1. Модель и моделирование. Свободное колебание тела прикреплённого к пружине.

Модели и моделирование.

Между двумя объектами существует отношение оригинала и модели, если между ними может быть установлено сходство хотя бы в каком-либо одном определенном смысле.

Модель – упрощенное представление в виде схем изображений, описаний, математических формул в виде какого-либо материального предмета, явления или процесса, относящихся к природе или обществу. Модель выполняет следующие основные функции:

1) познавательную, т.к. дает возможность заглянуть в суть изучаемых явлений и лучше понять их.

2) прогнозирование, т.к. позволяет в некотором смысле предсказать будущее, ожидающее объект, модель которого исследуется.

3) принятие решения с целью планирования и управления процессами в системе.

Моделирование – изучение интересующих свойств оригинала, путем построения его модели и исследование свойств модели. Оно является одним из наиболее распространенных методов исследования различных процессов и явлений.

Абстрагируясь от физической сущности явлений процесса функционирования любой системы можно рассматривать как последовательную схему ее состояний во времени. Состояние системы в каждый момент времени характеризуются набором некоторых величин х₁, х₂,…,х_n при переходе от одного состояния к другому, они в общем случае меняются и могут рассматриваться как функции от времени t, т.е. х₁(t), х₂(t),…,х_n(t). Такие переменные называются характеристиками состояния системы, характеристики состояния системы могут быть интегрированы как координаты точки в n мерном фазовом пространстве. Следовательно функционированию системы соответствует некоторая фазовая траектория, которая может быть описана вектор функцией вектор x(t)=( х₁(t), х₂(t),…,х_n(t))

П ример 1. При составлении математической модели объекта необходимы определенные допущения:

1) система подчиняется закону Гука

2) сила трения и другие силы сопротивления отсутствуют

3) записывается математическая модель

Пусть

уравнение свободных колебаний

циклическая частота свободных колебаний

; ;

характеристическое уравнение.

решение уравнения свободных колебаний.

и характеристики (переменные) состояния системы. Функционирование системы соответствует вращению по эллипсу.

На вход системы в общем случае могут поступать входные сигналы, воздействующие на состояние системы так, что характеристики ее состояния в произвольный момент времени зависят от начального состояния системы и входных сигналов поступающих в моменты времени . Система в общем случае выдает на выходе сигналы полностью определяемые состоянием системы в предыдущие моменты времени. Модели, описывающие совокупность неслучайных состояний называются детерминированными, они дают возможность однозначного определения характеристик состояния системы и выходных сигналов через параметры системы, входные сигналы и начальное состояние.

На практике, однако, приходится иметь дело со случаями, когда характеристики состояния системы и выходные координаты (сигналы) являются случайными функциями времени. Это результат того, что фактически случайными величинами являются начальные условия, входные воздействия и параметры системы. Кроме того на элементы системы действуют случайные возмущения, возникающие внутри самой системы. Такие модели называются вероятностными или стохастическими. Необходимо отметить, что детерминированная модель может быть построена для исследования стохастических моделей. Примером такой модели являются соотношения, связывающие числовые характеристики законов распределения, входных и выходных сигналов системы. Кроме того вероятностные модели могут быть построены для исследования детерминированных систем. Нр. к таким моделям относятся: методы случайного поиска экстремума функции и метод Монте-Карло для вычисления многомерных интегралов и т.д.

2. Виды моделирования.

Моделирование – изучение интересующих свойств оригинала, путем построения его модели и исследование свойств модели. Оно является одним из наиболее распространенных методов исследования различных процессов и явлений. Различают следующие виды моделирования:

1. физическое моделирование, при котором модель воспроизводит реальный объект с сохранением его физической природы, причем между процессами в объекте-оригинале и в модели выполняются некоторые соотношения подобия, вытекающие из схожести физических явлений.

2. математическое моделирование, осуществляемое средствами математики и логики.

3. имитационное моделирование, при котором математическая модель, исследуемого объекта представляет собой алгоритм функционирования объекта, реализованный в виде программного комплекса для вычислительной системы (машины).

