кожним мислимим у суб'єкті елементом множини стверджується чи заперечується певна ознака.

Формула загального судження — «Всі S є Р» або «Жодне S не є Р». У сучасній логіці замість кванторних слів «всі», «жоден» (а також «будь-який», «кожен» тощо) вдаються до квантора загальності, який позначається знаком «V». Якщо названі кванторні слова відсутні, а суб'єкт судження не є одиничним поняттям, то таке судження раціональніше розглядати як часткове, приєднавши до нього слова «принаймні деякі». Так, нічого не знаючи про гриби і одержавши інфорМацію про наявність отруйних грибів, коректно буде сформулювати одержані знання у формі судження «Принаймні деякі гриби — отруйні».

Часткове судження — судження, в якому міститься знання про наявність або відсутність певної ознаки у частини предметів, що мисляться в суб'єкті, а про наявність цієї ознаки в решті цих предметів може бути відомо, що вона відсутня, або нічого не відомо.

Перші з названих суджень називають визначеними, другі — невизначеними. Прикладом визначеного може бути судження «Тільки деякі люди не розрізняють кольори», а прикладом невизначеного — «Деякі метали тонуть у воді» («Метали тонуть у воді»).

Невизначене часткове судження (традиційно його називають просто частковим) висловлюється в тих випадках, коли відомо, що деякі предмети певного класу мають чи не мають певну властивість, але ще не встановлено, що цю ознаку мають (не мають) також усі інші предмети цього класу. Слово «деякі» вживають у значенні «принаймні деякі» (тобто «деякі», а, можливо, і всі»). Якщо ця невизначеність усувається, тобто встановлюється, що названа в частковому судженні властивість характерна тільки для деяких предметів або для всіх предметів відповідного класу, то часткове судження стає або визначеним частковим, або, відповідно, загальним судженням. Так, невизначене часткове судження «Деякі гриби — отруйні» при додатковій інформації перетворюється на визначене часткове судження «Тільки деякі гриби — отруйні», а невизначене часткове судження «Деякі метали — електропровідні» («Метали — електропровідні») перетворюються на загальностверджувальне — «Всі метали — електропровідні».

Роль кванторного слова в часткових судженнях відіграють такі слова: «деякі», «більшість», «меншість», «існують і такі..., які» тощо. В сучасній логіці замість цих кванторних слів вдаються до квантора існування, який позначається знаком «З».

Одиничне судження — судження, суб'єктом якого є одиничне поняття.

Наприклад: «Ужгород — обласний центр».

Структуру загального судження можна передати з допомогою формули «Всі S є (не є) Р», часткового — «Деякі S є (не є) Р», а одиничного — «Дане S є (не є) Р».

За якістю, тобто за характером зв'язки, судження поділяють на стверджувальні та заперечні. У стверджувальних судженнях обсяг суб'єкта включається до обсягу предиката, а в заперечних — виключається.

Стверджувальне судження — судження, в якому констатується наявність ознаки у певного предмета (чи множини предметів).

Заперечне судження — судження, в якому констатується відсутність певної ознаки в предметах, які мисляться в суб'єкті судження.

Загалом заперечні судження несуть меншу інформацію, ніж стверджувальні. Саме тому в логіці існує правило визначення понять, згідно з яким визначення повинне бути стверджувальним.

Види суджень за кількістю та якістю

Якщо за основу поділу суджень брати і кількість, і якість, то всі категоричні судження можна поділити на чотири види — загальностверджувальні, загальнозапе-речні, частковостверджувальні і частковозаперечні.

Загальностверджувальне судження — судження, в якому констатується наявність певної ознаки у кожного предмета, який мислиться в суб'єкті судження.

Наприклад: «Всі ссавці мають відчуття». Оскільки в одиничних судженнях йдеться про «всі» предмети, які в ньому мисляться, то вони нагадують загальні. Принаймні, немає жодних підстав для того, щоб включати одиничні судження до часткових.

Загальнозаперечне судження — судження, в якому констатується відсутність ознаки у кожного предмета, який мислиться в суб'єкті цього судження.

Наприклад: «Жодна комаха не має свідомості».

Частковостверджувальне судження — судження, в якому констатується наявність певної ознаки в частини предметів, які мисляться в його суб'єкті.

Наприклад: «Більшість металів тоне у воді». Частковостверджувальне судження є частковим за кількістю і стверджувальним за якістю.

Частковозаперечне судження — судження, а якому констатується відсутність ознаки в певної частини предметів, які мисляться в його (судження) суб'єкті.

Наприклад: «Деякі метали не тонуть у воді». Частковозаперечне судження є частковим за кількістю і заперечним за якістю.

Усі неодиничні судження, в яких відсутні кванторні слова «всі», «жоден» і подібні їм, краще вважати частковими.

Названі різновиди категоричних суджень прийнято позначати буквами -— А, Е, І, О. Загал ьностверджу-вальне судження («Всі S є Р») позначається буквою А, загальнозаперечне — Е, частковостверджувальне — /, а частковозаперечне — О. Букви для позначення цих різновидів категоричних суджень узяті з латинських слів «affirmo» (стверджую) і «пего» (заперечую). Голосними першого латинського слова позначають різновиди стверджувальних суджень, а голосними другого — різновиди заперечних.

Розподіленість термінів у категоричних судженнях

Суб'єкт і предикат судження називають його термінами. З точки зору формальної логіки винятково важливо знати, яка інформація насправді наявна в судженні, а яка відсутня, але з тих чи інших причин може домислюватися тим, хто ЇЇ отримує. Ця проблема розв'язується з допомогою понять «розподілений термін» і «нерозподілений термін».

Розподілений термін — термін, який мислиться в повному обсязі, тобто обсяг якого повністю включається в обсяг іншого або повністю з нього виключається.

Так, у судженні «Всі паралелограми — чотирикутники» суб'єкт, безумовно, є розподіленим, тобто мислиться в повному обсязі, повністю включається своїм обсягом в обсяг поняття «чотирикутники». Це засвідчує вже кванторне слово «всі». Те саме можна сказати і про суб'єкт будь-якого загальностверджувального і загальнозаперечного судження. У судженні «Жоден хімічний елемент не є складною речовиною» суб'єкт («хімічний елемент») є розподіленим, оскільки всі хімічні елементи в цьому судженні мислено виключаються із множини складних речовин. Про це свідчить і кванторне слово «жоден», яке в контексті квантора загальності ототожнюється з кванторним словом « усі».

Явно нерозподіленим є суб'єкт часткового визначеного судження. Так, у судженні «Тільки деякі метали тонуть у воді» суб'єкт, безумовно, нерозподілений. Про це свідчить словосполучення «тільки деякі», яке означає, що суб'єкт цього судження мислиться не в повному обсязі, тобто його обсяг і не повністю включається в обсяг предиката («те, що тоне у воді»), і не повністю виключається.

Нерозподілений термін — термін, обсяг якого тільки частково включається в обсяг другого або лише частково виключається з нього.

Розглянемо розподілення термінів у судженнях типу А, І, Е, О.

1. У загальностверджувальних судженнях типу А (формула «Всі S є Р» ) суб'єкт завжди розподілений, а предикат у більшості випадків — нерозподілений. Оскільки обсяг суб'єкта загальностверджувального судження повністю включається в обсяг предиката, останній може бути або рівним обсягу суб'єкта, або ширшим від нього. В першому випадку предикат буде розподіленим, у другому — нерозподіленим. Поза контекстом суто формально-логічними засобами встановити розподіленість чи нерозподіленість предиката загальностверджувального судження неможливо. За цієї ситуації раціонально вважати цей термін невизначеним за своєю розподіленістю.

2. У частковостверджувальному судженні типу І («Деякі S є Р») розподіленість і суб'єкта, і предиката не можна визначити суто логічними засобами, тобто за структурою. Винятком тут є визначені часткові судження, в яких суб'єкт завжди нерозподілений. Прикладом такого судження може бути вислів: «Тільки деякі люди розрізняють кольори». Тут обсяг суб'єкта судження лише частково включається в обсяг поняття «ті, хто розрізняє кольори», тобто суб'єкт тут мислиться не в повному обсязі. Можна стверджувати (щоправда, не на логічних, формальних, а на змістовних підставах), що як суб'єкт, так і предикат частко-востверджувальних суджень у більшості випадків є нерозподіленим. Суб'єкт частковостверджувального судження вважають завжди нерозподіленим, проте це не узгоджується з визнанням того, що іноді кванторне слово «деякі» означає «принаймні деякі», яке передбачає випадки — «а можливо, й усі». В останній ситуації суб'єкт судження виявиться розподіленим. Правда, при цьому подібні судження набудуть статусу загал ьностверджувальних. Проте без додаткової інформації такі судження вважаються частковостверджу-вальними.

Розподіленість предиката частковостверджувально-го судження встановити формально-логічними засобами неможливо. Фактично ж він може бути як нерозподіленим (здебільшого), так і розподіленим (іноді), проте раціональніше вважати його невизначеним або домовитися зараховувати до нерозподілених, якщо це не суперечить контексту, з якого взяте судження.

3. У загальнозаперечному судженні типу Е (формула «Жодне S не є Р») і суб'єкт, і предикат розподілені. Це зумовлено тим, що обсяг суб'єкта повністю виключається з обсягу предиката (про це свідчить кванторне слово «жоден»), а обсяг предиката повністю виключається з обсягу суб'єкта (про це свідчить зв'язка «не є»). Формально-логічні засоби дають стовідсоткову можливість визначити розподіленість термінів у судженні типу Е. Звичайно, за наявності кванторного слова «жоден».

4. У частковозаперечних судженнях суб'єкт є нерозподіленим (за винятком деяких випадків), а предикат завжди розподілений, оскільки мислиться в повному обсязі, тобто його обсяг повністю виключається з обсягу суб'єкта. Пояснення цієї думки, як правило, пов'язане з певними труднощами. Щоб зрозуміти і прийняти її, треба виходити з того, що обсяг предиката повністю виключається не з усього обсягу поняття, яке виконує роль суб'єкта, а лише з того кола предметів, які фактично мисляться в суб'єкті судження. Так, у судженні «Деякі люди не є дальтоніками» обсяг поняття «дальтоніки» повністю виключається не з обсягу поняття «люди», а з обсягу людей, які насправді мисляться в суб'єкті цього судження, тобто з обсягу лише деяких людей: дальтоніки мислено виключаються з людей-недальтоніків (і виключаються повністю, тому предикат і розподілений). Цю специфіку частковозаперечних суджень треба брати до уваги при вивченні деяких видів умовиводів (обернення суджень, простий категоричний силогізм тощо).

Графічне зображення відношення між обсягами суб'єкта і предиката в судженнях типу А, І, Е, О див. на схемі 14.

З наведеного аналізу розподіленості термінів у простих атрибутивних судженнях типу А, І, Е, О можна зробити такі висновки:

1. Суб'єкт завжди розподілений у загальних та одиничних судженнях (один предмет або повністю мислено включається в певну множину предметів, або повністю з неї виключається. Наприклад: «Одеса — морський порт України», «Каспійське море не має зв'язку з океанами»).

2. Предикат судження завжди розподілений у заперечних судженнях, у виділяючих загальноствер-ДЖувальних («Всі люди, і лише вони, мають свідомість») і виділяючих частковостверджувальних («Деякі люди, і лише люди, — поети»), а також тоді, коли він (предикат) є одиничним поняттям («Столиця Індії — Делі»).

3. Нерозподіленим є суб'єкт визначеного часткового судження («Тільки деякі метали тонуть у воді»).

В усіх інших випадках формально-логічними засобами визначити розподіленість термінів неможливо, а тому розподіленість їх є невизначеною. За цих умов раціонально було б домовитися вважати такі терміни нерозподіленими.

Запропонована схема розподіленості термінів у судженнях типу А, І, Е, О потребує додаткових пояснень.

Оскільки у стверджувальних судженнях обсяг суб'єкта включається до обсягу предиката (повністю чи частково), то на схемі ті елементи обсягу суб'єкта і предиката, які пов'язуються (навіть ототожнюються), заштриховано. Ці множини елементів нагадують своєрідну тавтологію: обсяг суб'єкта, який насправді мис-литься, повністю збігається з обсягом насправді мислимого предиката.

У заперечних судженнях обсяг предиката повністю виключається з обсягу суб'єкта, тому при схематичному їх зображенні вдаються до дещо інших засобів. Так, у судженні типу Е відношення між обсягами суб'єкта і предиката передається з допомогою двох несумісних кругів. Щоб передати таке відношення в частковозаперечних судженнях, доводиться заштриховувати ту частину круга S, яка насправді мислиться в судженні, і залишати незаштрихованим увесь круг Р, навіть ту його частину, яка збігається з кругом S, частиною обсягу суб'єкта, яка називається, але фактично не мислиться (не мається на увазі). Так, у судженні «Деякі птахи не літають» є два поняття — «птахи» і «літаючі» («ті, що літають»). Проте насправді мис-ляться в суб'єкті лише деякі птахи, нелітаючі. Саме ця частина круга, яка позначає нелітаючих птахів, заштриховується. Обсяг поняття «літаючі», що передається цілим незаштрихованим кругом, повністю виключається з названої частини круга S.

