17. Основные свойства сети Петри.

Безопасность. Одно из важнейших свойств сети Петри — это безопасность. Позиция сети Петри является безопасной, если число фишек в ней никогда не превышает 1.

Ограниченность. Безопасность — это частный случай свойства ограниченности. Позиция является k-ограниченной, если количество фишек в ней не может превышать целое число k.

Сохранение. Практическая мотивация введения свойства сохранения, в частности, состоит в следующем. Сети Петри можно использовать для моделирования систем распределения ресурсов. В этих системах фишки могут представлять ресурсы. Для сетей Петри, моделирующих такие системы, важным свойством является сохранение, гарантирующее, что фишки, представляющие ресурсы, никогда не создаются и не уничтожаются. Т.е. общее их число в сети остаётся постоянным.

А ктивность. Другая задача, которая возникает при распределении ресурсов— это обеспечение отсутствия тупиков. В качестве примера, рассмотрим систему, включающую в себя два ресурса q и r, разделяемые двумя процессами a и b. Циклический процесс a на каждой итерации цикла сначала запрашивает ресурс q, затем ресурс r и, наконец, освобождает и q, и r. Процесс b работает аналогично, но сначала запрашивает r, а затем q. Следующая ниже сеть Петри моделирует эту систему.

Последовательность запусков переходов a_q,, b_r, приводит к тупику. В этой ситуации процесс a обладает ресурсом q и хочет получить r, процесс b обладает r и хочет получить q. Ни один из процессов не может продолжать выполнение из-за занятости необходимого ресурса другим процессом.

Тупик в сети Петри — это переход (или множество переходов), которые не могут быть запущены. В связи с понятием тупика определим для сети Петри N с начальной маркировкой  следующие уровни активности переходов:

Уровень 0: Переход t обладает активностью уровня 0, если он никогда не может быть запущен.

Уровень 1: Переход t обладает активностью уровня 1, если он потенциально запустим, т. е. если существует такая ’R(N,), что t разрешён в ’.

Уровень 2: Переход t обладает активностью уровня 2, если для всякого целого n существует последовательность запусков, в которой t присутствует по крайней мере n раз.

Уровень 3: Переход t обладает активностью уровня 3, если существует бесконечная последовательность запусков, в которой t присутствует неограниченно часто.

Уровень 4: Переход t, обладает активностью уровня 4, если для всякой ’R(N,) существует такая маркировка ”R(N,’), что t разрешен в ”.

Переход, обладающий активностью уровня 0, называется пассивным. Переход, обладающий активностью уровня 4, называется активным.

Достижимость и покрываемость. Определение. Задача достижимости. Для данной сети Петри с маркировкой   и маркировки ’ определить: ’R(N,)?

Многие другие задачи анализа можно сформулировать в терминах задачи достижимости. В частности, если известно, что маркировка описывает тупик в сети Петри, то возникает вопрос о её достижимости из начальной маркировки. 

Определение. Задача покрываемости. Для данной сети Петри N с начальной маркировкой  и маркировки ’ определить, существует ли такая достижимая маркировка ”R(N,), что ">’.

(Отношение "’ истинно, если каждый элемент маркировки " не меньше соответствующего элемента маркировки ’.)

Многие задачи анализа активности переходов могут быть сведены к исследованию покрываемости. При этом существенное значение имеет тот факт, что разрешённость перехода в маркировке ", следует из разрешённости перехода в маркировке ’ если "’.

Последовательности запусков переходов. Другой подход к анализу основан не на позициях, а на последовательностях запусков переходов. В общем случае ставится следующая задача: Для заданной сети Петри определить, возможна ли заданная последовательность запусков переходов или возможна ли какая-либо последовательность из заданного множества последовательностей запусков переходов. Такая задача актуальна, например, в случае, когда известно, что заданная последовательность запусков переходов приводит к тупику или нарушает взаимное исключение процессов.

Эквивалентность и включение. Сети Петри присуще некоторое поведение, которое определяется множеством её возможных последовательностей запусков переходов или её множеством достижимых маркировок. Интересной с практической точки зрения является задача оптимизации (изменения) сети Петри без изменения её поведения. Изменение означает, в частности, удаление пассивных переходов (которые никогда нельзя запустить), или пассивных позиций (которые никогда не могут быть маркированы). Оптимизация может состоять, в частности, в увеличении параллелизма, в уменьшении стоимости аппаратной реализации. Понятие эквивалентности сетей Петри может быть определено через равенство множеств достижимых маркировок.