17. Відношенння і їх властивості.

Відношенням (відповідністю) між множинами D₁,D₂,...D_n називається довільна підмножина R декартового добутку:

Характеристична функція відношення χ_R називається її характеристичним предикатом. Тобто предикат - це функція, визначена на декартовому добутку  , яка приймає значення з множини {0,1}.

Отже, поняття відношення і предикату є такими ж близькими, як множина та її характеристична функція. Якщо множини збігаються, тобто  , то говорять, що на множині D визначені n — арне відношення та предикат.

18.Відношення еквівалентності.Відношення порядку.

Відношення еквівалентності

Бiнарне вiдношення R на множинi D називається вiдношенням еквiвалентностi, якщо воно

1) рефлексивне

2) симетричне

3) транзитивне.

Для вiдношень еквiвалентностi замiсть запису   вживають запис d₁˜d₂.

Нехай на множинi D задано вiдношення еквiвалентностi ∼ . Для кожного   введемо в розгляд множини

Для будь-яких елементiв   має мiсце одне з двох:

або D_a = D_b

або 

Доведення. Припустимо, що   i  , тодi за означенням множин D_a,D_b, маємо: a˜d ^* ,b˜d ^* . Враховуючи симетричнiсть вiдношення, a˜d ^* ,d ^* ˜b, а за транзитивнiстю a ∼ b i, звичайно, b ∼ a. Тодi для будь-якого елемента  , за транзитивнiстю маємо  , тобто  . Аналогiчно доводиться протилежне включення i отримується рiвнiсть D_a = D_b.

Множини D_a називаються класами еквiвалентностi, а множина, елементами якої є класи еквiвалентностi, називається фактор-множиною множини D по вiдношенню еквiвалентностi ∼ i позначається D/∼ .

Сукупнiсть елементiв множини A, взятих по одному з кожного класу еквiвалентностi, називається сукупнiстю представникiв класiв еквiвалентностi.Відношення порядку

Відношення порядку в математиці — бінарне відношення, яке є транзитивним та антисиметричним.

 (транзитивність),

 (антисиметричність).

19. Поняття відповідності. Відповідність обернена даній.

Функція, яка приймає кожне своє значення в єдиній точці області визначення, є оборотною.

У такої функції за значенням залежної змінної можна однозначно визначити, якому значенню аргументу воно відповідає.

Інакше кажучи, якщо функція є оборотною й число а належить до її області значень , то рівняння має розв’язок, причому єдиний.

Оберненою до даної оборотної функції називається така функція , яка кожному із множини значень функції ставить у відповідність єдине число x з області визначення.

Якщо аргумент і функцію в записі позначити звичайним способом, отримаємо .

Графік функції g, оберненої до функції f, симетричний графіку f відносно прямої .

Якщо функція f зростає (або спадає) на проміжку I, то вона є оборотною. Обернена до f функція g, яка визначена в області значень f, теж є зростаючою (або спадною).

Окрім відношень на множині часто приходиться розглядати відношення між елементами двох множин. Такі відношення називаються відповідностями.

Наприклад: х= 3,5,7,9 у= 4,6

R: «більше»

За цим відношенням складемо пари:

(5,4), (7,4), (7,6), (9,4), (9,6)

Відповідністю між елементами двох множин Х і У називається кожна підмножина декартового добутку Х*У (на). Графік відповідності R-1 складається з точок симетричним точкам графіка відповідності R відносно бісектриси 1 і 3 координати кутів.