У центрі уваги стверджувальних суджень є заштриховане в кругових схемах. А в заперечних судженнях увага концентрується на «межі» між суб'єктом і предикатом, їх несумісності (несумісності насправді мислимого суб'єкта і предиката, а не відповідних понять, узятих у повному обсязі).

«Логічний квадрат»

«Логічний квадрат — штучна наочна схема, яка, апелюючи до уяви людини, полегшує їй запам'ятання характеру відношень між судженнями типу А, Е, І, 0, в яких ідеться про одне й те саме, у той же час і в тому ж відношенні.

Схема «логічного квадрата» (схема 15) така: лівий верхній кут позначається буквою А (загальноствер-джувальне судження); правий верхній кут — буквою Е (загальнозаперечне судження); лівий нижній кут — буквою / (частковостверджувальне судження); правий нижній кут — буквою О (частковозаперечне судження). Якщо названі кути (точніше — точки, з яких розпочинаються кути) позначають судження, в яких ідеться про одне і те саме, але вони відрізняються за кількістю і якістю, то лінії, якими з'єднуються вершини названих кутів, позначають певне відношення між відповідними судженнями. Так, з'єднані лінією судження А і Е називаються протилежними (контрар-ними); судження А і О, Е і І — суперечними; судження / і О — нагадують протилежні, але істотно від них відрізняються. Найчастіше їх називають підконтрар-ними. Судження типу А і І, Е і О перебувають у відношенні підпорядкування.

Так, знання протилежних (контрарних) суджень зводиться до того, що ці два судження (А — Е) не можуть бути одночасно істинними, але бувають одночасно хибними. Звідси випливають такі два висновки: 1) якщо одне з них виявиться істинним, то друге неодмінно буде хибним, оскільки обидва вони одночасно не можуть бути істинними; 2) якщо одне з них хибне, то зробити висновок (суто логічний, тобто не беручи до уваги реального стану речей) про друге неможливо, оскільки обидва ці судження бувають хибними (якби вони завжди були хибними, то з хибності одного з необхідністю випливав би висновок про хибність другого). Іншими словами, хибність одного з протилежних суджень свідчить, що друге належить або до хибних (оскільки вони іноді бувають одночасно хибними), або до істинних, оскільки вони лише бувають (а не обов'язково є) хибними.

Знання суперечних суджень (А — О, Е — /) зводяться до таких чотирьох висновків: ці судження не можуть бути одночасно істинними і одночасно хибними; знання істинності одного з них свідчить про хибність другого, а знання хибності одного з них — про істинність другого. Третій і четвертий висновки випливають з двох перших.

У відношенні підпорядкування перебувають судження (за «логічним квадратом») А — І та Е — О. Знання відношення підпорядкування суджень зводиться до таких висновків: з істинності судження типу А з необхідністю випливає висновок про істинність відповідного судження /. Це стосується і відношення суджень типу Е і О. Проте з хибності судження А не випливає однозначного висновку про істинність чи хибність судження /. Це стосується і відношення між судженнями Е та О. Знання логічного значення судження / нічого не говорить про істинність чи хибність судження типу А. Це стосується і судження О стосовно Е.

Особливою невизначеністю характеризується відношення суджень / та О. Прямої взаємозалежності між ними не існує. Проте, вдаючись до знання відношення суперечних і протилежних суджень (або суперечних суджень і тих, що перебувають у відношенні підпорядкування), іноді можна зробити достовірні висновки.

Якщо судження / хибне, то відповідне судження О є неодмінно істинним. Подібна залежність існує між хибним судженням О та істинним І. Проте з істинності / не випливає висновок ні про істинність, ні про хибність О. Це стосується і висновків з інформації про істинність О.

Залежність істиннісного значення суджень типу А, /, Е, О, в яких ідеться про одне і те саме, можна передати за допомогою такої схеми (схема 16).

А Е І 0

і X і X

X X і і

X і X і

Види простих суджень за модальністю

Модальність — характеристика судження, яка визначається принципом розрізнення об'єктивно можливого, дійсного і необхідного.

Йдеться про об'єктивну модальність. А формальну логіку цікавить передусім логічна модальність, яка полягає в ступені встановленої достовірності думок завдяки тому чи іншому різновиду судження.

За об'єктивною модальністю судження поділяють на судження необхідності, дійсності та можливості. Наприклад: «Після весни настане літо» (судження необхідності); «Літо в цьому році тепле» (судження дійсності); «В третьому тисячолітті людство може назавжди відмовитися від війн» (судження можливості).

За логічною модальністю, тобто залежно від ступеня їх доведеності, судження поділяють на проблематичні (ймовірні) і достовірні.

Проблематичне судження — судження, в якому щось стверджується чи заперечується з певним ступенем припущення.

Наприклад: «Причиною масового ураження огірків, мабуть, є низька температура».

Проблематичні судження треба відрізняти від суджень можливості. Вони фактично є судженнями про судження. Це засвідчують відповідні слова: «я гадаю, що», «можливо, що» та ін. Коли ж до складу речень, які виражають об'єктивну можливість, включити названі слова, то вони перекрутять думку: реальна можливість буде підмінена ймовірністю, і судження стане проблематичним.

Достовірне судження — судження, що містить знання, обґрунтовані, перевірені практикою.

Наприклад: «Тварини дихають киснем».

Складні судження

Складне судження — судження, до складу якого входять два і більше суб'єктів, або два та більше предикатів, або два та більше і суб'єктів, і предикатів.

Складні судження поділяють на безумовні та умовні.

Безумовні судження

Безумовні судження поділяють на єднальні, розділові, поділяючі та множинні.

В єднальних судженнях, на відміну від простих, наявне твердження чи заперечення про належність предметові двох чи більше ознак. Наприклад: «Т.Г. Шевченко — геніальний поет і талановитий майстер живопису». Оскільки в єднальних судженнях може йтися як про один предмет, так і про множину (повну чи неповну) предметів, то вони, так само, як і прості, поділяються на одиничні, загальні і часткові. Пізнавальна функція єднальних суджень полягає в тому, що вони містять знання про сумісність чи співіснування різних ознак в одному і тому ж предметі (чи множині предметів). Гадка про сумісність цих ознак виражається сполучником «і» («й», «а», «та»). Чому гадка? Тому, що єднальні судження можуть виявитися і хибними. Наприклад: «Це число є простим і ділиться на два».

У предикаті розділового судження, як і в предикаті єднального, вказується на дві чи більше ознак. Проте, на відміну від єднального, в розділовому судженні не стверджується, що всі ці ознаки належать предметові судження. У ньому йдеться або про належність (чи неналежність) предметові тільки однієї (до того ж невідомо якої) з перелічених ознак, або про належність (чи неналежність) відповідному предметові принаймні однієї з цих ознак. Перші з наведених розділових суджень називаються виключаючими розділовими, а другі — єднально-розділовими. Прикладом перших є судження «Цей кут є або гострим, або прямим, або тупим». А прикладом єднально-розділових може бути судження «Петренко грає у волейбол або футбол».

Щоб відрізнити єднально-розділові від виключаючих розділових суджень, необхідно перші з них будувати за схемою «S є Р або Р;» («S є Р чи Р}»), а другі — «S є або Р, або Р » («S є чи Р, чи Р}»).

Поділяючі судження належать до розділових. їх специфіка полягає в тому, що в них дається повний перелік різновидів предмета думки. Наприклад: «Ліси бувають листяними, хвойними і мішаними». Різновидом поділяючого є судження, з допомогою якого здійснюється дихотомічний поділ. Наприклад: «Люди поділяються на геніальних і негеніальних».

Усі види складних безумовних суджень, які ми розглядали до цього часу, відрізнялися від простих суджень тим, що в них було два чи більше предикатів. Але в них може бути і два чи більше суб'єктів. Так, у множинних судженнях суб'єкт завжди є складеним, а предикат може бути як складеним, так і простим. Наприклад: «Залізо, мідь, золото, свинець та деякі інші метали тонуть у воді»; «Всі люди і деякі тварини мають здатність відчувати, сприймати і уявляти об'єкти пізнання».

Умовні судження

Умовне судження — судження, в якому відображається залежність того чи іншого явища від якихось обставин і в якому підстава і наслідок з'єднуються з допомогою логічного сполучника «якщо.., то...».

Наприклад: «Якщо всі метали перебувають у твердому стані, то це стосується і ртуті».

В умовному судженні треба розрізняти підставу і наслідок. Так, у наведеному прикладі підставою служить думка «якщо всі метали є твердими тілами», а наслідком — «то і ртуть є твердим тілом». Для розуміння сутності умовних суджень важливо осмислити Зв язок між підставою і наслідком: залежність наслідку від підстави і підстави від наслідку. Істотне значення має і характер зв'язки. Наприклад: «Якщо ромб Має прямі кути, то він належить до квадратів»; «Якщо ромб має непрямі кути, то він не належить до квадратів».

За характером відношення між змістом наслідку і змістом підстави, які констатуються в умовних судженнях, їх поділяють на виділяючі та невиділяючі. У виділяючих умовних судженнях те, про що йдеться в підставі, є достатнім і необхідним для існування того, про що йдеться в наслідку, а те, про що йдеться в наслідку, є необхідним і достатнім для існування того, про що йдеться в підставі. Наприклад: «Число ділиться на три тоді і тільки тоді, коли сума цифр цього числа ділиться на три». У невиділяючому умовному судженні стверджується, що існування того, про що йдеться в підставі, є умовою достатньою, але не необхідною для існування того, про що йдеться в наслідку, а існування того, про що йдеться в наслідку, є необхідною, але недостатньою умовою для існування того, про що йдеться в підставі. Так, в умовно невиділяючому судженні «Якщо в чотирикутнику всі сторони рівні, а кути прямі, то його діагоналі взаємно перпендикулярні» підстава є достатньою для існування наслідку, проте не необхідною, оскільки існують і такі чотирикутники, в яких кути не є прямими, однак діагоналі їх є взаємно перпендикулярними.

Логіка висловлювань

При побудові складних суджень до цього часу ми вдавалися до граматичних сполучників «і», «або», «якщо.., то...» та ін. Проте ці самі слова можна розглядати і як засоби вираження логічних сполучників. На відміну від граматичних логічні сполучники передають характер зв'язків не просто між реченнями, а між висловлюваннями, тобто двоскладними розповідними реченнями, смислом яких є відповідні судження, а значенням (як це не парадоксально для традиційного розуміння цього феномену) — істина або хиба.

У сучасній логіці створено спеціальне вчення про складні висловлювання — логіку висловлювань, або пропозиційну логіку.

Логіка висловлювань — розділ сучасно)' логіки, що вивчає дескриптивні висловлювання та відношення між ними в структурі міркувань.

Мінімальною одиницею аналізу логіки висловлювань є просте висловлювання, що цікавить її лише як істинне чи хибне. При цьому абстрагуються від внутрішньої структури простих висловлювань.

Може здатися парадоксальним, що в сучасній логіці спочатку аналізують способи побудови складних висловлювань із простих (при цьому останні розглядають як безструктурні) і, лише з'ясувавши секрети побудови складних висловлювань, знайомляться з будовою простих. Річ у тім, що при з'ясуванні способів поєднання простих висловлювань є потреба зважати лише на те, істинні вони чи хибні, та на характер логічних зв'язок.

Істотними для логіки висловлювань є такі ознаки:

1. Вона аналізує тільки дескриптивні висловлювання, тобто такі, що описують дійсність (дескриптивне висловлювання неодмінно є або істинним, або хибним).

2. Внутрішня структура простих висловлювань не береться до уваги. її цікавить лише те, як із простих висловлювань утворюють складні, і залежність істин-нісного значення складного висловлювання від істин-нісного значення його складових.

3. Вона цілковито абстрагується від смислового значення висловлювань, беручи до уваги тільки їх предметне значення, тобто денотат, яким виступають такі абстрактні об'єкти, як «істина» і «хиба».

4. Вона є двозначною логікою, тобто будь-яке висловлювання розглядається як або істинне, або хибне. Причому проблема визначення логічного значення (істинності чи хибності) простих висловлювань не входить до компетенції логіки висловлювань.

У логіці висловлювань використовують штучну мову, яка має такі знакові засоби:

1. Знаки змінних логіки висловлювань ( пропозицій-них змінних) — А, В, С, D...1. Цими знаками позначах Деякі автори позначають пропозиційні змінні знаками р, g, r... Підхід цих авторів зрозумілий. Вони враховують «багатоповерховість» знакового процесу: одні знаки (р, g, r...) використовують для позначення простих висловлювань природної мови; другі {А, В, С.) відносять до тієї мови, з допомогою якої говорять про формули пропозиційно'ї логіки; мова, до складу якої входять знаки А, В, С..., теж потребує характеристики засобами іншої мови, мови «третього поверху». В цьому плані істотною є проблема метамови, засобами якої досліджують і описують властивості об'єктивної мови. Та коли йдеться про ази логіки висловлювань, то тут можна обійтися простішими мовними засобами.

ють прості висловлювання. їх ще називають пропози-ційними змінними.

