- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
6) Властивість диференціювання зображення
Якщо оригінал , то , , також оригінал і
7) Властивість інтегрування зображення
Якщо оригінал і інтеграл збігається,
то .
7.2 Зображення згортки
Нехай маємо дві функції і , Згорткою цих функцій називається інтеграл (якщо він існує). Цей інтеграл є функцією від і позначається .
Якщо і є оригіналами, то із означення оригінала випливає, що . Неважко переконатися, що .
Властивість згортки
Якщо оригінали і , то
Таблиця зображень і оригіналів
Використовуючи перетворення Лапласа, а також властивості зображень, складаємо таблицю (7.1)
Таблиця 7.1 – оригінали і відповідні їм зображення
№ |
Оригінал
|
Зображення
|
1 |
1 |
|
2 |
|
|
3 |
|
|
Продовження таблиці 7.1
4 |
|
|
5 |
|
|
6 |
|
|
7 |
|
|
8 |
|
|
9 |
|
|
12 |
|
|
13 |
|
|
14 |
|
|
15 |
|
|
16 |
|
|
17 |
|
|
Продовження таблиці 7.1
18 |
|
|
19 |
|
|
20 |
|
|
7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
Наведемо схему побудови розв’язку диференційного рів-няння з частинними похідними, де шукана функція за-лежить лише від двох змінних і . Нехай вона задовольняє рівняння:
, (7.2)
де – неперервні функції від , задані на проміжку . Нехай треба знайти розв’язок рівняння (7.2) для напівнескінченної смуги: , , що задово-льняє задані додаткові умови
П.У.
К.У. (7.3)
де – сталі.
Задача (7.2) – (7.3) нестаціонарна, оскільки шуканий роз-в’язок істотно залежить від початкових умов і описує так званий неусталений перехідний режим фізичного процесу.
Застосуємо перетворення Лапласа до функції за змінною . Вважаємо, що функції , і є оригіналами. Позначивши зображення шуканої функції через , запишемо наступні співвідношення:
, , .
Тут розглядається як параметр.
Для знаходження зображень частинних похідних по за-стосуємо теорему про диференціювання оригіналу. Одержимо
,
.
Вважатимемо, що – оригінал, тоді крайові умови у просторі зображень матимуть вигляд
(7.4)
де .
Таким чином, вважаючи, що є оригіналом, операційний метод приводить розв’язання поставленої неста-ціонарної задачі (7.2)–(7.3) до розв’язання звичайного дифе-ренціального рівняння другого порядку
(7.5)
з крайовими умовами (7.4), де , , , – ком-плексний параметр.
Приклад 7.1 Кінці струни і закріплені жорстко. Початкове відхилення задано рівністю , початкова швидкість рівна нулю. Знайти відхилення при .
Задача зводиться до розв’язання диференційного рівняння
,
яке задовольняє задані додаткові умови
П.У. К.У.
Застосуємо перетворення Лапласа до функції за змінною . Позначивши зображення шуканої функції через , запишемо наступні співвідношення:
, , ,
,
.
Тоді на основі цих співвідношень та сформульованої зада-чі з додатковими умовами, одержимо у просторі зображень наступну задачу
, (7.6)
К.У.
Розв’язок лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукаємо у вигляді:
,
де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння .
Характеристичне рівняння . Звідси
.
Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде
.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння знайдемо у вигляді .
Для знаходження невідомої сталої підставимо частин-ний розв’язок у (7.6) та отримаємо рівняння
.
Звідси
.
Тоді
Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд:
.
Підставляючи розв’язок у крайові умови, знайдемо невідомі константи
Отже, оригіналом для з врахуванням формули оберненого перетворення
буде функція
,
яка є розв’язком поставленої задачі.
Приклад 7.2 Знайти розв’язок рівняння теплопровідності , який задовольняє початковим і граничним умовам ( ), .
Задача зводиться до розв’язання диференційного рівняння
, яке задовольняє задані додаткові умови
П.У. , К.У.
Застосуємо перетворення Лапласа до функції за змінною . Позначивши зображення шуканої функції через , запишемо наступні співвідношення:
, , ,
.
Вихідне рівняння після підстановки отриманих формул та крайові умови у просторі зображень набудуть вигляду
,
К.У.
Розв’язок отриманого лінійного неоднорідного диференціального рівняння другого порядку шукатимемо у вигляді:
,
де – загальний розв’язок відповідного однорідного рівняння:
,
характеристичне рівняння:
.
Звідси
.
Тоді загальний розв’язок однорідного рівняння буде
.
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння знайдемо у вигляді
.
Для знаходження невідомої сталої підставимо частин-ний розв’язок у (7.6) та отримаємо рівняння
.
Звідси
.
Тоді,
.
Загальний розв’язок рівняння буде мати вигляд:
.
Підставляючи розв’язок у крайові умови, знайдемо невідомі константи
Отже, оригіналом для з врахуванням формули оберненого перетворення
буде функція
,
яка і буде розв’язком поставленої задачі.