Билет 1.

Погрешность физических измерений. Классификация погрешностей. Вероятность. Плотность вероятности (функция распределения). Распределение Гаусса и его параметры. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Классификация погрешностей:

• Систематические – погрешности, значения которых одинаковы во всех измерениях, проведенных одним и тем же методом и с помощью одних и тех же измерительных приборов;

• Приборные – частный случай систематической погрешности и обуславливаются допусками, которые всегда делаются при изготовлении прибора. Приборная погрешность равна половине единицы последнего разряда для приборов и половине наименьшего деления шкалы для школьных приборов;

• Случайные – погрешности, которые вызваны большим числом случайных и независимых друг от друга причин, причем действием каждых в отдельности из них в отдельности на результат измерений очень мало;

• Промахи – погрешности, значения которых существенно превышает ожидаемые при данных условиях. Эти погрешности возникают вследствие неисправности прибора, невнимательности экспериментаторов и т.д.

Вероятность  — численная мера возможности наступления некоторого события.

Плотность распределения вероятностей – производная функции распределения, отвечающей абсолютно непрерывной вероятностной мере.

; нормировка

Если , то

Распределение Гаусса:

Кривая распределение случайных погрешностей была получена Гауссом при следующих предположениях:

• систематическая погрешность отсутствует;

• случайные величины могут иметь непрерывный ряд значений ;

• случайные погрешности одинаковой величины, но разного знака, т.е. погрешность как в сторону увеличения, так и в сторону уменьшения результата, встречаются одинаково часто;

• вероятность появления погрешности уменьшается с возрастание величины погрешности, т.е. чем больше погрешность по абсолютной величине, тем реже она появляется;

• число измерений бесконечно велико .

При этих предложениях можно доказать, что истинное значение будеи совпадать со средним арифметическим.

; - дисперсия отдельного измерения для серии измерений

1 Серия:

…

N серия:

Доверительный интервал.

Интервал , в который попадает истинное значение измеряемой величины с заданной вероятностью , называется доверительным интервалом среднего арифметического.

Доверительной вероятностью результата серии измерений называется вероятность того, что истинное значение измеряемой величины попадает в данный доверительный интервал:

Билет 2.

Погрешности физических измерений. Малое число измерений. Распределение Стьюдента. Выборочная дисперсия среднего арифметического. Правила сложения систематической и случайной погрешностей. Погрешности косвенных измерений.

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Число измерений должно определяться соотношением систематической и случайной погрешностей. Если случайная погрешность значительно больше систематической, то ее нужно уменьшить, увеличивая число измерений. Число измерений выбирается таким, чтобы случайная погрешность была значительно меньше систематической.

Распределение Стьюдента

Распределение Гаусса не применимо по 3 причинам:

• невозможно полностью устранить систематическую погрешность;

• число измерений бесконечно велико;

• неизвестно истинное значение измеряемой величины.

Поэтому применяется модифицированное распределение Гаусса – распределение Стьюдента, справедливое для малого количества измерений .

- выборочная дисперсия отдельного измерения

- выборочная дисперсия среднего арифметического

, где - к-т Стьюдента, - доверительная вероятность, надежность.

Сложение случайных и систематических погрешностей

В реальных опытах присутствуют как систематические, так и случайные ошибки. Пусть они характеризуются стандартными погрешностямиσсист и σслуч. Суммарная погрешность находится по формуле

                     

Поясним эту формулу. Систематическая и случайная ошибки могут, в зависимости от случая, складываться или вычитаться друг из друга. Как уже говорилось, точность опытов принято характеризовать не максимальной (и не минимальной), а среднеквадратичной погрешностью. Поэтому правильно рассчитанная погрешность должна быть меньше суммыσслуч + σсист и больше их разности |σслуч – σсист|. Легко видеть, что σполн, определенная формулой (4), удовлетворяет этому условию. Поэтому

Знак равенства возникает только в том случае, когда одна из погрешностей равна нулю. Аналогично имеем

Формула показывает, что при наличии как случайной, так и систематической погрешности полная ошибка опыта больше, чем каждая, из них в отдельности, что также является вполне естественным.

