34. Ознаки подільності суми, різниці, добутку

Ознака подільності суми – Якщо кожний доданок ділиться на деяке число, то і їх сума ділиться на це число.Ознака подільності різниці – якщо і зменшуване і від’ємник ділиться на деяке число, то і різниця цих чисел ділиться на це число.Ознака подільності добутку – якщо хоча б один із множників ділиться на деяке число, то і добуток ділиться на це число.

35. Ознаки подільності в десятковій системі

на 2 Ознака

На 2 ділиться без остачі будь-яке ціле число перший розряд якого парний (0, 2, 4, 6, 8) (наприклад: 58/2=29, 1004/2=502).

Доведення< Будь-яке ціле число можна представити у вигляді суми першого розряду та решти числа. Нехай |a|=b1+10b2, де b1 - перший розряд a, b2 - число, що складається з решти розрядів a. Якщо поділити a на 2, то вираз b1+10b2 можна розписати, як b1/2+10b2/2, або b1/2+5b2. Таким чином, b1 має націло ділитись на 2. Оскільки воно лежить в межах від 0 до 9, і є натуральним числом, то воно може бути одним з п'яти наступних чисел: 0, 2, 4, 6, 8.

на 3

Число ділиться на 3 тоді, якщо сума його цифр ділиться на 3. наприклад:333/3 = 111

на 4

Число ділиться на 4 тоді, якщо число, утворене його двома останніми цифрами ділиться на 4 (наприклад: 128/4 = 32, 256/4 = 64).

на 5 Ознака

На 5 ділиться будь-яке ціле число, перший розряд якого дорівнює 5 або 0 (наприклад: 65/5=13, 783910/5=156782).

Доведення

Нехай a=b1+10b2, де b1 - перший розряд a, а b2 - число, що складається з решти розрядів числа a. Якщо a поділити на 5, то вираз b1+10b2 можна переписати так: b1/5+10b2/5, або так b1/5+2b2. Таким чином b1 має націло ділитися на 5. Так як b1 натуральне та лежить в межах від 0 до 9, то воно може набирати одне з двох значень: 0 або 5.

на 6 Ознака

Число ділиться на 6 тоді і тільки тоді, коли воно ділиться на 2 та на 3.

на 8 Ознака

Число ділиться на 8 тоді і тільки тоді, якщо число, утворене його трьома останніми цифрами ділиться на 8. (наприклад: 128/8 = 16, 1800 / 8 = 225).

Доведення

Діємо аналогічно випадку для подільності на 4. Представимо число N у вигляді A*1000 + B. Оскільки 1000 ділиться на 8, то число N ділиться на 8 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 8. Але саме B і є числом, утвореним трьома останніми цифрами числа N.

на 9 Ознака

Число ділиться на 9 тоді і тільки тоді, якщо сума його цифр у десятковому запису ділиться на 9 (наприклад: 333/9 = 37, 111111111 / 9 = 12345679).

Доведення

Будь-яке число А можна представити у вигляді А = a0*10k + a1*10k — 1 + … + ak-1*101 + ak*100, де a0, a1, .., ak — цифри числа А з найбільш значущої до найменш значущої (розряду одиниць). Сума декількох чисел ділиться на число Y тоді і тільки тоді, коли сума залишків цих чисел при діленні на Y також ділиться на Y. Іншими словами:

(x0 + x1 + … + xk) mod Y = ((x0 mod Y) + (x1 mod Y) + … + (xk mod Y)) mod Y.

Аналогічне співвідношення виконується і для множення:

(x0 * x1 * … * xk) mod Y = ((x0 mod Y) * (x1 mod Y) * … * (xk mod Y)) mod Y.

Останнім кроком у нашому доведенні буде помітити, що усі ступені числа 10 (1, 10, 100, 1000, …) дають у залишку 1 при діленні на 9. Отже:

А mod 9 = (a0*10k + a1*10k — 1 + … + ak -1*101 + ak*100) mod 9 = (((a0*10k) mod 9) + ((a1*10k — 1) mod 9) + … + ((a1*101) mod 9) + ((ak*100) mod 9)) mod 9 = (a0 + a1 + … + ak — 1 + ak) mod 9,

що і необхідно було довести.

на 10 Ознака

Число ділиться на 10 тоді і тільки тоді, якщо остання його цифра - 0. (наприклад: 370/10 = 37, 1111111110 / 10 = 111111111).

Доведення Оскільки кожне число N = A * 10 + B, де B - його остання цифра, то N ділиться на 10 тоді і тільки тоді, коли B ділиться на 10. Оскільки B - цифра від 0 до 9, то для того, щоб ділитись на 10, B має бути нулем.

на 11 : тільки ті натуральні числа, різницею суми цифр на парних і суми цифр на непарних місцях є число, що ділиться на 11.

на 25 : тільки ті натуральні числа, двома останніми цифрами яких записано число, що ділиться на 4