Логіка - Тофтул:5. Логічний вивід і проблема розв'язанняПоняття логічного виводу

Термін «логічний вивід» використовується у широкому і вузькому значеннях. У широкому значенні поняття «логічний вивід» ототожнюється з поняттям умовиводу [69], до якого включають і власне вивід (логічний). Так, один з найновіших словників з логіки дає таке визначення: «Вивід логічний — міркування, в ході якого з яких-небудь суджень — засновків — з допомогою логічних правил одержують висновок — нове судження» [18]. Це визначення повністю збігається з визначенням умовиводу. Про це свідчить і приклад, яким ілюструється цитоване визначення: «Всі люди смертні. Кай — людина. Кай смертний».

Часте ототожнення виводу з умовиводом пояснюється їх подібністю. І умовивід, і логічний вивід є міркуваннями, будуються вони відповідно до певних логічних правил, містять засновки і висновки, дають змогу одержувати так зване вивідне знання. Проте між ними існує й істотна відмінність. Якщо умовивід — це справжнє, змістовне міркування, то логічний вивід нагадує своєрідну гру «...з символами, коли можна комбінувати символи у відповідності з правилами, з'єднувати їх, роз'єднувати тощо» [36]. Правила, відповідно до яких будується логічний вивід, є строго однозначно визначеними, що не завжди можна сказати про правила умовиводів. Засновками і висновком умовиводу є судження, виражені засобами природної мови, а засновками і висновком виводу є безструктурні, позначені символами прості висловлювання, формули і навіть схеми формул (до речі, висновок тут називається вивідною формулою). Назвати вивідну формулу знанням можна хіба що умовно, оскільки вона набуває смислу тільки після відповідної інтерпретації.

ВИВІД — послідовність висловлювань, формул або схем формул, яка утворюється з аксіом, засновків і теорем (раніше доведених формул), остання формула якої (послідовності) виведена з попередніх формул за правилами відповідної формально-логічної теорії.

Логічний вивід у логіці висловлювань є одним з видів числення. Оскільки кожна формальна система має власні аксіоми і правила виводу, то в кожній з них вивід носить специфічний характер. Особливо ефективними є виводи в системі логіки висловлювань, насамперед в системі натурального виводу. Процес міркування, одержання істинних висновків у них ґрунтується не на застосуванні конкретних за змістом засновків і навіть не на зв'язках між обсягами термінів у середині простих суджень (між суб'єктом і предикатом) та обсягами термінів різних простих суджень (як у силогізмі), а на характері логічних зв'язків між висловлюваннями, врахуванні лише логічного значення (істинності чи хибності) останніх та коректному застосуванні до них правил виводу.

Формалізувавши (в даному випадку — переклавши на мову логіки висловлювань) вихідні судження, суд-ження-засновки, можна алгоритмізувати процес виведення із засновків необхідного й істинного висновку, який, будучи перекладеним на природну мову, фігуруватиме як розв'язання відповідної задачі (про формалізацію див. на с 13 цього посібника).

Найважливішими характеристиками виводу логіки висловлювань є, по-перше, сумісність його засновків і висновку, їх несуперечливість, а по-друге, та обставина, що кожен закон («завжди істинне» висловлювання) в цій формальній системі піддається обґрунтуванню. 'Натуральним цей вивід називають тому, що він будується способом, близьким до того, яким ми звичайно користуємось у неформальних доведеннях.

Мова1 й основні правила виводу логіки висловлювань

Правило виводу — своєрідний трафарет, шаблон, припис, що визначає перехід від засновків до висновку-наслідку, вказуючи, яким чином висловлювання, істинність яких відома, можна видозмінювати, щоб одержати нові істинні висловлювання.

Пропонують і таке формулювання правил виводу: «Правила виводу — це способи логічного переходу від засновків до висновку, які задають правила введення і усунення логічних сполучників» [14].

Правило введення кон'юнкції (ВК):

А

А,АА0Л...АА

1 Z П

Згідно з цим правилом істинні висловлювання завжди можна з'єднувати знаком кон'юнкції. У найпростішому випадку це правило записується так:-— ,що

АлВ означає: якщо висловлювання А, В поодинці істинні,

то істинна і їх кон'юнкція — АлВ. Наприклад: Тарас Шевченко2 — геніальний поет (А). Тарас Шевченко — талановитий живописець (В).

Тарас Шевченко — геніальний поет і (він же) талановитий живописець (АлВ).

Одержаний висновок є істинним, чого не скажеш, наприклад, про складне висловлювання (кон'юнк-цію)«Тарас Шевченко — геніальний поет і живописець», оскільки ознака геніальності в цьому висловлюванні стосується Шевченка і як живописця.

Цей приклад не можна вважати типовим, оскільки суб'єктами простих суджень (кон'юнктів) далеко не завжди виступає одне й те ж поняття. Приклад, як правило, адресується буденній свідомості, здоровому глузду. Тому «типовіші» приклади, що ілюструють правила введення кон'юнкції, здадуться непереконливими для здорового глузду. Скажімо, «"Сім" — просте число, і Київ — столиця України» (АлВ).

Правило усунення кон'юнкції (УК):

А,/А9л...лА

А>

Це правило дозволяє з кон'юнкції висловлювань виводити будь-яке висловлювання, що є її кон'юнк-том.

Наприклад:

У скоєнні цього злочину брали участь А і В (АлВ). У скоєнні цього злочину брав участь А(А).

Правило введення диз'юнкції (ВД): A,vA,v...vA

12 п

Це правило дозволяє до істинного висловлювання приєднувати з допомогою диз'юнкції (нестрогої) інші висловлення. Оскільки ж нестрога диз'юнкція є істинною за умови істинності принаймні одного диз'юнкта, то звідси випливає висновок, що логічне значення приєднуваних диз'юнктів не впливає на утворену диз'юнкцію: вона завжди буде істинною.

Наприклад:

О. Пушкін — геніальний поет.

0. Пушкін — геніальний поет або живописець.

Правила усунення диз'юнкції (УД)

1. Правило усунення строгої диз'юнкції:

A,vA,v...vA

1— 2— — п

A,v...vA А,

Усунення строгої диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:

АуВ АуВ АуВ АуВ

А . В . А . В

В ' А В ' А

2. Правило усунення нестрогої диз'юнкції:

A,vA.v...vA„ A,vA„v...vA

12 п 12 п

А9Л...ЛА„ A,v...vA

А, > А,

Логічний вивід і проблема розв'язання

Усунення нестрого! диз'юнкції з двома диз'юнктами здійснюється так:

AvB AvB А . В

В ' А

У традиційній логіці правило усунення диз'юнкції відповідає схемі розділово-категоричного умовиводу (див. с 195).

Правило введення імплікації (ВІ):

А В-+А

Згідно з таблицею істинності імплікації за умови істинності консеквента вона завжди є істинною. Дати переконливу змістовну інтерпретацію цього правила, мабуть, неможливо.

Правило дедукції є одним із різновидів введення імплікації:

Г, АУ-В Г­(А->В) '

Читається це правило так: «Якщо з гамми засновків Г і формули А можна вивести формулу В, то із засновків Г випливає формула А-+В.

Правило усунення імплікації (УІ):

А-+В А->В

А В~

1. (Modus ponens); 2. —=—(Modus tollens).

Це правило дозволяє за наявності істинного антецедента виводити відповідний консеквент, а за наявності заперечення консеквента — переходити до заперечення антецедента.

Правило введення еквіваленції (BE): А->В В-+А АВ '

Імплікація А-+В означає, що А є достатньою, але не необхідною підставою стосовно В, а В є необхідною, проте недостатньою умовою істинності А. Аналогічно можна охарактеризувати й імплікацію В->А, орієнтуючись на її складові (антецедент і консеквент), а не на буквене їх позначення. За умови істинності А—>В і В—> —>А з цих даних можна вивести еквіваленцію АВ, в якій виражається взаємна необхідність і достатність А і В.

Наприклад:

Якщо трикутник рівносторонній, то він рівнокутний (А->Б).

Якщо трикутник рівнокутний, то він рівносторон-

ній (В—>А).

Трикутник є рівностороннім тоді і тільки тоді, коли він рівнокутний (АВ).

Правило усунення еквіваленції (УЕ):

1 АВ

А . В . А . В .

В А В~ А

Про правильність перелічених висновків свідчить таблиця істинності еквіваленції, згідно з якою логічне значення її правої і лівої частин збігається: іі; х--х.

Існують й інші правила виводу, котрі часто виділяють в окрему групу: «...в логіці висловлювань існують також правила перетворення суджень, які задаються відповідними рівносильностями (їх ще називають правилами еквівалентної заміни). Знак «=», що з'єднує дві частини кожної формули, які наводяться нижче, означає логічну тотожність цих частин за будь-яких значень пропозиційних змінних (що можна перевірити, склавши для них таблиці істинності). Ці рівносильності служать алгоритмами правомірної трансформації структури логічних виразів, а також правилами переходу до виразів з іншими логічними сполучниками» [15].

Поняття «рівносильність» (=) тотожне поняттю «еквівалентність» (В.

2. CvA.

3. B->D.

4. CAD,

то немає потреби вдаватися до припущення, оскільки четвертий засновок містить пряму інформацію про С і D.

5. Q (усунення кон'юнкції: 4);

6. j=) (усунення кон'юнкції: 4);

7. А (усунення нестрогої диз'юнкції: 2; 5);

8. В (усунення імплікації: 3; 6);

9. В (усунення імплікації: 1; 7);

10. CADAAABAB (введення кон'юнкції: 5; 6; 7; 8; 9).

11. CADAAABAB (усунення подвійного заперечен

ня — УПЗ).

12. CADAAAB (згідно із законом ідемпотентності).

А якщо без припущення не можна обійтися, то яку

ж змінну треба вибирати як припущення? Ту, з якої можна вивести якомога більше наслідків. Так, маючи засновки

1. С-*А.

2. В->С-

3. AvB,

з яких потрібно зробити висновки, ми змушені брати за припущення С, оскільки саме воно дає можливість вивести найбільше висновків. Інші припущення тут неефективні: припущення В дає можливість одержати лише один висновок —С , а припущення А — жодного:

4. С (припущення).

5. А (усунення імплікації: 1; 5).

6. S (усунення імплікації: 2; 5).

7. А (усунення нестрогої диз'юнкції: 3; 6).

Щоб застосувати теорію логічного виводу у розв'язанні практичних задач, потрібно послідовно здійснити кілька операцій. Наприклад, у нас є такі дані:

Коло підозрюваних у скоєнні злочину обмежується чотирма особами: Івановим, Петровим, Сидоровим, Федотовим.

1. Іванов міг брати участь у скоєнні злочину тоді і тільки тоді, коли до цього злочину причетний і Петров.

2. Якщо до цього злочину не причетний Сидоров, то в ньому брав участь Федотов.

3. Відомо, що один і тільки один із підозрюваних Іванов або Сидоров — причетні до цього злочину.

4. Федотов довів своє алібі.

Насамперед потрібно виділити прості судження з цього тексту і позначити їх пропозиційними змінними. Ось ці судження:

1. Іванов брав участь у скоєнні злочину (А).

2. Петров брав участь у скоєнні злочину (В).

3. Сидоров брав участь у скоєнні злочину (С).

4. Федотов брав участь у скоєнні злочину (>). Після цього слід виділити логічні зв'язки, які є в

цьому тексті (і відповідно їх розставити): , у.

Поєднавши пропозиційні змінні (А, В, С, D) відповідними логічними термінами (зв'язками), одержимо такі висловлювання:

1. АВ.

2. С->».

3. АуС;

4. D

Оскільки в нас є пряма інформація про алібі Федотова — D, то немає потреби вдаватися до припущення. Далі вивід будуємо так:

5. С (усунення імплікації: 2; 4).

6. А (усунення строгої диз'юнкції: 3; 5).

7. В (усунення еквіваленції: 1; 6).

8. БлСлАлВ (введення кон'юнкції: 4; 5; 6; 7). Залишається лише зробити переклад одержаного

висновку на природну мову: «Ні Федотов, ні Іванов, ні Петров не причетні до скоєння злочину. Злочин скоїв Сидоров».

Проблема розв'язання і розв'язуючі процедури

Оскільки висновок виводу (останнє у відповідній послідовності, вивідне висловлювання) не завжди з необхідністю випливає із засновків, то доводиться вдаватися до різних процедур, щоб довести, що логічне слідування справді має місце в тому чи іншому виводі. Так, щоб довести, що проголошена нами формула В (теза) є справді істинною, треба підібрати такі фор-мули-аргументи А1лА2л...лАп, з яких за відповідною процедурою можна вивести формулу, що збігається з проголошеною (з тезою), проте на відміну від останньої є достовірною.

Для позначення логічного слідування в логіці застосовують знак «І— » (або« f=»). Вираз «АВ» читається так: «з А логічно випливає В».

Із формули А випливає формула В тоді, коли імплікація «А—їВ» є законом логіки («завжди істинною» формулою). Ось чому (і не тільки тому) знаходження процедури, що дає змогу визначити, до якого класу формул логіки висловлювань («завжди істинних», «завжди хибних» чи виконуваних) належить будь-яка формула, є винятково важливою проблемою логіки висловлювань.