Обратим внимание на важную особенность формулы. Пусть одна из ошибок, например σслуч, в 2 раза меньше другой – в нашем случае σсист. Тогда

Погрешности редко удается оценить лучше 20%. Но в нашем примере с погрешностью 20% σполн≈σсист. Таким образом, меньшая погрешность почти ничего не добавляет к большей, даже если она составляет половину от нее. Этот вывод очень важен. В том случае, если случайная ошибка опытов хотя бы вдвое меньше систематической, нет смысла производить многократные измерения, так как полная погрешность опыта при этом практически не уменьшается. Измерения достаточно произвести 2–3 раза, чтобы убедиться, что случайная ошибка действительно мала.

Погрешности косвенных измерений

Косвенные – измерения, при которых искомое значение величины вычисляется на основании известной зависимости между этой величиной и результатом прямых измерений.

,

Билет 3.

Погрешности физических измерений. Порядок действий при обработке результатов измерений.

Погрешность измерения — оценка отклонения измеренного значения величины от её истинного значения. Погрешность измерения является характеристикой (мерой) точности измерения.

Порядок действий при обработке результатов измерений:

1. Снятие измерений.

2. Расчет среднего арифметического измерений.

3. Вычисление отклонений от среднего значения.

4. Возвести в квадрат отклонения от среднего значения.

5. Вычисление выборочной дисперсии отдельного измерения.

6. Расчет абсолютной погрешности.

7. Расчет относительной погрешности.

8. Расчет истинной величины.

9. Расчет погрешности косвенных измерений.

10. Расчет погрешности косвенных измерений. ,

11. Расчет истинной косвенной погрешности

В окончательном результате измерений необходимо провести округление согласно правилам:

Если первая значащая цифра в числе, выражающем погрешность, равна или больше 3х, то оставляют 1 значащую цифру; если первая значащая цифра меньше 3х, то оставляют 2 значащие цифры.

Билет 4

Кинематика материальной точки. Траектория. Путь. Перемещение. Скорость. Направление скорости по отношению к траектории (с доказательством)

Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени.

За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело.

Скорость.

Докажем, что скорость направлена по касательной траектории:

- единичный вектор, направленный по касательной

- единичный вектор, направленный по нормали

Билет 5

Кинематика материальной точки. Ускорение. Разложение полного ускорения на тангенсальное и нормальное ускорения.

Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени.

За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело.

Ускорение.

Годограф скоростей – это кривая описываемая концом вектора скорости в процессе движения.

;

,

По определению радиуса кривизны R:

,

- проекция на направление касательной – тангенсальное ускорение

- нормальное ускорение (центростремительное)

- полное ускорение

,

Тангенсальное ускорение определяет изменение скорости по модулю, а нормальное ускорение определяет изменение скорости по направлению, т.е. форму траектории.

Билет 6

Кинематика материальной точки. Угловая скорость и угловое ускорение. Связь между угловыми и линейными характеристиками движения.

Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени.

За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело.

Угловая скорость и ускорение.

,

- угловая скорость

- угловое ускорение

Вектор угловой скорости всегда направлен вдоль оси вращения, а конкретное его направление (вверх/вниз) определяется правилом буравчика.

1. направление

- вектор скорости перпендикулярен плоскости, определяемой векторами и

2)

Если О=О’, то

,

Билет 7

Кинематика материальной точки. Ускорение, скорость и перемещение при равнопеременном движении.

Кинематика изучает движение тел, не интересуясь причинами возникновения или изменениями состояния движения. Задачей кинематики является нахождения уравнения движения, т.е. зависимость координат точки от времени.

За материальную точку принимают макроскопическое материальное тело ,размерами которого можно пренебречь, т.е. размеры которого пренебрежимо малы в сравнении с расстоянием между телами или с расстоянием, которое проходит это тело.

1)

,

, где

2)

Билет 8

Динамика материальной точки. Сила. I-й и III-й законы Ньютона. Масса. Импульс. Импульс силы. Различные формулировки II-го закона Ньютона.

Сила – физическая величина, характеризующая взаимодействие двух или более тел, определяющая изменение состояния движения или изменения формы тела, или и то, и другое.

I-й закон Ньютона.

Всякое тело пребывает в состоянии покоя или равномерного прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут его из этого состояния.

III-й закон Ньютона.

Силы взаимодействия двух тел равны по модулю и направлены в противоположную сторону.

