13.Поняття множини.Способизадання множин.

Множина́ — одне з основних понять сучасної математики. Строго воно не визначається, але може бути дано інтуїтивневизначеннямножини як сукупностіпевних і різнихоб'єктівдовільноїприроди, яка розглядається як однеціле. Об'єкти, якіскладаютьмножину, називаютьсяїїелементами. Наприклад, можнаговорити про множинуусіх книг в певнійбібліотеці, множинулітерукраїнськогоалфавітуабо про множинувсіхкоренівпевногорівняннятощо.

Заданнямножини за допомогоюперелікуїїелементів.

Нехай множина X складається з елементів a, b, c, ..., k. Для означенняцього факту використовуєтьсяпозначення:

X = {a, b, c, ... , k} A = {4, 2, 1, 3} B = {червоний, білий, блактиний}

.

В математичних задачах, як правило, розглядаютьелементидеякоїцілкомозначеноїмножини A. При цьомунеобхідніелементивиділяють за деякоюїхвластивістю (абовказуютьпороджуючу процедуру) P, такою щокожнийелемент x ∈ A абомаєвластивість P (записується P(x)), або не маєїї. За допомогоювластивості P виділимомножинувсіх тих елементів, якімаютьвластивість P.Цюмножинубудемопозначати як {x ∈ A | P(x)} = {x | P(x)}. Заданнямножинивказівкоюїївластивості (абопороджуючим предикатом) слідздійснюватиобережно. Наприклад, множина Y = {X|X∉X} (множинавсіхмножин, які не містять себе в якостіелемента) веде до парадокса Рассела і є некоректноюв аксіоматичнійтеоріїмножин.

14.Відношення міжмножинами.КругиЕйлера.Операції над множинами.Доповненняпідмножини.

Поняттявідношення є певним теоретико-множиннимузагальненнямвідомого з елементарної арифметики набору таких відношень, як "=" (дорівнює)або "<" (менше). Поняттявідношення і операцій з ними в практичнихзастосуванняхграєключову роль в побудовіреляційних моделей систем управління базами даних.

Операції над множинами:

1.Перерізом називаєтьсямножина,якаміститьтількитіелементиякі належать множинам А і В,іпозначається А ∩ В

2.Об'єднанням множин А і В,якаміститьтількитіелементи,щонлежатьмножині Аабо В і позначається А∩В

3.Доповнення В до А називаєтьсямножина,щоміститьтількитілементиА,які не належать множині В і позначається А\В.Доповненняінодіназиваєтьсярізницеюмножин.

15. Розбиття множини на класи. Кортеж. Число елементів декартового добутку і кортежу Розглянемо множину, яка складається з перших n натуральних чисел: Nn = {1, 2, ..., n}. Розбиття - це подання цієї множини у вигляді об'єднання однієї чи декількох непорожніх множин. Всього існує 52 розбиття множини N5. Відмітимо, що розбиття, які відрізняються лише порядком об'єднуваних множин, не відрізняються. Розбиття множини Nn можна впорякувати лексикогріфчно.Для того, щоб визначити цей порядок, спочатку визначимо лексикографічний порядок на підмножинах Nn. Будемо казати, що множина A Nn лексикографічно менше множини B Nn і записувати A < B, якщо вірно одне з наступних тверджень: • знайдеться i, таке що i A, i B, для всіх j < i: j A iff j B, і знайдеться k > i, таке що k B; • A B та i < j для всіх i A и j B \ A. Кортеж — в математиці послідовність кінцевого числа елементів. Багато математичних об'єктів формально визначаються як кортежі. Наприклад, граф визначається як кортеж (V,e), де V — це набір вершин, а E — підмножина V * V, що позначає ребра. У теорії безлічі, кортеж зазвичай визначається індуктивно. Кортеж з нулем елементів — це просто нульова безліч, а якщо (a_1 \ldots, a_n)=T, то (а, a_1 \ldots, a_n)=\{а, \{а, T\}\}. Також можна визначити кортеж, як впорядкований кінцевий набір елементів, в якому елементи можуть повторюватися. 16. Зображення декартового добутку двох числових множин на координатній множині Декартовим (прямим) добутком множин A і B (записується A´B) називається множина всіх пар (a,b), в яких перший компонент належить множині A (aÎA), а другий - множині B (bÎB). Тобто A´B = {(a,b) | aÎA і bÎB } або (a,b)ÎA´B Û Декартів добуток природно узагальнюється на випадок довільної скінченної сукупності множин. Якщо A1, A2,..., An - множини, то їхнім декартовим добутком називається множина D = { (a1,a2,...,an) | a1ÎA1, a2ÎA2,..., anÎAn }, яка складається з усіх наборів (a1,a2,...,an), в кожному з яких i-й член, що називається i-ю координатою або i-м компонентом набору, належить множині Ai, i=1,2,...,n. Декартів добуток позначається через A1´ A2´...´ An. Набір (a1,a2,...,an), щоб відрізнити його від множини, яка складається з елементів a1,a2,...,an, записують не у фігурних, а в круглих дужках і називають кортежем, вектором або впорядкованим набором. Довжиною кортежу називають кількість його координат. Два кортежі (a1,a2,...,an) і (b1,b2,...,bn) однакової довжини вважаються рівними тоді і тільки тоді, коли рівні їхні відповідні координати, тобто ai=bi, i=1,2,...,n. Отже, кортежі (a,b,c) і (a,c,b) вважаються різними, в той час як множини {a,b,c} і {a,c,b} - рівні між собою. Декартів добуток множини A на себе n разів, тобто множину A´A´...´A називають n-м декартовим (або прямим) степенем множини A і позначають An. Прийнято вважати, що A0 = Æ (n=0) і A1 = A (n=1). Приклад 1.9. 1. Якщо A = {a,b} і B = {b,c,d}, то A´B = {(a,b),(a,c),(a,d),(b,b),(b,c),(b,d)}, A2 = {(a,a),(a,b),(b,a),(b,b)}. 2. Якщо R - множина дійсних чисел або множина точок координатної прямої, то R2 - це множина пар (a,b), де a,bÎR, або множина точок координатної площини. Координатне зображення точок площини вперше було запропоновано французьким математиком і філософом Рене Декартом, тому введена теоретико-множинна операція і називається декартовим добутком. 3. Скінченна множина A, елементами якої є символи (літери, цифри, спеціальні знаки тощо), називається алфавітом. Елементи декартового степеня A називаються словами довжини n в алфавіті A. Множина всіх слів в алфавіті A - це множинаA* = {e} È A È A2 È A3 È... = {e}È Ai, де e - порожнє слово (слово довжини 0), тобто слово, яке не містить жодного символу алфавіту A.