Побудова відповідних таблиць істинності є ефективною лише за умови, коли до розглядуваних формул входить невелике число змінних. В іншому разі вона буде громіздкою, оскільки кількість рядків у таблиці стрімко зростає із збільшенням числа змінних, які входять до формули. Так, якщо формула містить три пропозиційні змінні, то рядків у таблиці буде 8, чотири — 16, п'ять — 32, десять — 1024. До того ж існують інші, менш громіздкі, зручніші процедури, з допомогою яких розв'язуються ці задачі. Йдеться про зведення формул до нормальної форми.

Нормальні форми формул логіки висловлювань

Формула логіки висловлювань має нормальну форму, якщо вона, по-перше, не містить у собі знаків -», , у, а по-друге, знаки заперечення стоять у ній лише при змінних.

Будь-яку формулу, що не має нормальної форми, можна скінченним числом застосувань правил заміни перетворити у формулу, яка має нормальну форму. Ця процедура називається процесом зведення формули до нормальної форми.

Щоб звести формулу до нормальної форми, необхідно зробити в ній такі рівносильні заміни:

1) кожну підформулу типу (А—>В) замінити згідно з рівносильністю 13 формулою (AvB);

2) кожну підформулу типу (АВ) замінити згідно з рівносильністю 16 формулою (AVB)A(BVA);

3) кожну підформулу типу (AvB) замінити згідно з рівносильністю 17 формулою (АУВ)Л(АУВ);

4) кожну підформулу типу (АлВ) замінити згідно з рівносильністю 10 формулою (AvB);

5) кожну підформулу типу (AvB) замінити згідно з рівносильністю 11 формулою (АлВ);

6) кожну підформулу типуіГ замінити згідно з рівносильністю 1 формулою А.

Якщо ж перелічені процедури не можна застосувати до формули, то вона вже має нормальну форму.

Наприклад, дано формулу (pq), яку треба звести до нормальної форми. Згідно з рівносильністю 16 одержимо формулу(p~vq)л(qvp). 3 цієї формули згідно з рівносильністю 10 одержимо формулу(pvq)v(qvp), де підформулі (pvq) відповідає підформула рівносильності А , виражена засобами метамови, а підформулі (FVQ) — В. Вдавшись до рівносильності 11 і застосувавши її до кожного з диз'юнктів одержаної формули, дістанемо формулу (pAq~)v(c[Ap). І нарешті згідно з рівносильністю 1 одержимо формулу (pAq)v(q~Xp).

До нормальних форм формул логіки висловлювань належать передусім кон'юнктивна нормальна форма (КНФ) і диз'юнктивна нормальна форма (ДНФ). Причому кожна з них має свій специфічний спосіб утворення (зведення) і дає змогу розв'язувати відповідні задачі.

Проблема розв'язання

Є три класи формул логіки висловлювань («завжди істинні», «завжди хибні» і невизначені, або виконувані). Завдання, що полягає у відшуканні процедури, котра дає змогу визначити, до якого з перелічених класів належить будь-яка формула, називається семантичною проблемою розв'язання для формул логіки висловлювань. А процедура, що дає змогу скінченним числом простих дій вирішувати проблему розв'язання, називається розв'язуючою процедурою.

Для того щоб одержати розв'язуючу процедуру, достатньо знайти спосіб відрізняти «завжди істинні» Формули від усіх інших. Якщо в результаті застосування такої процедури до формули А виявиться, що вона «завжди істинна», то проблема розв'язання вирішена. Коли ж ця формула виявиться не «завжди істинною», то цю процедуру треба застосувати до фор-мулиА Якщо буде встановлено, що ця формула є «завжди істинною», то звідси випливає висновок: формула А є «завжди хибною». Коли ж буде встановлено, що і формула А не є «завжди істинною», то це свідчить, що формула А є виконуваною, тобто при одних логічних значеннях змінних вона є істинною, а при інших — хибною.

Існує формальна процедура, з допомогою якої, не вдаючись до побудови відповідних таблиць істинності, можна визначати, до якого класу належить будь-яка формула логіки висловлювань — до «завжди істинних», «завжди хибних» чи виконуваних.

Пропозиційна змінна входить до складу формули, зведеної до нормальної форми, регулярно, якщо вона (змінна) входить до складу цієї форми одночасно як із запереченням, так і без заперечення. Якщо ж змінна входить до складу формули, зведеної до нормальної форми, тільки із запереченням або тільки без заперечення, то вона входить до складу формули нерегулярно.

Розв'язуюча процедура передбачає такі дії:

1) зведення формули до нормальної форми;

2) у зведеній до нормальної форми формулі виділення змінних, які входять до неї нерегулярно;

3) замість усіх змінних і заперечень змінних, які входять до формули нерегулярно, слід підставити на всіх місцях, де вони трапляються в нормальній формі, букву х (тобто логічне значення «хиба»);

4) застосування правил заміни згідно з рівносиль-ностями 48, 48', 50 і 50' до всіх підформул одержуваної формули, доки є приводи для його застосування. В результаті такої процедури довжина формули буде скорочуватись, і можуть з'явитися нові змінні, що нерегулярно входять до формули. З ними чинять аналогічно, тобто згідно з пунктами 3 і 4. Передбачувані в пунктах 2—4 перетворення слід повторювати, доки не одержимо формулу, яка не містить у собі змінних, що входять до неї нерегулярно;

5) розгляд наступних двох формул, одержаних з формули, яка не містить змінних, що входять до неї нерегулярно, якщо:

а) замість однієї змінної, яка регулярно входить до формули, в усіх місцях слід підставити і (логічне значення — «істина») і застосовувати правило рівносильної заміни згідно з рівносильностями 43, 47—50;

б) замість тієї ж змінної на всіх місцях підставити букву х (логічне значення — «хиба») і застосовувати правило рівносильної заміни згідно з рівносильностями 44, 47—50.

До формул а і б, якщо це можливо, знову застосовують пункти 2—4, а потім, згідно з пунктом 5, з формул а і б одержують відповідно формули аа, аб, ба і бб тощо, доки не вичерпані можливості застосування пунктів 2—5.

Якщо в результаті застосування цієї процедури до будь-якої формули А всі заключні формули набудуть значення і («істина»), то формула А є «завжди істинною», а якщо хоча б одна заключна формула набуде значення х («хиба»), то формула А не є «завжди істинною»

Кон'юнктивна нормальна форма

Кон'юнктивна нормальна форма формул логіки висловлювань є кон'юнкцією елементарних диз'юнкцій.

Елементарною диз'юнкцією є формула, що має такий вигляд: A1vA2v...vAn, де п>1, а кожна з формул Ар А2, ..А є змінною або запереченням змінної. Так, формула (pvqvrvs) є елементарною диз'юнкцією, чого не можна сказати про формулу (pvqv(pAr)vs), оскільки третій її диз'юнкт (рлг) не є ні змінною, ні запереченням змінної.

Елементарна диз'юнкція є «завжди істинною» тоді і лише тоді, коли в ній міститься принаймні одна пара диз'юнктів, з яких один є якоюсь змінною, а другий — її запереченням. У цьому неважко переконатися, побудувавши відповідну таблицю істинності: пара названих диз'юнктів забезпечить наявність «і» (істина) в кожному рядку цієї таблиці, що є достатньою підставою для визнання подібної Диз'юнкції «завжди істинною» формулою, тобто законом логіки.

Формула логіки висловлювань має кон'юнктивну нормальну форму тоді, коли вона має такий вигляд: В,лВгл...лВт, де Вг В2,...Вп_ — елементарні диз'юнкції і

т>1. Так, формула pA(qvr)A(qvp) має кон'юнктивну нормальну форму (кон'юнкт р слід розглядати як вироджену диз'юнкцію з одним диз'юнктом).

Будь-яку формулу логіки висловлювань з допомогою ряду рівносильних замін можна звести до кон'юнктивної нормальної форми. Формулу, що є рівносильною даній і має кон'юнктивну нормальну форму, називають кон'юнктивною нормальною формою даної формули.

Щоб звести формулу до кон'юнктивної нормальної форми, треба насамперед з допомогою відповідної процедури звести її до нормальної форми. А потім кожну підформулу, що має вигляд (pv(qAr)) згідно з рівно-сильністю 6 і кожну підформулу типу ((qA.r)vp) згідно з рівносильністю 6' замінити формулою ((pvq)A A(pvr)). Річ у тім, що формула має кон'юнктивну нормальну форму лише за умови, що вона, по-перше, має нормальну форму, а по-друге, не містить у собі під-формул типу (pv(qAr)) і ((qAr)vp).

Розглянемо зведення формули до кон'юнктивної нормальної форми на такому прикладі: (р—хі)—>(р~А~г).

1. Застосувавши до цієї формули правило усунення імплікації (при цьому підформулу (р—щ) будемо розглядати як антецедент (А), а підформулу (рХг) — як консеквент (В) імплікації А—>В, одержимо: (p-q)v v(pAq).

2. Застосувавши правило усунення імплікації, яка є в першому диз'юнкті цієї формули (при цьому як антецедент виступає р, а як консеквент — q), одержимо:

(pVq)v(pAT).

3. Вдавшись до рівносильності 11 (другого закону де Моргана) і зробивши відповідну заміну першого диз'юнкта цієї формули, одержимо: (p=Aq~)v(pAr).

4. Застосувавши рівносильність 10 (перший закон де Моргана) до другого диз'юнкта формули, одержимо: (p=Aq~)v(pvr).

5. Звернувшись до першої рівносильності, правила усунення подвійного заперечення, одержимо: (pAq)v(pvr).

6. Остання заміна згідно з рівносильністю 6' ((BAC)VA): (pvpvT)A(qvpvr).

Далеко не всі формули мають лише одну кон'юнктивну нормальну форму.

Формула логіки висловлювань в КНФ є «завжди істинною» тоді, коли кожен її кон'юнкт, тобто кожна елементарна диз'юнкція, містить у собі принаймні одну змінну одночасно зі знаком заперечення і без нього. В тому, що формула, зведена до КНФ, є «завжди істинною», можна переконатися за її зовнішнім виглядом. Так, оскільки кожен кон'юнкт формули (pvqvp)A(pvqvq~)A(pvrvqvr) містить змінну зі знаком заперечення і без нього, то вона є «завжди істинною».

З допомогою КНФ визначають, є дана формула «завжди істинною» чи ні, а також чи є формула В логічним наслідком із формул Ар А2,..Лп.

Щоб перевірити, чи є довільна формула В наслідком із формул А[ГА2, ~Ап, треба приєднати В через імплікацію до формул Аг А2, ~Ап, і одержаний вираз звести до КНФ. Якщо одержана КНФ буде «завжди істинною», то це засвідчить, що В випливає з_А;, А,..., Ап.

Перевіримо, чи випливає В з формул В —>А, А як засновків. Поєднаємо ці засновки кон'юнкцією і приєднаємо до них В з допомогою імплікації: ((В—>А)лА)—>В.

Одержану формулу зведемо до КНФ:

1. Застосувавши рівносильність 13, одержимо ((B->A)AA)VB.

2. Вдавшись до рівносильності 10, одержимо ((BA)vA)vB.

3. Використавши рівносильність 13, одержимо ((BvA)vA)vB.

4. Застосувавши рівносильність 10, одержимо ((BAA)VA)VB.

5 Вдавшись до рівносильності 6', одержимо ((AVB)A(AVA))VB.

6. Застосувавши першу рівносильність, одержимо ((AVB)A(AVA))VB.

7. Усунувши JCOH'IOHKT, ЯКИЙ містить змінну та її заперечення (AvA), одержимо AvBvB. Оскільки ця формула є елементарною диз'юнкцією, яка містить змінну (В) і її заперечення (В), то це означає, що вихідна формула є «завжди істинною». Тому формула В є наслідком із формул В—*А і А.

Розрізняють ще досконалу кон'юнктивну нормальну форму (ДКНФ) і скорочену кон'юнктивну нормальну форму (СДНФ), з допомогою яких розв'язують задачі на знаходження всіх логічних наслідків з даної формули.

Диз'юнктивна нормальна форма

Диз'юнктивна нормальна форма формул логіки висловлювань є диз'юнкцією елементарних кон'юнкцій.

Елементарною кон'юнкцією є формула, що має такий вигляд: А1лА2л...лА , де п>1, а кожна з формул Ар А2, ..., Ап є змінною, або запереченням змінної. Так, формула (рлс[лглд) є елементарною кон'юнкцією, чого не можна сказати про формулу (дл(дуг)лрлг), оскільки другий її кон'юнкт не є ні змінною, ні запереченням змінної.

Елементарна кон'юнкція є «завжди хибною» тоді й тільки тоді, коли до її складу входить принаймні одна пара кон'юнктів, з яких один є якоюсь змінною, а другий — її запереченням.

Формула логіки висловлювань має диз'юнктивну нормальну форму тоді, коли вона має такий вигляд: В vB2v...vBm, де Вр В2..„ Вт є елементарними кон'юнк-щями, а т>1. Наприклад: (pXqAr)vp~v(qAr).