4. компьютерное моделирование, которое производится средствами компьютерных технологий, в частности с применением численных методов, когда математическая модель на столько сложна, что невозможно ее решить аналитически.

5. концептуальное моделирование, при котором совокупность уже известных фактов или представлений, относительно исследуемой системы истолковывается с помощью некоторых специальных знаков, символов, операций над ними или с помощью естественного или искусственного языка.

6. структурно-функциональная модель, при котором моделями являются схемы, блок-схемы, графики, чертежи, диаграммы, таблицы, рисунки, дополненные специальными правилами, предназначенными для их объединения и преобразования.

Перечисленные виды моделирования могут использоваться при исследовании сложных объектов и систем отдельно, либо в комбинации

3. Математическое моделирование.

Математическое моделирование (ММ)

ММ дает возможность заменить непосредственный анализ основных свойств сложных систем анализом свойств и характеристик некоторых матем объектов. Матем модель объекта представляет собой некоторый набор соотношений между физическими величинами модели, подразделяемых на пар-ры и переменные. Парам-ры модели отражают внеш усл-я и слабо меняющиеся хар-ки. Переменные модели отражают основные для данного исследования характеристики, анализ изменения которых представляет главную цель математического моделирования. Для построения матем моделей в основном исп-ся методы и теории диф-ных и интегральных уравнений, теории случ процессов и теории исследования операций. С помощью диф-ных ур-ний строятся детерминированные модели, теория случ или стохастич процессов позволяет изучать явления, управляемые вероятностными законами. Применением теорий исследования операций решаются задачи, определение оптимального вар-та, развития моделируемой системы. Матем модели могут представлять собой: хар-ки сис-м, заданные функциональными зависимостями или графиками; ур-я, описывающие динамику систем; таблицы или графики переходов системы из одних состояний в другие и тд. Первый шаг при ММ- это выявление всех основных факторов, оказывающих существенное влияние на поведение исследуемой сис-мы. На этом этапе важно определить и включить в модель те переменные, которые оказывают основное влияние на переменные (хар-ки) состояния сис-мы и опустить те детали, которые явл-ся несущественными в данном случае. Необх отметить, что никаких формальных правил для решения этих вопросов не сущ-ет. Здесь главным явл-ся здравый смысл исследователя и проверка соответствия модели к реальной сис-ме на основе эксперимента. Все это приводит в итоге к построению приемлемой матем модели. В кач-ве переменных состояния сис-мы целесообразно выбирать такие ф-ии, которые с одной стороны обеспечивали бы удобство определения искомых вел-н при исследовании, а с др стороны давали бы возм-ть получить достаточно простую модель. Выбор пар-ров, характеризующих процесс функционирования сис-мы обусловлен теми факторами, которые должны учитываться при составлении матем модели процесса и обеспечивать достаточную полноту описания различных его сторон. Перечень нач-ных усл-ий, зависящий от того, какие хар-ки состояния сис-мы были выбраны, может быть определен однозначно лишь после построенной матем модели. Процесс составления матем описания или модели реальной сис-мы состоит из след этапов формализации:

1)составляется содержательное описание, представляющее перечень основных сведений об изучаемом процессе. Установл-ие хар-ки процесса совокупность параметров строго определяются все зависимости между ними и уточняются исходные данные

2)осуществляется постановка задачи исследования и формулируется цель моделир-я, а также опред-ся перечень исх данных

3)составляется матем модель процесса, т.е. происходит запись в аналитической форме всех соотношений содержательного описания с использованием тех или иных матем схем таких, например, как вероятностные схемы в случае стахостич явлений, диф-ные ур-я, типовые логические схемы и тд.

4) в случае реализации матем модели на комп-ре составляются численные схемы и алгоритмы

П р.

Различные по физич природе явления могут описываться одинаковыми матем моделями и т.о. если это матем модель исследована, то достаточно интерпретировать соотв явление.