- •1.1 Предмет математичної фізики. Диференціальні рівняння з частинними похідними
- •1.2 Зведення до канонічного виду диференціального рівняння другого порядку
- •Контрольні запитання
- •2.1 Поздовжні коливання стержня. Виведення хвильового рівняння
- •2.2 Постановка задачі математичної фізики про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •3.1 Поперечні коливання скінченної струни. Виведен-ня хвильового рівняння
- •3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни
- •3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни
- •Контрольні запитання
- •4.1 Поперечні коливання нескінченної струни
- •4.2 Поперечні коливання скінченної струни
- •4.3 Фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання
- •4.4 Вимушені коливання струни
- •Контрольні запитання
- •5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
- •Контрольні запитання
- •6.1 Задача про розповсюдження тепла. Рівняння теплопровідності
- •6.2 Постановка задачі теплопровідності
- •6.3 Метод Фур’є для розв’язування задачі теплопровідності
- •6.4 Стаціонарні процеси. Рівняння Лапласа
- •6.5 Задача Діріхле
- •6.6 Задача Неймана
- •6.7 Мішана задача
- •6.8 Рівняння Лапласа в циліндричних координатах
- •6.9 Задача діріхле для круга
- •Контрольні запитання
- •7.1 Застосування операційного числення при розв’язуванні диференціальних рівнянь з частинними похідними
- •6) Властивість диференціювання зображення
- •7) Властивість інтегрування зображення
- •7.2 Зображення згортки
- •7.3 Схема побудови розв’язку диференційного рівняння з частинними похідними
- •Контрольні запитання
Контрольні запитання
4.1 Який метод застосовують для розв’язування задач про вільні поперечні коливання нескінченої струни?
4.2 Який метод застосовують для розв’язування задач про вільні поперечні коливання скінченної струни?
4.3 Суть методу Фур’є для розв’язування задач на коливання.
4.4 У чому полягає фізичний зміст розв’язку задачі про поперечні коливання?
4.5 У чому полягає задача про вимушені коливання струни?
Лекція 5 Розв’язування задачі про поздовжні коливан-ня стержня
5.1 Метод Фур’є для розв’язування задачі про поздовжні коливання стержня
Враховуючи, що метод Фур’є застосовують при однорід-них крайових умовах, розглянемо задачу про вільні коливан-ня стержня, один кінець якого ( ) жорстко закріплений, а другий ( ) вільний. Ця задача має наступну постановку:
,
П.У. К.У. (5.1)
Припустимо, що функції та можна розкласти в ряд Фур’є по синусах кратних дуг на За методом Фур’є ненульові розв’язки хвильового рівняння, які задовольняють однорідні крайові умови (5.1), шукаємо у вигляді . Знайдемо частинні похідні:
(5.2)
Після підстановки (5.2) у хвильове рівняння, отримаємо:
(5.3)
Враховуючи попередні дослідження, відразу розглянемо випадок, який приводить до коливального процесу, оскільки в інших випадках отримуємо тільки нульові розв’язки. Нехай . Тоді хвильове рівняння розіб’ється на два одно-рідних диференціальних рівняння другого порядку зі сталими коефіцієнтами відносно функцій та .
(І)
. (ІІ)
Розглянемо спочатку перше рівняння і знайдемо функцію
.
Характеристичне рівняння
Отже, (5.4)
де А та В – довільні сталі, які будемо шукати із крайових умов (5.1):
Тут , щоб уникнути тривіального розв’язку задачі. Знайдемо . Тоді крайові умови набувають вигляду:
(5.5)
Тут за умовою, , щоб виключити можливість отримання нульового розв’язку. Тоді ,
.
Звідси визначаємо , як множину чисел :
. (5.6)
Тому коефіцієнт залишився невизначеним.
Тепер розглянемо рівняння (ІІ) і знайдемо функцію
.
Характеристичне рівняння
Тоді загальний розв’язок з урахуванням того, що буде таким:
(5.7)
Запишемо частинний розв’язок поставленої задачі:
Введемо позначення: та
Враховуючи позначення, запишемо загальний розв’язок як суму всіх частинних:
(5.8)
або в розгорнутому вигляді:
(5.9)
Щоб знайти невідомі коефіцієнти та , скористаємося початковими умовами. Але спочатку знайдемо
Тепер запишемо початкові умови
(5.10)
Фактично ми отримали розклади функцій та в ряди Фур’є по синусах в інтервалі . Тому коефіцієнти розкладів і можна визначити за відповідними формулами Фур’є.
Таким чином, розв’язок задачі про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а другий вільний, має вигляд:
де , (5.11)
.
Приклад 5.1 Розв’язати задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплений, а до вільно-го кінця прикладено силу P, причому в момент t=0 дія сили раптово припиняється.
Ця задача має наступну постановку:
,
Тобто функції , Звідси
Щоб побудувати розв’язок у вигляді (5.8) знайдемо коефіцієнти :
.
Тоді розв’язок задачі:
.
Приклад 5.2 Поставити і розв’язати задачу про поздовжні коливання стержня, один кінець якого жорстко закріплено, а до вільного кінця раптово у момент часу прикладено розтягуючу силу P.
Ця задача має наступну постановку:
,
П.У. К.У.
Для того, щоб розв’язати задачу з ненульовими крайовими умовами зробимо заміну :
.
Отримаємо початкові і крайові умови для функції :
Постановка задачі для функції матиме вигляд:
,
П.У. К.У.
Знайшовши за методом Фур’є, відповідь запишемо у вигляді