Будь-яку формулу логіки висловлювань з допомогою відповідних рівносильних замін можна звести до диз'юнктивної нормальної форми. Формулу, що є рівносильною даній і має диз'юнктивну нормальну форму, називають диз'юнктивною нормальною формулою даної формули. Щоб звести формулу до ДНФ, необхідно насамперед звести її до нормальної форми, а потім кожну під-формулу типу (AA(BVCJ) згідно з рівносильністю 7 і кожну підформулу типу ((BVC)AA) згідно з рівносильністю Т замінити формулою ((AAB)V(AAC)).

Розглянемо процедуру зведення формули до диз'юнктивної нормальної форми на такому прикладі:

1. Застосувавши до цієї формули правило усунення імплікації (при цьому підформулу р будемо розглядати як антецедент, а підформулу ((p—>q)—>q) — як кон-секвент), одержимо: pv((p—>q)—>q).

2. Знову вдавшись до правила усунення імплікації (на цей раз роль антецедента виконує підформула (р—щ), а консеквента — q, одержимо: pv((p—>q)vq)-

3. Застосувавши правило усунення імплікації (антецедент — р, а консеквент — q), одержимо: pv((pq)vq).

4. Використавши другий закон де Моргана, одержимо: pv((pAq)vq).

5. Залишається лише усунути подвійне заперечення і зайві дужки: p~v(pAq)vq.

Формула може мати не одну ДНФ.

З допомогою ДНФ з'ясовують, по-перше, є дана формула «завжди хибною» чи ні, а по-друге, чи є та чи інша формула наслідком з відповідних засновків.

Формула, що має ДНФ, є «завжди хибною» тоді й тільки тоді, коли «завжди хибними» є всі її диз'юнкти, тобто коли кожна елементарна кон'юнкція містить у собі принаймні одну пару кон'юнктів, один з яких є якоюсь змінною, а другий — її запереченням. Таким чином, за виглядом елементарної кон'юнкції можна робити висновок, є вона «завжди хибною» чи ні. Так, формула ((pAqAp)v(qAq)v(pAqArAr)) є «завжди хибною», оскільки загалом вона є диз'юнкцією, кожен диз'юнкт якої (елементарна кон'юнкція) є «завжди хибним».

Розрізняють ще досконалу диз'юнктивну нормальну форму (ДДНФ) і скорочену диз'юнктивну нормальну форму (СДНФ), кожна з яких дає змогу розв'язувати відповідні задачі.

Логіка - Тофтул:6.1. Безпосередні умовиводиБезпосередній умовивід — умовивід, до складу якого входить лише один засновок (і, звичайно ж, — висновок).

Оскільки його засновок виражається судженням, то цей вид умовиводу здійснюється у формі перебудови судження. За способом перебудови судження-зас-новку розрізняють такі види безпосередніх умовиводів: перетворення, обернення, протиставлення предикатові, протиставлення суб'єктові.

Перетворення — перебудова судження, внаслідок якої з вихідного утворюють нове рівнозначне судження, але протилежної якості: стверджувальне судження перетворюється на заперечне, а заперечне — на стверджувальне.

Підставою для одержання висновку за схемою перетворення виступає закономірність відношення обсягів двох суперечних понять, які є предикатами стосовно одного й того ж суб'єкта, будь-які два видових суперечних поняття завжди вичерпують обсяг відповідного родового поняття. Якщо обсяг суб'єкта входить до обсягу предиката Р, то звідси випливає, що він не входить до обсягу предиката не-Р, і навпаки. Так, виходячи з того, що ссавці належать до хребетних, з необхідністю доходимо висновку, згідно з яким ссавці не належать до нехребетних (безхребетних).

У кожному стверджувальному судженні («S є Р») безпосередньо виражається тотожність предметів класу S з множиною інших предметів в ознаках, характерних для предметів класу Р. Та разом з названою тотожністю в цьому судженні неявно стверджується і відмінність від усіх предметів, які не належать до класу Р. А в заперечному судженні («S не є Р») безпосередньо виражається відмінність предметів класу S від усіх предметів класу Р, а тим самим опосередковано визнається тотожність предметів S з усіма предметами ue-Pv Тобто завдяки перетворенню у стверджувальному судженні виявляється відношення відмінності, а в заперечному — відношення тотожності, які неявно мис-ляться в названих типах суджень.

Не випадково, що одна і та сама схема (див. схему 18) одночасно ілюструє і судження «Всі ссавці — хребетні», і судження «Жоден (всі) ссавець не є нехребетним».

Перше ілюструється сумісністю понять «ссавці» і «хребетні», а друге — несумісністю понять «ссавці» і «нехребетні (безхребетні)».

Перетворення суджень типу А, Е, І, О відбувається за такими схемами:

А. Всі S є Р. Отже, жодне S не є не-Р. Всі метали — електропровідні.

Отже, жоден метал не є неелектропровідним.

Е. Жодне S не є Р. Отже, всі S є не-Р. Жоден патріот не є зрадником.

Отже, кожен патріот є незрадником.

І. Деякі S є Р. Отже, деякі S не є не-Р. Деякі числа — прості.

Отже, деякі числа не є непрості.

О. Деякі S не є Р. Отже, деякі S є не-Р. Деякі числа не є прості.

Отже, деякі числа є непрості.

Здійснюючи перетворення судження, необхідно змінити його якість, залишивши без змін кількість. Замінивши зв'язку «є» на «не є», домагаємося перетворення стверджувального судження на заперечне. Але одержане судження виявляється нерівнозначним вихідному. Щоб нейтралізувати вказаний вплив частки «не», треба ввести ще одну аналогічну частку, приєднавши її до імені, яким позначається предикат висновку. Внаслідок такої процедури предикатом висновку стає поняття, суперечне предикатові засновку. А замінивши зв'язку «не є» заперечного судження-засновку на «є», домагаємося перетворення заперечного судження на стверджувальне. Але при цьому знову змінюється зміст вихідного судження. Вихід тут один: до імені, яким позначається предикат висновку, слід додати частку «не», тобто знову-таки предикат засновку замінюється у висновку на суперечне йому поняття.

Під збереженням кількості судження мають на увазі, що загальностверджувальне судження перетворюється на загальнозаперечне (і навпаки), а частково-стверджувальне — на частковозаперечне (і навпаки). Безпосередньо ж це виявляється в збереженні тих самих кванторів (чи відповідних кванторних слів).

Результат перетворення можна знову перетворити на вихідне судження. Ця закономірність виражається таким правилом: подвійне заперечення будь-чого рівносильне ствердженню того ж самого.

Наприклад:

Київ — столиця України.

Отже, Київ не є нестолицею України.

Отже, Київ є не нестолицею України (що рівнозначно судженню: «Київ — столиця України»).

Обернення — перебудова судження, внаслідок якої суб'єкт і предикат міняються місцями. При цьому якість судження зберігається, а кількість може змінюватися.

Основою для обернення є, зокрема, та обставина, що в судженні містяться знання про предмети, які мисляться як у суб'єкті, так і в предикаті. Внаслідок обернення змінюється предмет думки.

Наприклад:

Всі метали — електропровідні.

Отже, деякі електропровідні — метали.

Предметом думки в засновку були метали, а у висновку — електропровідні (схема 19).

В-обох судженнях мислиться тільки те, що передається на схемі заштрихованою її частиною. У першому судженні обсяг поняття «метали» (менший круг на схемі) ототожнюється з частиною обсягу поняття «електропровідні» (на схемі — та частина більшого круга, яка закрита меншим). А в другому судженні (висновку) — навпаки.

Здійснюючи обернення, необхідно дотримуватися вимоги рівності обсягів термінів: обсяги термінів висновку повинні дорівнювати обсягам відповідних термінів засновку. Правда, сама структура судження не завжди чітко виражає характер обсягу термінів. Це стосується передусім предикатів стверджувальних суджень.

Традиційно розрізняють два види обернення: просте, або чисте, і обернення з обмеженням. Проте такий поділ має штучний характер.

Розглянемо, як здійснюється обернення суджень, різних за кількістю і якістю (А, Е, І, О).

1. Загальностверджувальне судження (а) перебудовується при оберненні, як правило, на частково-стверджувальне.

Наприклад:

Всі метали — електропровідні (А).

Отже, деякі електропровідні — метали (/).

Деякі загальностверджувальні судження перебудовуються при оберненні на загальностверджувальні. Це стосується виділяючих суджень.

Наприклад:

Всі люди, і тільки люди, — мислячі істоти (А).

Отже, всі мислячі істоти — люди (А).

Хоч названі приклади обернень і не суперечать вимогам логіки, проте їх не можна вважати зразковими, оскільки в їх висновках втрачається частина знань, які мали місце в засновках. Щоб не зазнати цієї втрати, обернення слід здійснювати так: «Всі метали електропровідні. Отже, деякі електропровідні, і лише вони, — метали». Це стосується і другого прикладу.

2. Загальнозаперечне судження (Е) обертається на загальнозаперечне.

Наприклад:

Жоден патріот не відмовляється від культури сво-

го народу ().

Отже, жоден з тих, хто відмовляється від культури свого народу, не є патріотом (Е).

3. Частковостверджувальне судження (І) при оберненні, як правило, перебудовується на частковоствер-джувальне.

Наприклад:

Деякі вчені — митці (/).

Отже, деякі митці — вчені (І).

Зрідка частковостверджувальні судження перебудовуються при оберненні на загальностверджувальні. Це стосується виділяючих суджень.

Наприклад:

Деякі люди, і тільки люди, мають високу мораль.

Отже, всі, хто має високу мораль, — люди.

4. Обернення частковозаперечного судження дає бідні, невизначені знання, тому до обернення суджень цього виду практично не вдаються.

Наприклад:

Деякі птахи не хижаки (О).

Отже, жоден хижак не належить до птахів-нехи-жаків (Е).

Протиставлення — перебудова судження, в ході якої одночасно здійснюються і перетворення, і обернення в тій чи іншій послідовності.

Якщо судження спочатку перетворюється, а потім обертається, то такий умовивід називається протиставленням предикатові. А якщо судження спочатку обертається, а потім перетворюється, то тоді ми маємо справу з протиставленням суб'єктові.

При протиставленні предикатові суб'єкт вихідного судження стає предикатом висновку, а суб'єктом висновку виступає поняття, суперечне предикатові вихідного судження (засновку).

Розглянемо, як здійснюється протиставлення предикатові в судженнях типу А, Е, І, О.

1. Загальностверджувальне судження (А) перебудовується за схемою «Всі S є Р. Отже, жодне не-Р не є S».

Наприклад:

Всі квадрати — паралелограми (А).

Отже, жоден непаралелограм не є квадратом (Е).

Здійснимо цю логічну операцію шляхом послідовного застосування перетворення і обернення:

Всі квадрати — паралелограми (А).

Отже, жоден квадрат не є непаралелограмом (Е).

Отже, жоден непаралелограм не є квадратом ().

Схема 20 показує, що обсяг поняття «квадрат» несумісний з обсягом поняття «непаралелограм».

2. Загальнозаперечне судження (Е) перебудовується за схемою «Жодне S не є Р. Отже, деякі не-Р є S». Наприклад: Жодне просте число не ділиться на чотири (Е).

Отже, принаймні деякі числа, що не діляться на чотири, є простими (/).

Послідовно застосувавши перетворення і обернення, одержимо:

Жодне просте число не ділиться на чотири (Е).

Отже, кожне просте число є тим, що не ділиться на чотири (А).

Отже, принаймні деякі числа, які не діляться на чотири, є простими (/).

3. Перебудова частковостверджувального судження (І) у формі протиставлення предикатові дає бідне, невизначене знання, тому до неї практично не вдаються.

4. Частковозаперечне судження перебудовується у формі протиставлення предикатові за схемою «Деякі S не є Р. Отже, деякі не-Р є S».

Наприклад:

Деякі ссавці не є хижаками (О).

Отже, деякі нехижаки є ссавцями (/).

Як видно із відповідних схем і прикладів, при протиставленні предикатові якість усіх суджень змінюється.

При протиставленні суб'єктові предикат вихідного судження стає суб'єктом висновку, а предикатом висновку береться поняття, суперечне суб'єктові засновку. При цьому якість судження завжди змінюється.

Розглянемо, як здійснюється протиставлення суб'єктові в судженнях, різних за кількістю і якістю (А, Е, І, О).

Протиставлення суб'єктові відбувається за різними схемами в судженнях різного типу (А, Е, І, О):

1. Загальностверджувальне — «Всі S є Р. Отже, деякі (жоден) Р не є не-S»: «Всі квадрати є ромбами. Отже, деякі ромби не є неквадратами».

2. Загальнозаперечне — «Жоден S не є Р. Отже, всі Р є не-S»: «Жоден ромб не є трикутником. Отже, всі трикутники є неромбами».

3. Частковостверджувальне — «Деякі S є Р. Отже, деякі (жоден) Р не є не-S»: «Деякі студенти — спортсмени. Отже, деякі спортсмени не є нестудентами».

