- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
Розглянемо задачу теплопровідності у скінченному стержні довжиною l. нехай його кінці відповідають точкам х=0 та х=l на осі Ох . Враховуючи специфіку метода Фур’є, розглянемо ряд задач з однорідними крайовими умовами.
1) Знайти розподіл температур в стержні, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл задається функцією
Поставимо задачу:
,
П.У. К.У. (6.19)
Для неперервності U(х; t) в точках (0; 0) і (l; 0) необхідно вимагати, щоб φ(0)=φ(l)=0. Також припускаємо, що функцію можна розкласти по синусах кратних дуг на проміжку . Згідно методу Фур’є ненульові розв’язки рівняння, що задовольняють умови (6.19), шукаємо у вигляді добутку двох функцій:
Підставляючи цю функцію у рівняння теплопровідності, отримаємо:
або
Останній факт було досліджено при розв’язуванні задач про коливання. Таким чином, рівняння теплопровідності розпадається на два звичайних диференціальних рівняння:
, (І)
(ІІ)
Розглянемо спочатку перше рівняння і знайдемо функцію Оскільки розв’язки характеристичного рівняння є комплексно спряженими то шукана функція набуває вигляду
Для знаходження невідомих сталих, використовуємо крайові умови, записані для функції
К.У.
Звідси:
Очевидно, що (інакше отримаємо тривіальний роз-в’язок). Тоді:
Отже, маємо:
, (6.20)
Тепер з рівняння ( ІІ ) знайдемо функцію Це дифере-нціальне рівняння першого порядку з відокремлюваними змінними:
, тоді
Враховуючи, що , остаточно маємо:
, (6.21)
Таким чином, знайдено частинні розв’язки рівняння тепло-
провідності:
Оскільки рівняння теплопровідності є лінійним та однорідним, то його загальний розв’язок можна знайти, як суму частинних розв’язків:
або, позначивши , запишемо:
(6.22)
Для визначення коефіцієнта скористаємося початко-вою умовою:
П.У.
Звідси:
Для функції отримано розклад в ряд Фур’є за сину-сами в інтервалі з коефіцієнтами розкладу . Тоді згідно формул Фур’є:
(6.23)
Таким чином, розв’язок задачі про поширення тепла у стержні, на кінцях якого підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією шукається за формулами (6.22), (6.23).
Зауваження
Розглянемо випадок, коли на кінцях стержня задається ненульова температура. Тоді задача має наступну постановку:
, ,
П.У. К.У. (6.24)
Тут та – сталі температури відповідно на кінцях х=0 та x=l.
У цій задачі з неоднорідними граничними умовами достатньо зробити підстановку:
(6.25)
яка зведе її до попередньої задачі відносно функції Цю процедуру пропонується виконати студентам самостійно.
Розглянемо ще одну задачу про поширення тепла у стержні.
2) Знайти розподіл температур в стержні, на одному кінці якого весь час підтримується нульова температура, а другий кінець теплоізольвано при довільній початковій умові.
Поставимо задачу:
, ,
П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.26)
Зазначимо, що тут не суттєво, який кінець теплоізольовано. Як бачимо, крайові умови однорідні. Розв’яжемо цю задачу за методом Фур’є, згідно якого
(6.27)
Тоді рівняння теплопровідності:
або
Розглянемо рівняння
,
розв’язок якого
Сталі А та В шукаємо із крайових умов:
К.У.
Розпишемо граничні умови:
Очевидно, що тоді
Звідси ,
Отже,
. (6.28)
Розв’яжемо друге рівняння для функції , що одержується з рівняння теплопровідності:
.
.
Розв’язок цього рівняння:
.
Враховуючи, що , , отримаємо
. (6.29)
Отже, маємо і розв’язок даної зада-чі шукаємо у вигляді:
Поклавши , остаточно будемо мати:
. (6.30)
Коефіцієнти визначаються із початкової умови, як у попередній задачі:
(6.31)
Отже, формули (6.30) і (6.31) дають розв’язок даної задачі.
3) Розв’язати задачу про поширення тепла в стержні, на одному кінці якого стала температура U0, а другий – теплоізольований.
Поставимо задачу:
, ,
П.У. U(x,0)=φ(x), К.У. (6.32)
За методом Фур’є крайові умови мають бути нульовими. Тому проведемо заміну
Рівняння теплопровідності:
,
К.У. (6.33)
П.У.
За методом Фур’є отримаємо
(6.34)
де
Отже, остаточно маємо:
Приклад 6.2 Розв’язати задачу про поширення тепла у стержні довжиною l, на кінцях якого весь час підтримується нульова температура, а початковий розподіл температур задається функцією
Поставимо задачу:
, ,
П.У. К.У.
Згідно з методом Фур’є ця задача має розв’язок:
де
Як відомо, система власних функцій є ортогональною на проміжку , тобто
коли , і не дорівнює нулю, коли .
Таким чином, усі коефіцієнти проте коефіцієнт Знайдемо його:
Тоді розв’язок задачі запишемо так