3.2 Постановка задачі про поперечні коливання скінченної струни

Формулювання задачі про поперечні коливання струни включає хвильове рівняння, початкові та крайові умови. Початкові умови задають початкову форму струни і початкові швидкості точок струни, а крайові умови відображають закріплення кінців струни. Отже, загальна постановка задачі має вигляд:

,

(3.6)

Задача полягає у знаходженні функції класу , яка описує поперечні коливання струни.

Приклад 3.1 Поставити задачу про поперечні коливання струни довжини l із закріпленими кінцями, яка в початковий момент часу перебувала в стані спокою і мала таку форму:

Рисунок 3.2 – Початкова форма струни

Постановка задачі буде наступною:

,

Зауважимо, що при отриманні першої початкової умови можна скористатися рівнянням прямої, яка проходить через дві точки:

.

3.3 Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни

Розглянемо дуже довгу струну, настільки довгу, що на коливання, які виникають в її середній частині, кінці впливати практично не будуть. Таким чином, на відміну від попередніх задач, у постановці задачі про поперечні коливання нескінченної струни крайові умови виключаються.

Постановка задачі про поперечні коливання нескінченної струни складається з диференціального рівняння, яке описує коливальний процес, і початкових умов, які задають початкову форму струни і початкові швидкості точок струни.

При розгляді вільних коливань постановка задачі буде наступною:

,

П.У. (3.7)

Функції та задано на всій числовій осі, . Така задача ще називається задачею Коші. Її розв’язком є функція класу , яка в указаній області задовольняє хвильове рівняння і обидві початкові умови.

Зауваження.

1. Хвильове рівняння характеризує не тільки процеси поздовжніх коливань стержня і поперечних коливань струни. Воно є універсальною математичною моделлю для всіх коливальних процесів різної фізичної природи. Так, хвильове рівняння описує електричні коливання, крутильні коливання валу, акустичні коливання пружного газу тощо.

2. Також хвильове рівняння можна поширити на коливальні процеси, які відбуваються не лише в одновимірному просторі, як у випадках зі стержнем чи струною, але й у двовимірному та тривимірному просторі. Так, хвильове рівняння, що моделює вільні поперечні коливання плоскої мембрани у формі області , має вигляд:

, . (3.8)

А тривимірна модель коливального процесу в деякій просторовій області має такий вигляд:

, . (3.9)

Таке рівняння описує, наприклад, закон поширення світлових та електромагнітних хвиль у просторі. Фізичний зміст сталої а у хвильовому рівнянні – це швидкість розповсюдження хвиль у відповідних хвильових процесах.

Контрольні запитання

3.1 При яких припущеннях виведено хвильове рівняння для поперечних коливань струни?

3.2 Що визначає функція , яка є розв’язком хвильового рівняння для поперечних коливань струни?

3.3 Як вільний член у хвильовому рівнянні впливає на характер коливань (вільні коливання чи вимушені)?

3.4 У чому полягає фізичний зміст коефіцієнта у хвильовому рівнянні для поперечних коливань струни?

3.5 З чого складається постановка задачі про поперечні коливання струни?

3.6 Чим задають початкову форму струни і початкові швидкості точок струни?

3.7 Що відображають крайові умови?

3.8 Що є визначальним у постановці задачі про поперечні коливання нескінченної струни?

Лекція 4 Методи розв’язування задач про коливання струни