4. Частковозаперечне судження, як правило, не піддається перебудові за схемою протиставлення суб'єктові, оскільки така операція малоефективна.

До безпосередніх часто відносять і деякі інші різновиди умовиводів, зокрема контрапозицію просту (її формулаА-В-ґ-В-Аті умовиводи, в основі яких лежить характер відношень між судженнями за «логічним квадратом» тощо.

Безпосередні умовиводи мають певне пізнавальне значення, а їх осмислення підвищує логічну культуру людини. Назвемо кілька аргументів для підтвердження цієї тези (і водночас спрямованих проти тих, хто скептично ставиться до цієї гранично простої, але «філігранної» форми міркування).

Безпосередні умовиводи (йдеться про різні види перебудови судження) дають можливість:

— одержати нову інформацію (вивідне знання) на основі мінімальної кількості вихідних знань — одного простого судження;

— виявити ті знання, які містяться в судженні неявно;

— уточнити співвідношення обсягів суб'єкта і предиката;

— чітко усвідомити, яка інформація є в судженні, а якої немає;

— тонко схопити майже невловимі нюанси думок.

Знання секретів перебудови суджень ефективно

«спрацьовує», зокрема в умовах особистісного спілкування, що вимагає особливої делікатності. Навіть уміння здійснювати обернення частковозаперечних суджень, перебудовувати частковостверджувальні судження за схемою протиставлення предикатові і частковозаперечні за схемою протиставлення суб'єктові (за всієї мізерності одержуваної завдяки їм інформації) не залишається безслідним для того, хто збагнув тонкощі цих логічних процедур.

Кожен вид безпосередніх умовиводів має і своє специфічне значення. Так, до операції перетворення вдаються, зокрема, в ситуації, коли у стверджувальному судженні важливо підкреслити відношення відмінності, а в заперечному — відношення тотожності для того, щоб надати думкам відповідного відтінку, уточнити їх.

Опанування операцією обернення дає можливість чіткіше збагнути обсяги суб'єкта і предиката судження, відношення обсягів цих термінів, усвідомити, яка інформація справді має місце в судженні-засновку, а якої немає, але вона невиправдано домислюється нами.

Щоб збагнути новизну знань, одержуваних за допомогою безпосередніх умовиводів, варто звернутися До відповідних прикладів. Так, ніхто не буде заперечувати, що між судженням-засновком «Я можу бути лікарем» і судженням-висновком (за схемою перетворення) «Я не можу не бути лікарем» існує істотна відмінність.

Логіка - Тофтул:6.3. ІндукціяІндукція — 1) метод наукового пізнання, який полягає в дослідженні руху знань від одиничного до часткового або й загального; 2) вид опосередкованого умовиводу, в якому з одиничних суджень-засновків виводять часткове або й загальне судження-висновок.

Види індуктивних умовиводів

Розрізняють повну індукцію, засновки якої вичерпують увесь клас предметів, що підлягає індуктивному узагальненню, і неповну індукцію, засновки якої не вичерпують усього класу предметів, що підлягають такому узагальненню.

Повна індукція

Повна індукція — індуктивний умовивід, у якому на підставі знання про належність певної ознаки кожному предметові класу робиться висновок про належність цієї ознаки всім предметам цього класу.

Оскільки повна індукція передбачає виявлення певної ознаки в кожному предметі відповідної множини, то висновок її (повної індукції) має достовірний характер. Схема міркування за повною індукцією така:

S. є Р S2eP S3eP

S'e'p'

n

Відомо, що Sr S2, S„ ..., Sn вичерпують усю множину предметів класу S.

Отже, всі S є Р.

Наприклад:

Меркурій обертається навколо Сонця. Венера обертається навколо Сонця. Земля обертається навколо Сонця. Марс обертається навколо Сонця. Юпітер обертається навколо Сонця. Сатурн обертається навколо Сонця. Уран обертається навколо Сонця.

Нептун обертається навколо Сонця. Плутон обертається навколо Сонця. Відомо, що Меркурій, Венера, Земля, Марс, Юпітер, Сатурн, Уран, Нептун і Плутон вичерпують усю множину планет Сонячної системи.

Отже, всі планети Сонячної системи обертаються навколо Сонця.

Повна індукція відрізняється від дедукції вже тим, що вона не дає знання про інші предмети, крім тих, які мисляться в одиничних судженнях-засновках. Разом з тим вона подібна до дедукції принаймні достовірністю своїх висновків. Абсолютизуючи подібність повної індукції та дедукції, деякі логіки відмовляють їй у статусі індукції. Інколи вважають, ніби повна індукція неспроможна дати нові знання. Проте вона відповідає загальному визначенню індуктивного умовиводу. Стосовно новизни висновків за повною індукцією слід розрізняти знання про належність тієї чи іншої ознаки кожному предметові відповідного класу і знання про належність цієї ж ознаки всім предметам цього класу. Адже загальний висновок повної індукції хоч і характеризує ті самі предмети, але дещо з іншого боку — з боку їх родової належності.

Гідно оцінюючи роль повної індукції, разом з тим треба визнати, що в реальному людському пізнанні вона займає незначне місце, оскільки до неї вдаються тільки при пізнанні скінченних і осяжних класів предметів (йдеться насамперед про ті класи предметів, які відображаються в реєструючих поняттях).

В особливий різновид індуктивних умовиводів виділяють так звану математичну індукцію, яка ґрунтується на специфіці будови і властивостях натурального ряду чисел. У натуральному ряді чисел кожне число більше від попереднього на одиницю. Хід міркування за формою математичної індукції такий: якщо якась ознака характерна для числа 1 і якщо ця ж ознака, будучи характерною для довільного числа натурального ряду п, належить і наступному числу п+1, то ця ознака характерна для всіх чисел натурального ряду.

Схема математичної індукції:

Якщо Р(1);

Якщо Р(п), то Р(п+1);

Отже, V х Р(х).

Неповна індукція

Неповна індукція — індуктивний умовивід, у якому висновок про весь клас предметів робиться на підставі знання тільки деяких предметів цього класу.

Наведемо два приклади таких умовиводів:

1. Залізо — електропровідне.

Мідь — електропровідна.

Свинець — електропровідний.

Срібло — електропровідне.

Золото — електропровідне.

Залізо, мідь, свинець, срібло, золото — метали.

Отже, всі метали — електропровідні.

2. Залізо тоне у воді.

Мідь тоне у воді.

Свинець тоне у воді.

Срібло тоне у воді.

Золото тоне у воді.

Залізо, мідь, свинець, срібло, золото — метали.

Отже, всі метали тонуть у воді.

Обидва умовиводи побудовані за схемою неповної індукції й ґрунтуються на істинних засновках. Проте висновок першого умовиводу є істинним, а другого — хибним. Оскільки засновки в другому умовиводі є істинними, то причиною хибності його висновку може бути лише недосконалість міркування, побудованого за схемою неповної індукції. Річ у тім, що в підґрунті індуктивного методу немає логічного закону, який би гарантував одержання істинного висновку з істинних засновків [25]. Тому неповна індукція дає ймовірний висновок. Пам'ятаючи про це, висновок із неповною індукцією треба розпочинати словами «мабуть», «напевно» тощо.

Імовірний умовивід — умовивід, в якому з істинних засновків певної структури одержують висновок, що може бути як істинним, так і хибним.

Крім неповної індукції, до ймовірних умовиводів належить також аналогія. Для визначення того, яким є висновок імовірного умовиводу — істинним чи хибним, — доводиться вдаватися до додаткової інформації. Для ймовірних умовиводів, на відміну від достовірних, не можна сформулювати таких правил, при дотриманні яких висновок неодмінно буде істинним, якщо вони застосовуватимуться до будь-яких істинних конкретних за змістом засновків певної структури.

Імовірність — величина, яка характеризує «ступінь можливості» якоїсь події, що може як відбутися, так і не відбутися.

Вивчаючи ймовірні умовиводи, увагу акцентують на ймовірнісній оцінці ступеня обґрунтованості (під-тверджуваності) суджень-висновків. У логічній науці розробляють спеціальні методи оцінки ймовірності висновків, одержаних за схемою неповної індукції.

Неповну індукцію поділяють на популярну (народну) і наукову.

Популярна індукція — неповна індукція через простий перелік за відсутності суперечного випадку.

У цій індукції узагальнення ґрунтується на фактах повторюваності однієї й тієї самої ознаки в кількох чи й багатьох предметах певного класу і відсутності суперечного цій повторюваності випадку. Так, численні факти ефективності ліків, виготовлених деякими майстрами народної медицини, дають можливість зробити загальний висновок про її ефективний вплив на організм людей. Це міркування є прикладом популярної індукції за умови, що представник народної медицини не знає причинного зв'язку, який діє між його ліками і людським організмом, а знає лише те, що в усіх випадках застосування даних ліків не було жодного негативного наслідку. Простий перелік — це лише один перелік без будь-якої іншої додаткової інформації, крім, звичайно ж, знання про відсутність суперечного випадку.

Був час, коли популярну індукцію переважно критикували, проте вона є тією «матір'ю», яка народжує то недолугих дітей (різного роду забобони), то геніїв (народну мудрість). Внутрішні, необхідні зв'язки речей, закономірності являються буденній свідомості у формі повторюваності. Ця повторюваність (разом з іншими чинниками) відіграла не останню роль у виникненні людського мислення. Проте не кожна повторюваність має своїм підґрунтям необхідні зв'язки між речами. Ототожнювання випадкової повторюваності з необхідною, часової та просторової послідовності подій — з причинною їх пов'язаністю призводить до логічних та фактичних помилок. Типовими помилками, які трапляються при некритичному ставленні до популярної індукції, є «поспішне узагальнення», «після цього — внаслідок цього» тощо. Виявами таких помилок є різноманітні забобони та марновірства. До речі, і перлини народної мудрості, зокрема народної медицини, потребують обґрунтування, виявлення відповідних причинних зв'язків, у результаті чого вони набудуть статусу наукових істин.

Наукова індукція — неповна індукція, в якій на підставі пізнання необхідних ознак деяких предметів певного класу робиться загальний висновок про всі предмети цього класу.

За схемою міркування (від знання окремих предметів певного класу до знання всього класу) наукова індукція не відрізняється від популярної. Відмінність її полягає в характері та природі засновків і способі їх підбору.

Якщо в популярній індукції засновки для узагальнення беруть переважно випадково, то в науковій їх підбирають свідомо, з урахуванням того, наскільки істотними є зв'язки, які в них відображаються. При цьому великого значення надають причинно-наслідко-вим зв'язкам речей. Автори, що вдаються до наукової індукції, не задовольняються відомими фактами. Вони одержують факти, використовуючи такі методи, як порівняння, вимірювання, спостереження, експеримент.

Сила наукової індукції полягає в тому, що кожний її крок пов'язаний з фактами, досвідом, вона часто піддається перевірці. А слабкість — у тім, що всеза-гальні висновки не піддаються перевірці емпіричними засобами, тобто з допомогою верифікації.

Оцінюючи пізнавальні можливості наукової індукції, треба пам'ятати і про історичну обмеженість людського досвіду.

Методи встановлення причинних зв'язків

Добираючи засновки для наукової індукції, часто вдаються до методів виявлення причинних зв'язків між явищами.

Причинні зв'язки між предметами і явищами не існують у чистому вигляді. Вони завжди супроводжуються безліччю інших зв'язків, зокрема тими обставинами, які забезпечують їх реалізацію. Все це ускладнює процес встановлення причинних зв'язків між явищами.

Існує п'ять методів виявлення причинних зв'язків між явищами: метод єдиної подібності; метод єдиної відмінності; поєднаний метод подібності та відмінності; метод супутніх змін; метод залишків.

Усі перелічені методи ґрунтуються на таких рисах причинного зв'язку:

— кожне явище має причину, тому пошуки її виправдані;

— причина завжди передує наслідку, тобто тому явищу, причину якого ми прагнемо встановити;

— після причини неодмінно настає явище-наслідок;

— за відсутності причини наслідок не настає;

— зміни в причині призводять до відповідних змін у наслідку.

Метод єдиної подібності. Сутність цього методу полягає у виявленні серед численних умов, що передують досліджуваному явищу, такої умови, яка постійно йому передує.

Метод єдиної подібності: якщо певна обставина постійно передує досліджуваному явищу при несталості всіх інших обставин, то, ймовірно, саме вона є причиною явища.

Наприклад: в одній із їдалень міста сталися три випадки отруєння людей, які там обідали. При цьому стало відомо, що відвідувач їдальні А. споживав першу, другу і третю страви; відвідувач Б. — другу і третю; а відвідувач В. — лише другу:

1. За умов 1, 2, 3 мало місце отруєння.

2. За умов 2, 3 мало місце отруєння.

3. За умови 2 мало місце отруєння.

Отже, найбільш імовірно, що саме умова 2 (друга страва) була причиною отруєння.

Схема методу:

1. АВС-*а.

2. ABDa.

3-. ACDa.

Отже, причиною явища а є обставина А.

Метод єдиної відмінності.

Метод єдиної відмінності: якщо певна обставина наявна тоді, коли настає досліджуване явище, і відсутня тоді, коли це явище не настає (а все інше залишається незмінним), то ця обставина і є ймовірною причиною цього явища.

