- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
Контрольні запитання
2.1 Які припущення відносно геометричного та фізичного стану стержня слід зробити при виведенні рівняння, яке б описувало поздовжні коливання, що виникають у ньому під час розтягу або стиску внаслідок прикладених зусиль?
2.2 На які фізичні закони спираються при виведенні хвильово-
го рівняння, що описує поздовжні коливання стержня?
2.3 Вигляд хвильового рівняння у випадку важкого стержня.
2.4 З чого складається постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня?
2.5 Що задають та характеризують початкові умови?
2.6 На що вказують крайові умови? Різновиди крайових умов.
Лекція 3 поперечні коливання струни
3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
Розглянемо туго натягнуту струну із закріпленими кінця-ми. Якщо вивести її із стану рівноваги, то почнуться коливан-ня струни. При вивченні цього коливального процесу зробимо ряд припущень щодо геометричного і фізичного стану струни:
струна скінченна завдовжки l;
діаметр поперечного перерізу d набагато менший за довжину струни l, тобто ним можна знехтувати і вважати, що є тільки один характерний розмір – довжина;
струна однорідна, тобто лінійна густина
струна пружна, тобто має місце закон Гука;
коливання поперечні, тобто всі точки струни рухають-
ся перпендикулярно до її положення рівноваги, причому у будь-який момент струна лежить в одній площині;
коливання малі, тобто малі відхилення точок струни від положення рівноваги;
зовнішні сили неперервно розподілені вздовж струни і діють перпендикулярно до положення рівноваги струни;
сила натягу струни у всіх точках є величиною сталою (T=const) і напрямленою по дотичній до струни.
Виведемо рівняння поперечних коливань струни. Введемо систему координат , у якій струну розмістимо на осі .
Рисунок 3.1 – Нескінченно малий елемент струни М1, М2, спроектований на інтервал
Вважаємо, що кінці струни ( та ) закріплені нерухомо. Якщо струну вивести із положення рівноваги (від-тягнути, або ударити по ній), то кожна її точка переміститься на деяку величину . Розглянемо нескінченно малий елемент струни М1М2, який проектується на інтервал . На цей елемент діють сили натягу T, які замінюють відкинуті частини струни (Рисунок 3.1). Знайдемо проекції сил на вісь ou:
. (3.1)
Оскільки коливання малі, то кути та теж малі, тому мають місце наступні перетворення (з точністю до нескінченно малих вищих порядків):
;
.
Тоді сила натягу струни
(3.2)
Сила натягу належить до внутрішніх сил. Припустимо, що на одиницю довжини струни діє зовнішня сила з інтенсив-ністю . Елементарна сила, що діє на елементарну довжину струни з проекцією дорівнює , а на виділений елемент : .
Зовнішня сила вважається додатною, якщо вона діє вгору, і від’ємною, якщо – вниз.
Тепер, згідно другого закону Ньютона (сума всіх діючих на рухомий об’єкт сил дорівнює добутку його маси на прискорення), маємо:
або .
За основною лемою математичної фізики маємо:
або, поділивши на ,
. (3.3)
Введемо такі позначення: ; Тоді отримаємо хвильове рівняння для поперечних коливань струни:
, . (3.4)
Зазначимо, що – розв’язок цього рівняння, що визначає положення будь-якої точки струни у будь-який момент часу , тобто визначає форму струни.
Знайдемо вільний член , пов’язаний з наявністю зовнішніх сил, у випадку важкої струни. Середня інтенсивність сили тяжіння для елемента : .
Інтенсивність в точці струни
Тоді , а хвильове рівняння набуває вигляду:
, . (3.5)
Якщо то коливання називаються вільними, а якщо то – вимушеними.
З фізичної точки зору коефіцієнт – це швидкість розповсюдження поперечної хвилі, що підтверджується його розмірністю:
. Отже, .