6. Правила побудови заперечень висловлень, що містять квантори.

1.Перед даним висловленням ставляться слова: «не вірно що».

2.Квантор загальності (існування) замінюється квантором існування (загальності), а речення, що стоїть після квантора замінюється його запереченням.

7.Відношення слідування і рівносильності між реченнями. Необхідні і достатні умови. Необхідні і достатні умови є важливими і ними приходиться користуватися в математиці при доведенні теорем, при встановленні залежності між елементами геометричних фігур і алгебраїчних виразів та величин при розв’язанні задач. Необхідною умовою правильності даного твердження називається умова при невиконанні якої це твердження не може бути вірним. Приклади: 1. Подільність числа на 2 і 3 є необхідною умовою подільності на 12. Але це не достаня умова , бо є числа 18, 30. які діляться на 2 і 3, а на 12 не діляться.Достатніми умовами правильності даного твердження називаються умови, при виконанні яких це твердження є вірним. Приклади: Достатньою умовою рівності трикутників є рівність їх відповідних сторін.

8. Структура та види теорем. Теорема – це математичне твердження, істинність якого з’ясовується доведенням (міркуванням). Формулювання будь-якої теореми складається з двох частин: умови і висновку, який випливає з даної умови. Розглянемо приклад. Теорема: „Якщо точка лежить на бісектрисі кута, то вона рівновіддалена від сторін цього кута”. Якщо умову позначити через Р (х), то вона буде виражатися реченням: „Точка лежить на бісектрисі”, а висновок позначити через Q (х), то це буде речення „Точка рівновіддалена від сторін кута”. Як умова так і висновок є предикатами, які задані на множині Х всіх точок площини. Тому дану теорему можна записати у вигляді ( х є Х) (Р(х) Q (х)) Отже, в цій теоремі ми виділили такі три частини: 1. Умова теореми: предикат Р (х), заданий на множині Х усіх точок площини. 2. Висновок теореми: предикат Q (х), який заданий на множені Х 3. Пояснювальна частина х є Х: в ній описується множина об’єктів, про які йде мова в теоремі. Ми зустрічалися з різними видами теорем: пряма, обернена, протилежна. Розглянемо їх з точки зору предикатів. Теорема: „Якщо сума цифр числа ділится на 3, то і це число ділиться на 3”. Обернена теорема: „Якщо число ділиться на 3, то сума цифр цього числа ділиться на 3”. Протилежна:„Якщо число не ділиться на 3, то й сума цивр цього числа не ділиться на 3”. В даному прикладі усі теореми істинні. Є багато прикладів, де істинність прямої теореми ще не означає істинність оберненої теореми чи протилежної теореми. Але не треба думати, що усі чотири теореми логічно незалежні і вимагають кожний раз окремого доведення.

9. Дедуктивне міркування.

Довести теорему - значить встановити логічним шляхом, що завжди, коли виконується властивість А, буде виконуватись і властивість В. доведення в математиці обладає рядом особливостей. Часто воно проводиться за правилами логіки без яких-то посилань на наглядність і дослід. В основі доведення лежить міркування – логічна операція, в результаті якої із одного чи декількох взаємозв‘язаних по змісту тверджень отримаємо твердження, яке містить нові (по відношенню до заданих) знання. В якості приклада розглянемо міркування першокласника, якому необхідно встановити відношення «менше» між числами 7 і 8. учень говорить: « , тому що 7 при рахунку називають раніше, ніж 8». На які ж факти він опирався, стверджуючи це. По-перше, якщо число а при рахунку називають раніше числа в, то для будь-яких натуральних чисел. І по-друге, 7 при рахунку називають раніше, ніж 8. перше твердження носить загальний характер, так як містить квантор спільності, його називають загальною посилкою. Друге твердження стосується конкретних чисел 7 і 8, відображає частинний випадок, його називають частковою посилкою. З двох посилок і випливає новий факт , його називають висновком. Міркування, між посилками і висновком якого має місце відношення слідування, називають дедуктивним. Іншими словами, міркування є дедуктивним, якщо за допомогою його з істинних посилок не можна отримати хибний висновок. Інакше міркування не являється дедуктивним.