Наприклад: двоє людей пообідали в одній із їдалень міста. Причому, та людина, що споживала першу, другу і третю страви, отруїлася, а друга, яка споживала лише першу і третю страви, залишилася здоровою.

1. За умов 1, 2, 3 мало місце отруєння.

2. За умов 1, 3 отруєння не було.

Отже, найімовірніше, що причиною отруєння була умова 2 (друга страва).

Схема методу:

АВСа

ВС-*—

Отже, обставина А є причиною явища а.

Поєднаний метод подібності та відмінності.

Поєднаний метод подібності та відмінності: якщо два чи більше випадків, коли виникає досліджуване явище, подібні лише однією обставиною, яка передувала виникненню цього явища, а два чи більше випадків, коли це явище не виникає, відрізняються тільки тим, що ця обставина була відсутньою, то ця обставина, ймовірно, і є причиною досліджуваного явища.

Наприклад: в одній з їдалень міста обідали четверо людей. При цьому троє з них отруїлися, а четвертий, який сидів з ними за одним столом, залишився здоровим. Стало відомо, що відвідувач цієї їдальні А. споживав першу, другу і третю страви; відвідувач Б. — другу і третю; відвідувач В. — лише другу; відвідувач Г. — першу і третю. З'ясувавши, що перші три відвідувачі зазнали отруєння, а четвертий залишився здоровим, можна зробити висновок, що саме друга страва була причиною отруєння. Це пояснюється, по-перше, тим, що єдиною подібною обставиною для всіх, хто зазнав отруєння, було споживання ними другої страви, а по-друге — єдиною обставиною, якою відрізнялася людина, яка залишилася здоровою, від усіх інших, було те, що вона не споживала другої страви.

Схема методу:

АВС->а

АВ-а

А-а

ВС-*—

Отже, обставина А є причиною явища а.

Метод супутніх змін. Виявити причину досліджуваного явища можна не лише за наявністю чи відсутністю її серед інших обставин, які передували виникненню цього явища, а й за тими змінами, які відбуваються в наслідку, під впливом змін у причині.

Метод супутніх змін: якщо зі зміною однієї з обставин, що передують виникненню досліджуваного явища, змінюється і саме явище, то, ймовірно, що саме ця обставина є причиною виникнення цього явища.

Наприклад: ґрунт, на якому були посаджені помідори, підживили невеликими дозами калію, азоту і фосфору. Рослини нормально розвивалися. Господар вирішив різко збільшити кількість азотних добрив, не вносячи в ґрунт ні калійних, ні фосфорних. Результат не примусив на себе довго чекати — помідори стали швидко збільшувати вегетативну масу. Звідси було зроблено висновок, що причиною швидкого збільшення вегетативної маси помідорів є азотні добрива.

Схема методу:

ABCD-abcd

AfiCDaficd

AfiCD-aficd

Отже, обставина А є причиною явища а.

Метод залишків. Цей метод передбачає наявність комплексу обставин (причин) і комплексу їх дій (наслідків). Якщо існують обставини ABC, спостерігаються їх дії abc, і відомо, що обставина В є причиною Ь, обставина С — причиною с, а причина а невідома, то в даному разі, виключивши обставини В і С, які породжують явища b і с, робиться припущення, що А є причиною а.

Метод залишків: якщо дві чи більше сукупних причин породжують стільки ж сукупних явищ (наслідків) і відомо, що частина цих причин породжує відповідну частину явищ, то залишкова причина, ймовірно, породжує останню частину явищ.

Схема методу:

ABC-abc ВСЬс

Отже, А є причиною а.

Роль індукції в процесі пізнання

Важко перебільшити місце і значення індукції в процесі пізнання. Особливо велику роль вона відіграла на зорі історії, коли люди користувалися лише обмеженою кількістю загальних понять. Та і в наш час без індукції не обійтися. Щоб збагнути справжнє значення індукції в житті людей, треба враховувати не лише її наукову цінність, а й роль у повсякденному житті. Навіть у формуванні світогляду (особливо світобачення, ставлення до дійсності та переживання буття) індукція відіграє істотну роль. Правда, щоб визнати це, треба належно оцінити силу впливу особистісного життєвого досвіду на процес становлення особистості.

Разом з тим не можна не брати до уваги ймовірний характер індуктивного узагальнення. Тому необхідно постійно працювати над підвищенням імовірності висновків, одержаних за схемою неповної індукції. З цією метою треба використовувати якомога більше засновків (збільшувати число випадків, які узагальнюються), урізноманітнювати досліджувані випадки, враховувати характер зв'язку між досліджуваними явищами та їх ознаками. З метою підвищення ймовірності висновків неповної індукції вдаються до різноманітних методів встановлення причинних зв'язків між явищами.

Логіка - Тофтул:7. ГіпотезаСутність гіпотези

Розбіжність (а тому й суперечність) між картиною світу, яку пропонує наука, і реальним світом існувала й існуватиме завжди. Людина ототожнює картину світу, відображену в буденній свідомості та науці, з реальним світом. Суто психологічно піднятися над цим неможливо: знаючи, що світ нескінченно багатший, ніж здається, реальним вважаємо лише те, що представлене в свідомості.

Наукова1 картина світу і відкриває людям очі на нього, і «закриває», бо все те, що не узгоджується з наукою тієї чи іншої епохи, її (науки) парадигмами, з великими труднощами проривається до людської свідомості2.

Світ, у якому ми живемо (та й саме буття), сповнений численними невідомими законами, зокрема й такими, що не узгоджуються не лише із здоровим глуздом, а й з багатьма сучасними науковими уявленнями.

Об'єктивні закони, якими прихованими вони б не були, якось виявляються, і, зрештою, певна, нехай надто віддалена, ланка їх вияву таки доходить до людської свідомості у формі явищ, які іноді не можуть бути пояснені існуючою системою знань. Виявляється, що невідоме не завжди вдається пояснити відомим.

Однією з форм осягнення таємниць таких явищ і є гіпотеза, хоча під гіпотезою в широкому значенні часто розуміють будь-яке припущення.

Гіпотеза — форма мислення, що становить собою припущення про існування певного закономірного зв'язку між явищами, причини виникнення яких невідомі.

Часто гіпотезою називають і припущення про існування факту, який безпосередньо не спостерігається.

«Гіпотеза» — поняття багатозначне, воно має принаймні такі три значення:

1) особливий рід припущень про безпосередньо не-спостережувані форми зв'язку явищ або про причини що породжують ці явища;

2) особливий рід умовиводу, у формі якого відбува ється висунення певного припущення;

3) складний засіб, який включає в себе як висунен ня припущення, так і його наступне доведення [78].

Види гіпотез

Гіпотеза може претендувати на пояснення всієї множини досліджуваних явищ, частини цієї множини або окремого явища. З огляду на цю особливість гіпотез їх відповідно поділяють на загальні, часткові й одиничні.

Загальна гіпотеза — припущення про певні закономірності,

які стосуються всієї множини явищ відповідної предметної

сфери.

Науку цікавлять загальні закономірності, а наукові положення виражаються, як правило, у формі загальних суджень.

Часткова гіпотеза — припущення про певні закономірності, які стосуються тільки деяких елементів множини явищ відповідної предметної сфери.

Після з'ясування специфіки підмножини явищ, кожного з яких стосується передбачувана закономірність, часткова гіпотеза перетворюється на загальну. Схема цього перетворення така: «Деякі S є Р» — «Всі S, які мають ознаку к, є Р».

Одинична гіпотеза (гіпотеза для одиничного випадку: ad hoc — «для цього») — припущення, що стосується характеристики одного-єдиного предмета чи явища.

Прикладом тут можуть бути гіпотеза Дж.-К. Максвелла про рух і структуру кілець Сатурна, гіпотеза про наявність планети — сусідки планети Уран тощо.

Розрізняють ще описові й пояснюючі гіпотези.

Описова гіпотеза — припущення про притаманні предмету властивості або форми зв'язку між спостережуваними предметами і явищами.

Ця гіпотеза намагається дати відповідь на питання: «Що становить собою даний предмет?», або «Які властивості має даний предмет?», або «В якому зв'язку перебувають дані предмети?».

Пояснююча гіпотеза — припущення про причини виникнення досліджуваних явищ.

Вона відповідає на питання «Які причини виникнення даних явищ?».

Розвиток сучасної науки свідчить про необхідність так званої математичної гіпотези. Це пояснюють тим, що для об'єктів, які вивчає сучасна наука, не завжди можна підібрати відповідні наочні образи, з якими маємо справу в повсякденному досвіді. Математична гіпотеза тісно пов'язана з феноменом, який називають мисленим експериментом.

Прагнучи відрізнити наукові гіпотези від усіх інших припущень і здогадів, турбуючись про максимальну ефективність гіпотез, учені намагаються визначити і сформулювати основні вимоги до цієї форми пізнання. Ось деякі з них:

1) принципова перевірюваність припущення, яке

оголошується гіпотезою;

2) максимальна її загальність;

3) наявність передбачувальної сили;

4) принципова (логічна) простота;

5) наступність, зв'язок висловлюваного припущення з попереднім знанням [9].

Об'єктивною основою перевірюваності наукової гіпотези є взаємозв'язок сутності й явища, зокрема та обставина, що «сутність являється».

Під максимальною загальністю треба розуміти те, що гіпотеза має пояснювати не частину фактів, які цього потребують, а всю їх сукупність. Більше того, з гіпотези повинно виводитися за можливості й ширше коло явищ, зокрема й ті, що, як здається, і не перебувають у зв'язку з досліджуваними явищами. Причому наукова гіпотеза повинна пояснювати відповідні явища глибше і повніше, ніж будь-яке інше припущення.

Наявність передбачувальної сили гіпотези виявляється в її здатності здогадатися про існування закономірності, до цього не відомої науці, та існування ще не відомих явищ, аналогічних досліджуваним, і способів відкриття (чи одержання шляхом експерименту) цих явищ.

Вимога щодо простоти гіпотези не суперечить тому фактові, що серед відомих гіпотез були й такі, що становили собою цілу систему знань, центральною ланкою якої, своєрідною синтезуючою ідеєю було відповідне припущення.

Під наступністю треба розуміти вимогу, згідно з якою гіпотеза не повинна суперечити сучасній науці. Доля істини в цій вимозі значна (нераціонально піддавати невиправданому сумніву всі результати науки), проте й абсолютизувати таку заборону не можна, пам'ятаючи про історичну обмеженість людського пізнання, зокрема про феномен відносності істини.

Усі перелічені застереження потрібно враховувати хоча б для того, щоб відрізнити від наукової гіпотези надумані, довільні, цілком безпідставні, фантастичні припущення.

Не можна ототожнювати з гіпотезою тезу доведення. Гіпотеза відрізняється від тези доведення зокрема тим, що вона є висновком правдоподібного, недостовірного умовиводу. Щоправда, вона, як і теза, потребує обґрунтування, проте рівень її ймовірності загалом вищий від імовірності тези. Не належать до гіпотез і припущення, які є засобом, а не кінцевою тезою доведення (припущення, відомі під назвою «абсолютний нуль», «абсолютно чорне тіло», «ідеальний газ» тощо).

Формулюванню гіпотези передують такі обставини:

1) виявлення явищ, причину виникнення яких неможливо з'ясувати з допомогою відомих науці знань;

2) формулювання відповідної проблеми;

3) добір і нагромадження потрібних фактів;

4) попередній аналіз цих фактів (явищ, причини яких з'ясовуються), вивчення обставин, що передували досліджуваним явищам, і тих, які їх супроводжують. При цьому вдаються до найрізноманітніших методів — до спостереження і експерименту, аналізу і синтезу, абстрагування й узагальнення тощо.

Будь-яка гіпотеза зароджується, виникає, проходить етап становлення і розвитку (уточнюється, виправляється, доповнюється) і, зрештою, або обґрунтовується і стає справді науковим, достовірним знанням, або спростовується і поступається місцем іншій гіпотезі.

Процес формування гіпотези та її застосування проходить такі ступені:

1) початковий здогад, що, як правило, використовується як робоча гіпотеза;

2) уточнення й ускладнення початкового здогаду і формулювання наукової гіпотези;

3) виведення можливих наслідків з гіпотези, її основного припущення;

4) перевірка того, наскільки названі наслідки відповідають об'єктивній дійсності, виявленим фактам.

Зародження початкового здогаду є складним і суперечливим процесом освоєння інформації про відповідний фрагмент реальності. Та оскільки він часто має інтуїтивний чи напівінтуїтивний характер, логічні засоби, які використовують у цьому процесі, не завжди усвідомлюють. Тому створюється видимість несподіваності виникнення цього здогаду, ніби він виникає з нічого. Історія науки свідчить, що більшість гіпотез постала в процесі міркування за формою аналогії та неповної індукції, хоча цю роль можуть виконувати й інші форми умовиводів, які з певних причин не спроможні забезпечити достовірні висновки.

