- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
Контрольні запитання
5.1 У чому полягає постановка для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня?
5.2 У чому полягає суть методу Фур’є для розв’язування задач про поздовжні коливання стержня?
5.3 У чому особливість методу Фур’є стосовно вимог до крайових умов?
Лекція 6 розповсюдження тепла
6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
Розглянемо задачу про розповсюдження тепла в нерівно-мірно нагрітому тілі V, обмеженому поверхнею S. У цьому ви-падку виникають теплові потоки від ділянок з вищою темпе-ратурою до ділянок з нижчою. Тобто відбувається перерозпо-діл тепла.
За величину, що характеризує даний процес, візьмемо функцію , яка визначає температуру в будь- якій точці M(x,y,z) у будь-який момент часу t.
При побудові математичної моделі зробимо наступні припущення стосовно фізичних властивостей тіла:
1) тіло – однорідне;
2) ізотропне;
3) у тілі відбувається механічний перенос тепла від більш нагрітих ділянок до менш нагрітих;
4) усе тепло йде на зміну температури тіла;
5) властивості тіла від температури не залежать.
Щоб вивести рівняння теплопровідності достатньо склас-ти рівняння теплового балансу, яке запишемо так:
(6.1)
Визначимо всі складові цього рівняння.
1) – це кількість тепла, що проходить через поверхню за деякий час ∆t. Для визначення скористаємося експе-риментальним законом Фур’є, згідно з яким елементарна кіль-кість тепла , що проходить через елементарну частину по-верхні у напрямку внутрішньої нормалі до неї за оди-ницю часу, дорівнюватиме де k – коефіцієнт внутрішньої теплопровідності, k>0, розмірність .
Вважаємо, що коефіцієнт k не залежить від напряму нор-малі. Щоб визначити всю кількість тепла, що проходить через поверхню за час ∆t, достатньо вираз, що визначає елементарну кількість тепла , проінтегрувати по цій поверхні і домножити на ∆t:
Нехай вектор тоді
Тоді
використовуючи формулу Остроградського по відношенню до вибраного елемента ω з внутрішньою нормаллю до поверхні , маємо
.
Звідси
. (6.2)
2) – це кількість тепла, що виділяється (поглинається) джерелами (якщо вони є), розподіленими в об’ємі ω за деяким законом. Позначимо через f(M,t) питому потужність джерела в точці M(x,y,z) у момент часу t (аналог інтенсивності зовнішніх сил в задачах на коливання). Тоді елементарна кількість тепла за одиницю часу буде
Вся кількість тепла за час ∆t:
. (6.3)
3) – уся кількість тепла, що йде на зміну температури в будь якій точці М за деякий час ∆t, може бути визначена за законом Ньютона [2], згідно якого елементарна кількість тепла прямо пропорційна зміні температури ∆U за час ∆t і масі елементарної частини ρdω та дорівнюватиме де С – питома теплоємність матеріалу тіла, розмірність ; ρ – густина.
Звідси . (6.4)
враховуючи рівності (6.1) – (6.4), запишемо рівняння теплового балансу
Або
(6.5)
Згідно з основною лемою математичної фізики якщо під-інтегральна функція неперервна та інтеграл по довільній області ω дорівнює нулю, то і сама функція також дорівнює нулю. Отже,
.
Поділимо на Cρ∆t і перейдемо до границі при
.
Або
де ; .
Якщо врахувати, що
.
то отримаємо
. (6.6)
Це тривимірна модель розповсюдження тепла у тілі , або просторове рівняння теплопровідності. тут М – точка M(x,y,z).
Очевидно, що двовимірна модель буде мати вигляд:
(6.7)
яка описує розповсюдження тепла в дуже тонкій (плоскій) пластині . Тут М – точка M(x,y).
І одновимірна модель:
(6.8)
Це рівняння теплопровідності для прямолінійного тонкого стержня (один характерний розмір – довжина). Тут М – точка з однією координатою . Саме з цим рівнянням ми і будемо далі працювати. Зауважимо, що в силу зроблених нами припущень величини сталі. Також вважаємо, що бічна поверхня стержня теплоізольована.
Проаналізуємо рівняння теплопровідності (6.8):
; .
Тут x – просторова координата, t – час, U(x,t) – температура в точці з координатою х в момент часу t.
Якщо зафіксувати , то отримаємо – закон, за яким змінюється температура в точці , якщо зафіксувати час ,то отримаємо – розподіл температур у стержні в момент часу .
Вільний член F(x,t) характеризує наявність джерел тепла в стержні. Якщо їх нема, то F(x,t)=0 і рівняння теплопровідності набуває простого вигляду
(6.9)