10. Общая схема планирования эксперимента. Этапы планирования экспериментов.

Рассмотренные методы позволяют аппроксимировать поверхность отклика, если она в пределах исследуемой области линейна или близка к линейной. В общем случае поверхность отклика может иметь сложную форму, напоминающую местность с холмами и оврагами, с вершинами и впадинами. Задачей эксперимента часто является поиск экстремальных значений поверхности отклика, т.е самой высокой точки или самой низкой (min-ой) точки. Такую задачу решают методом случайного или целенаправленного поиска. Случайный поиск или простой перебор точек факторного пространства, требует очень больших затрат ресурсов, поэтому используют целенаправленный перебор точек факторного пространства. Схема такого перебора, называемого также «крутое восхождение» имеет следующий вид:

В начале случайным образом выбираем достаточно малую область факторного пространства. Для этой области планируют дробный факторный эксперимент и проводят первую серию опытов и строят линейную функцию отклика. Цель этих опытов состоит еще не в поиске экстремального значения функции, а состоит в предварительном отыскании направления дальнейшего поиска, получив приближенное линейное уравнение, находят его grad-ты по каждой переменной в каждой точке и выбран следующую область для приближенных исследований. В этой области вновь ставят серию опытов и определяют коэффициент уравнения нового линейного приближения. Повторяя такие операции достигают вершины поверхности отклика, в которой по всем направлениям функция отклика практически не изменяется.

В этой области проводят полный факторный эксперимент с определением не только линейных коэффициентов регрессий, но и всех учитываемых взаимодействий. Тот факт, что функция отклика в окрестности исследуемой точки почти не изменяется, еще не означает, что мы находимся в близи точки максимума. Мы можем при этом находится на медленно поднимающемся участке или на участке постоянной высоты, возможно так же, что достигнута седловидная точка, является максимальной точкой по одному направлению и минимальной по другому. Наконец мы можем найти точку не глобального а локального максимума. В точке максимума следует проводить полный факторный эксперимент с учетом взаимодействия факторов. Более достоверные результаты дает квадратичное приближение вида:

Для оценки коэффициентов регрессии в этой модели необходимо измерить каждый фактор по меньшей мере на 3-х уровнях, эти означают необходимость проведения полного факторного эксперимента или его дробных реплик.

Этапы планирования эксперимента.

Общая схема планирования экспериментов для решения экстремальных задач состоит из следующих этапов:

1. Постановка задачи

2. Выбор параметра оптимизации

3. Выбор факторов

4. Составление линейного плана

5. Реализация линейного плана и построение линейной модели

6. Поиск области экстремума

7. Описание области экстремума

8. Интерпретация результатов

1) Решение любой задачи начинается с ее формулировки, при этом необходимо иметь ясное, четкое и вполне однозначное представление о цели работы. Желательно, чтобы эта цель была сформулирована количественно, так как планирование экспериментов связано прежде всего с установлением количественных связей между входными и выходными параметрами, изучаемой системы.

2) Одним из наиболее ответственных этапов является выбор параметра оптимизации он должен быть однозначным, характеризоваться числами и действительно определить оптимизацию надо стремиться к тому, что бы параметр был только один, имел ясный физический смысл и оценивался с максимальной статистической эффективностью. Последнее позволяет сократить до минимума число n-ых опытов. Простейший случай имеет место, когда заранее известен и сам параметр и то его значение к которому следует стремится. При этом иногда приходится изменять вид параметра и переходить от его натуральных значений к логарифмам обратным величинам и т.д. Если же значение параметра к которому следует стремится не известно, следует пытаться установить ограничение его величины. Хотя бы с одной стороны иногда параметр оптимизации приходится изменить из-за технических трудностей, связанных с отсутствием необходимых методик или достоверных методов оценки., но поиск экстремума становится во многом интуитивным, а интерпретация результатов усложняется, часто возникают трудности в количественной оценке параметров оптимизации, тогда можно использовать субъективных, ранговые параметры, также как сорт, балл, класс и т.д.

3) Не менее сложен этап выбора факторов, влияющих не изменение параметров оптимизации. Если при постановки задач, пропустить какой-нибудь сильно влияющий фактор, то вся работка окажется бесполезной, поэтому при планировании экспериментов необходимо включать в план исследования все факторы, которые могут влиять на параметр оптимизации. Часто выбранных факторов оказывается очень много, если их число перевешивает 10, то возникает задача отсеивания малозначимых факторов. Факторы которые по тем или иным причинам не возможно учесть эксперименте, необходимо в течении всех опытов стабилизировать на постоянных уровнях .

Важным требованием, предъявляемым к факторам является невозможность их взаимозаменяемости. Взаимозаменяемость не следует допускать даже для двух любых факторов из общей совокупности. Выбирая факторы рекомендуется учитывать область ограничивающую их возможное варьирование, желательно, что бы факторы имели количественную оценку, хотя планирование экспериментов возможно, когда некоторые представлены качественно, после выбора факторов, для каждого из них устанавливают основной уровень и интервалы варьирования. Интервалы следует выбирать таким образом что бы их величина не превышала удвоенной среднеквадратичной ошибки в определении данного фактора.

4) И определение коэффициентов регрессии производят по рассмотренным правилам. Определение доверительных интервалов коэффициентов регрессии. Если проводятся повторные серии опытов или осуществляется несколько прогонов модели на компьютере, то возникает задача, статистической оценки, коэффициентов регрессии. После определения этих коэффициентов следует установить их статистическую значимость. С это1 целью проверяют гипотезу об однородности выборочной дисперсии и вычисляют доверительные интервалы коэффициентов регрессии.

Статистический анализ уравнения регрессии. После вычисления коэффициентов регрессии и проверки их значимости, проводят статистический анализ уравнения регрессии. С этой целью проверяют гипотезу об адекватности данного уравнения, т.е ищут ответ на вопрос, соответствует ли полученное линейное уравнение исследуемому явлению или необходима более сложная модель, т.е не линейная. Количественной оценкой адекватности уравнения регрессии является дисперсия неадекватности, характеризующая квадрат отклонений экспериментальных значений У от теоретических. Гипотезу адекватности обычно проверяют с помощью критерия Фишера, но возможно использование также других критериев. Адекватность линейного уравнения можно проверить и другими способами. Свободный член уравнения регрессии в. является по сути дела оценкой результата опыта на основанном уровне, когда все остальные факторы исключены. Поэтому, сделав соответствующий опыт можно сравнить его результаты с величиной свободного члена, т.е проверить гипотезу о равенстве 0, суммы коэффициентов факторов при квадратичных членах, Эта гипотеза может быть принята, если разность не превышает среднеквадратные слои ошибки эксперимента. Значимость этого различия иногда проверяют сопоставление с критерием Стьюарта.