Початкові здогади про природу досліджуваних явищ нерідко ґрунтувалися на умовиводі за аналогією. Помітивши, що дві групи явищ мають подібні властивості, й знаючи причину виникнення однієї групи явищ, припускають за аналогією, що й друга група зумовлюється, можливо, тією ж причиною. Це стосується багатьох гіпотез, зокрема гіпотез про природу блискавки, про атомістичну будову матеріального світу тощо.

Початковий здогад відрізняється від наукової гіпотези тим, що він менш обґрунтований, а тому й менш імовірний, простіший за своєю будовою, оскільки ще не став системою знань.

За умов дефіциту інформації про певний об'єкт іноді доводиться вдаватися до початкового здогаду як єдино можливого засобу хоч якось пояснити досліджувані явища, надати аналізові цих явищ упорядкованого цілеспрямованого характеру, систематизувати наявну інформацію. Тому здогад у його первісному чи дещо досконалішому вигляді часто використовують як робочу гіпотезу, яка, не претендуючи на статус готової відповіді на питання про природу досліджуваних явищ, вважаючись заздалегідь тимчасовим припущенням, разом з тим дає можливість розпочати організований і цілеспрямований процес дослідження відповідних явищ, згрупувати їх, дати попереднє пояснення.

Перетворення робочої гіпотези на наукову пов'язане з пошуками найзагальнішого припущення, здатного найповніше і найглибше пояснити досліджувані явища, передбачити і виявити нові факти. При цьому робоча гіпотеза часто зазнає значних змін — виправляється, уточнюється, доповнюється, а іноді й відкидається, і тоді на зміну їй приходить інша гіпотеза з розряду конкуруючих. Трапляється, що з трансформацією робочої гіпотези в наукову остання розгортається в складну, розгалужену систему знань. Так, у середині минулого століття німецький учений К. Гаусс висловив здогад про скінченну швидкість поширення електромагнітних взаємодій. Через 13 років його учень Г. Рі-ман розвинув цей здогад і одержав рівняння, розв'язання якого привело до висновку про скінченну швидкість поширення електричної дії. У працях М. Фарадея і Г. Рімана здогад про скінченну швидкість поширення електромагнітних процесів набув рівня гіпотези. На основі цієї гіпотези Дж.-К. Максвелл розробив систему знань, яка зусиллями багатьох учених бу-ла'перетворена на електромагнітну теорію поля.

Відмінність між початковим здогадом, робочою і науковою гіпотезами часто має умовний характер. Так, у 1704 p. P. Уолл висловив припущення (здогад), що електричний розряд можна порівняти з блискавкою і громом. А в 1746 р. Б. Франклін детально розробив цю аналогію, перетворивши початковий здогад на наукову гіпотезу, яку пізніше (в 1752 р.) підтвердив експериментально.

Доведення істинності гіпотези

Будь-яка гіпотеза має ймовірний характер, а тому потребує перевірки на істинність. Існує кілька способів доведення гіпотези. Найпоширеніший — виведення з неї (з основного припущення) наслідків і їх верифікація, тобто перевірка фактами.

Сформулювавши гіпотезу, намагаються вивести з неї якомога більше наслідків. При цьому ступінь імовірності гіпотези буде тим вищий, чим різноманітнішими і численнішими виявляться наслідки, виведені з цієї гіпотези, і чим більше вони будуть перевірені відповідними фактами. Міркують: якщо наше припущення відповідає дійсності й гадана закономірність справді існує, то вона якось повинна виявлятися. Потім роблять висновок про те, якими мають бути ці вияви, і намагаються їх віднайти або викликати до життя з допомогою відповідних експериментів. Виявлення таких явищ, безумовно, підвищує ймовірність припущення, але не завжди може бути достатньою підставою для обґрунтування істинності гіпотези, оскільки ці явища можуть бути спричинені й іншими обставинами. Формалізувавши міркування, в якому рухаються від істинності наслідків до істинності підстави (у нашому випадку — гіпотези), одержимо неправильну форму стверджувального модусу умовно-категоричного умовиводу:

а->Ъ; Ъ а '

Щоб домогтися необхідного висновку про істинність гіпотези на основі знання істинності наслідку, треба, щоб гіпотеза була достатньою і необхідною підставою для наслідку, а наслідок, у свою чергу, був достатньою і необхідною умовою для визнання істинності підстави (гіпотези). З цією метою з гіпотези намагаються вивести не один, а кілька наслідків, які в сукупності можуть становити не тільки необхідну, але й Достатню умову для того, щоб їх істинність була достатньою підставою для визнання істинності гіпотези. Схемою такого міркування буде знову ж таки умовнокатегоричний умовивід.

Існують й інші способи доведення гіпотез. Так, одиничну гіпотезу підтверджують безпосереднім виявленням того предмета (чи властивості предмета), існування якого передбачали в гіпотезі.

Важко перебільшити роль практики в процесі доведення гіпотези. За певних умов перевірка гіпотези може сприяти тому (і часто сприяє), що вона (гіпотеза) з імовірного припущення перетворюється на обґрунтоване, достовірне знання.

Гіпотезу як імовірне знання можна піддавати сумніву і спростуванню. Вона піддається сумніву вже тоді, коли вступає в суперечність хоча б з одним фактом.

Спростування гіпотези здійснюють, фальсифікуючи наслідки, які з неї випливають. При цьому слід пам'ятати, що як відшукання фактів, що відповідають виведеним з гіпотези наслідкам, не завжди є достатньою підставою для оголошення гіпотези істинною, так само невиявлення очікуваних фактів не завжди свідчить про те, що гіпотезу спростовано. Спростованою її можна вважати лише тоді, коли буде точно встановлено, що фактів не просто немає, а їх взагалі не може бути, оскільки це суперечить об'єктивним законам.

У процесі розв'язання складних проблем часто пропонують не одну, а дві й більше гіпотез. Оскільки ж істина одна, то зрозуміло, що кілька гіпотез, які по-різному пояснюють одні й ті самі явища, не можуть бути одночасно істинними. Виникає необхідність вибирати одну з двох або й кількох конкуруючих гіпотез.

Судове дізнання підпорядковується тим самим законам логіки, що й будь-яке інше. В судовому слідстві при поясненні окремих фактів чи сукупності обставин часто висувають не одну, а кілька гіпотез, в яких по-різному пояснюють ці факти. Такі гіпотези називають версіями.

Версія в судовому слідстві — одне з можливих припущень (гіпотез), яке пояснює походження або властивості окремих обставин злочину або подію злочину загалом.

Пізнавальна роль гіпотези

У процесі пізнання і практичної діяльності люди відкривають усе нові й нові явища. Переважна їх більшість осмислюється завдяки існуючим науковим теоріям. Проте впродовж історії траплялися і траплятимуться явища, які не можна пояснити за сучасного стану науки. В таких ситуаціях не обійтися без припущень про причини цих явищ чи характер зв'язку між ними, бо це єдина можливість згрупувати ці таємничі явища, дати їм попереднє пояснення.

Гіпотезу недарма вважають формою розвитку знань. Кожна форма мислення є не тільки формою існування, а й формою розвитку знань, та це передусім стосується гіпотези. Існування знань у формі гіпотез має минущий характер. Зрештою, це знання набуває іншого статусу — стає законом науки або теорією (чи взагалі відкидається як хибне).

Будь-яке нове знання має на перших порах гіпотетичний характер. Наукові теорії з'являються на світ у вигляді гіпотез. І, мабуть, немає жодної наукової теорії, яка свого часу не пройшла б стадії здогаду, гіпотези. Іншими словами, гіпотеза є неминучим етапом складного процесу виникнення, становлення і розвитку наукового знання. До того ж існуючі наукові теорії розширюються, поглиблюються і конкретизуються завдяки включенню до них нових положень, які добуваються з допомогою гіпотез.

Жодна наука не може обійтися без гіпотез, навіть математика, хоч вона й має справу із специфічними явищами, не завжди доступними для безпосереднього сприймання і верифікації.

Розуміння того, що наукове пізнання неминуче проходить етап здогаду, дає можливість нейтралізувати негативний вплив думок, у яких деякі вчені висловлюють скептичне ставлення до гіпотез як таких форм мислення, що мають усього лише ймовірний характер.

Значення тієї чи іншої гіпотези з'ясовується її придатністю до розв'язання актуальних проблем, які стоять перед наукою і суспільною практикою. Про неоціненну роль наукових передбачень свідчать хоча б гіпотеза М. Коперника про геліоцентричну систему світу, гіпотеза Ч. Дарвіна про походження людини, теорія відносності А. Ейнштейна.

Евристична роль гіпотези в розвитку наукового знання наочно дає про себе знати в гіпотетико-дедук-тивних теоріях, які становлять собою дедуктивно організовані системи гіпотез різного ступеня загальності. Ці теорії є неповними, завдяки чому відкриваються значні можливості для їх розширення і конкретизації за рахунок додаткових гіпотез, прикладних моделей, а також теоретичних моделей експериментальних установок. Усе це забезпечує широкий діапазон і гнучкість застосування гіпотез та інших розвинутих форм науково-теоретичного знання для осягнення складних об'єктів матеріального світу.

Гіпотетико-дедуктивні міркування ґрунтуються на виведенні висновків з гіпотез та інших засновків, іс-тиннісне значення яких невідоме. Хоча в дедуктивному міркуванні значення істинності переноситься на висновок, проте в даному випадку засновками служать гіпотези, а тому й висновок гіпотетико-дедуктивного міркування має лише ймовірний характер.

Залежно від типу засновків гіпотетико-дедуктивні міркування можна поділити на три основні групи. До першої, найчисленніпюї, належать міркування, засновками яких є гіпотези й емпіричні узагальнення. До другої відносять гіпотетико-дедуктивні міркування, засновки яких суперечать точно встановленим фактам або теоретичним принципам. Використовуючи припущення як засновок, можна одержати висновок, що суперечить відомим фактам. У такий спосіб в ході дискусії можна переконати опонента в хибності його припущень. До третьої групи належать гіпотетико-дедуктивні міркування, засновками яких є судження, що суперечать усталеним поглядам і переконанням. Прикладом гіпотетико-дедуктивної системи, засновками якої є основні принципи (закони) руху, можна вважати механіку Ньютона, викладену в «Математичних началах натуральної філософії».

Гіпотетико-дедуктивний метод настільки глибоко проник у методологію сучасного природознавства, що' його теорії нерідко розглядають як тотожні з гіпотети-ко-дедуктивною системою. Гіпотетико-дедуктивна модель добре описує формальну структуру теорій, проте не враховує деякі інші їх особливості й функції, а також ігнорує генезис гіпотез і законів, які виступають їх засновками. Тому така модель служить передусім засобом для аналізу логічної структури сформованої природничо-наукової теорії.

З логічної точки зору, гіпотетико-дедуктивна система становить собою ієрархію гіпотез, ступінь абстрактності й загальності яких зростає в міру віддалення їх від емпіричної бази. На вершині розташовуються гіпотези, що мають найзагальніший характер. За ними, звичайно, найбільша логічна сила. З них як із засновків виводяться гіпотези нижчого рівня. На найнижчому рівні перебувають гіпотези, які можна зіставити з емпіричною дійсністю.

Гіпотетико-дедуктивний метод дає можливість дослідити не тільки структуру і взаємозв'язок між гіпотезами різного рівня, а й характер їх підтвердження емпіричними даними. Внаслідок встановлення логічного зв'язку між гіпотезами гіпотетико-дедуктивної системи підтвердження однієї з них опосередковано свідчить про підтвердження інших гіпотез, які перебувають з нею в логічному взаємозв'язку. Цим пояснюється прагнення об'єднати їх у межах гіпотетико-де-дуктивних систем.

Різновидом гіпотетико-дедуктивного методу можна вважати математичну гіпотезу, яку використовують як важливий евристичний засіб для відкриття закономірностей. Як правило, гіпотезами тут виступають певні рівняння, що становлять собою модифікації співвідношень, раніше відомих і перевірених. Змінюючи ці співвідношення, складають нове рівняння, що виражає гіпотезу, яка стосується ще не досліджених явищ. Так, М. Борн і В. Гейзенберг взяли за основу канонічні рівняння класичної механіки, але замість чисел увели в них матриці, побудувавши в такий спосіб матричний варіант квантової механіки.

У процесі наукового дослідження найважче завдання полягає у відкритті й формулюванні принципів і гіпотез, які є основою для всіх подальших висновків. Гіпотетико-дедуктивний метод відіграє в цьому процесі допоміжну роль, оскільки з його допомогою не висуваються нові гіпотези, а тільки перевіряються наслідки, які з них випливають. Орієнтуючись на ці наслідки, можна контролювати процес наукового дослідження [81].

Про велике пізнавальне значення гіпотези свідчать і багато інших аргументів, насамперед історія науки.

Для роздумів

Гіпотезу визначають по-різному. Однією з причин цієї неузгодженості точок зору є багатозначність терміна «гіпотеза». Немає одностайності і в розумінні різних його значень. Наведемо з цього приводу кілька прикладів висловлювань про багатозначність цього терміна:

«Гіпотеза» — 1) особливого роду припущення про безпосередньо нес-постережувані форми зв'язку явищ або причини, що утворюють ці явища;