1.3.6 Выполнение 5-го условия мнк (нормальность остатков)

Эта предпосылка говорит о том, что если случайная компонента распределена нормально, то и коэффициенты регрессии будут также распределены. Эта предпосылка в полной мере относится к предпосылкам метода максимального правдоподобия (ММП), и поэтому при проверке условий выполнения МНК, данное требование часто опускают.

Данное требование основано на центральной предельной теореме вероятности:

Если случайная величина является общим результатом взаимодействия большого числа случайных величин, то она приближённо имеет нормальное распределение. Случайная компонента Ɛ_i в неявном виде определяется несколькими факторами, следовательно, можно предполагать нормальность остатков.

Ɛ_i ~ N (0; ²)

Тесты на проверку нормальности – тест Пирсона, Колмогорова-Смирнова, Бера-Жарка.

1.4. Устранение нарушения предпосылок мнк для оценки парной регрессии

- Автокорреляция остатков.

Одна из причин присутствия автокорреляции в остатках – неправильный выбор вида зависимости между переменными, т.е. необходимо изменить зависимость.

Еще один способ устранения автокорреляции остатков – введение лаговых переменных.

- Гетероскедастичность остатков

Существует несколько подходов к решению данного нарушения:

1. Преобразование исходных данных

2. Применение другого метода оценивания

3. Включение изменяющейся дисперсии в модели (актуально для временных рядов)

- Метод максимального правдоподобия

Применяется для оценки коэффициентов регрессии. Одна из важных предпосылок ММП – известность знака распределения зависимой переменной.

1.4.1. Автокорреляция остатков

Одна из причин присутствия автокорреляции в остатках может быть неправильный выбор вида зависимости между переменными. Т.е. следует изменить зависимость. Еще один способ устранения автокорреляции остатков – введение лаговых переменных.

Лаговые переменные – переменные, которые измерены в прошлом периоде времени и участвуют в модели

При проверке наличия автокорреляции на практике руководствуются простым правилом: Расчетные значения DW, близкое к 2, свидетельствует об отсутствии автокорреляции; значение близкое к 4, свидетельствует об отрицательной автокорреляции; значение близкое к 0, о положительной автокорреляции.

Следует отметить, что тест DW можно применять при выполнении следующих условий:

1. в регрессионном уравнении есть свободный член

2. в регрессионном уравнении нет лаговых значений зависимой переменной (напр. y_i-j)

Тест DW определяет лишь отсутствие автокорреляции I порядка. Про остальные порядки он ответа не дает.

Тест Брана-Годфри ее общий тест, тест DW.

Предположительно, что остатки ε_i можно представить в виде авторегрессионного процесса 4 порядка.

ε_i = ρ₁ ε_i-1+ ρ₂ ε_i-2 + … + ρ_r ε_i-r + u_i

1)рассчитывается регрессия

т.е. в уравнении линейной регрессии подставили (?)

2)рассчитывается коэффициент детерминации R² для (*) множественной R²

3)рассчитывается x²_расч = (n-r) R²,

n – количество наблюдений, r – порядок авторегрессионного процесса ε_i

4)по таблице x² – распределения находим x² табличное со степенями свободы r.

2. Оценивается регрессия и находится оценка ρ (по МНК)

3. Зная ρ, оцениваем и ( ;

4. Рассчитывается регрессия между и по уравнению (4.3): получаются новые оценки и

5. Вычисляются новые отклонения расчетных значений от фактических;

6. Возвращаемся к пункту 2). Процедуру выполняют, пока отклонения, полученные в пункте 2), не совпадут с отклонениями в пункте 5) до определенной точности.

В итоге получим уравнение (4.3), в котором автокорреляции в остатках не будет.