- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
Контрольні запитання
6.1 На яких припущеннях будується виведення рівняння теплопровідності?
6.2 Проаналізувати фізичний зміст величин, що входять у рів-
няння теплопровідності.
6.3 У чому полягає постановка задачі нестаціонарної тепло-
провідності?
6.4 Особливості застосування методу Фур’є до задач теплопровідності.
6.5 Якими диференціальними рівняннями з частинними похід-
ними моделюються стаціонарні процеси?
6.6 Постановка задачі стаціонарної теплопровідності.
6.7 Що характеризує вільний член F(x,t) у рівнянні теплопро-
відності ?
6.8 Які крайові задачі виділяють у залежності від способу за-
дання крайової умови?
6.9 Задача Діріхле для рівняння Лапласа.
6.10 задача Неймана.
6.11 Мішана крайова задача.
6.12 Рівняння Лапласа в полярних та циліндричних координатах.
6.13 Застосування методу Фур’є при розв’язуванні задачі Діріхле для круга.
Лекція 7 Елементи операційного числення
7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
Ефективним способом розв’язування диференціальних рівнянь з частинними похідними є використання операційних методів, зокрема, перетворення Лапласа. Природно сподівати-ся, що застосування цього методу для розв’язання таких рів-нянь приведе до переведення однієї зі змінних у просторі оригіналів до параметра у просторі зображень.
Так, якщо в розглядуваному рівнянні невідомою є функ-ція двох змінних, то застосування операційного методу до однієї зі змінних приведе до звичайного диференціального рівняння зображення відносно другої змінної. Щоб знайти зображення, отримане рівняння можна розв’язувати з використанням теорії диференційних рівнянь або знову застосувати перетворення Лапласа та одержати скінченне зображувальне рівняння щодо другого параметра. Далі застосовуємо обернене перетворення Лапласа один раз у першому випадку та двічі у другому і отримаємо в просторі оригіналів шукану функцію [5].
Відомості про операційне числення
Означення 7.1 Оригіналом називається така функція дійсного аргумента , яка задовольняє наступні три умови:
1) – однозначна, неперервна або кусково-неперервна разом зі своїми похідними -го порядку при ;
2) росте не швидше, ніж деяка показникова функ-ція, тобто існують такі сталі додатні числа і , які не залежать від і при яких для всіх ;
3) при .
Означення 7.2 Зображенням функції-оригінала називається функція комплексної змінної , яка визначається інтегралом Лапласа:
. (7.1)
Інтеграл Лапласа (7.1) називають перетворенням Лапласа функції . Відповідність між зображенням і оригіналом будемо позначати так: , або .
Іноді використовують таке позначення: , де символ означає перетворення Лапласа.
Властивості зображень
1) Властивість лінійності
Якщо і при цьому, , , то .
2) Властивість подібності
Якщо – оригінал і , то при також оригінал і .
3) Властивість зміщення
Якщо оригінал , то для довільної сталої має місце відповідність:
4) Властивість запізнення
Якщо оригінал і , то .
5) Властивість диференціювання оригінала
Нехай – оригінал, функція неперервна і . Якщо існує похідна , яка є теж оригіналом, то
.
Зокрема, якщо , то диференціювання оригіналу зводиться до множення зображення на . Якщо оригінал має похідні до -го порядку, які є оригіналами і неперервна, то
Зокрема, коли , то
.
Зауважимо, що ця властивість широко використовується при розв’язуванні лінійних диференціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами та їх систем.