Масса – мера инертности. Инертность — свойство тела, состоящее в том, что для изменения его скорости относительно инерциальной системы отсчёта необходимо определённое воздействие на него. Тело с большей массой является более инертным, и наоборот.

,

1. масса – величина аддитивная, т.е масса составного тела равна сумме масс его частей;

2. масса тела как такового – величина постоянная, не изменяющаяся при его движении.

II-й закон Ньютона.

• Произведение величины массы тела на его ускорение пропорционально величине, действующей на данное тело силы. Направление силы и ускорения совпадают.

• Произведение массы материальной точки на ее ускорение равно действующей на нее силе.

1)

2)

- изменение массы

3)

Изменение импульса тела за время равно импульсу силы за тот же промежуток времени.

Билет 9

Движение тел при наличии связей (несвободное движение тел). Примеры.

Несвободное движение тела – это движение, при котором на траекторию или скорость наложены определенные условия (ограничения). Эти условия называются связями.

Связи, наложенные на движение какого-то тела, осуществляются недеформированными телами.

Силы со стороны тел, осуществляющих связь, называются реакциями связи.

Пример 1 (движение по окружности в горизонтальной плоскости):

Пример 2 (движение тела по идеальной наклонной плоскости):

Пример 3 (движение по выпуклому склону):

Пример 3 (движение трех грузов, подвешенных на блоках):

,

а) из нерастижимости нити следует

б) из поступательного движения

,

в) из вращательного движения блоков

M – момент силы; I – момент инерции; - угловое ускорение

, если

Из вращательного движения блока I следует:

Подифференцировав дважды, получаем:

.

Билет 10

Движение тел переменной массы. Уравнение Мещерского. Формула Циолковского.

Имеется много случаев, когда масса тела изменяется в процессе движения за счет непрерывного отделения или присоединения вещества (ракета, реактивный самолет и др.).

Пусть в некоторый момент времени t масса движущегося тела А равна М и движется оно со скоростью V, а отсоединившееся (присоединившееся) тело массой имеет скорость , тогда масса всего тела будет равняться , а скорость

- скорость изменения массы

Последнее слагаемое представляет собой произведение бесконечно малых приращений времени и скорости, т.е. является величиной второго порядка малости относительно первых двух слагаемых, поэтому им можно пренебречь.

- относительная скорость отколовшегося куска относительно большего тела

- реактивная сила

- уравнение Мещерского (описывает движение тела, у которого меняется масса)

Формула Циолковского.

- уравнение Циолковского

- начальная масса ракеты

- масса ракеты в момент времени t

- стартовая скорость ракеты

- скорость ракеты в момент времени t

- скорость выброса газов из сопла ракеты.

Физический смысл формулы Циолковского:

Формула позволяет определить начальную массу ракеты (т.е. запас топлива) необходимую для того, чтобы разогнать полезную нагрузку М (спутник) от начальной скорости до скорости при условии, что скорость истечения газов из сопла ракеты равно .

Билет 11

Инерциальные системы отсчета. Понятие о неинерциальной системе отсчета. Силы инерции при ускоренном поступательном движении системы отсчета. Примеры.

Если системы отсчета движутся равномерно прямолинейно относительно друг друга и хотя бы в одной из них выполняются законы Ньютона, то такие системы называются инерциальными.

В качестве инерциальной системы отсчета можно взять систему неизменно связанную с центром масс тел, образующих солнечную систему, оси которой имеют неизменное направление относительно неподвижных звезд.

Неинерциальная система – это система, движущаяся ускоренно, относительно инерциальной; в частности любая вращающаяся система является неинерциальной.

Принцип Галилея:

Во всех инерциальных системах законы ньютона имеют одинаковый вид (законы Ньютона инвариантны относительно перехода от одной инерциальной системы к другой)

Пример 1 (маятник в вагоне):

1) в неподвижной системе (рельс)

;

;

2) в подвижной системе отсчета (вагон)

, на

, при

- поступательная сила инерции

Пример 2 (тело на столе в вагоне):

1) в неподвижной системе (рельс)

2) в подвижной С.О.

3) вводим силу инерции

Пример 3 (маятник на вращающемся диске):

а) (равнодействующая)

б) шарик покоится,

в) (центробежная сила)

Билет 12

Силы инерции, действующие на тело, движущееся прямолинейно и равномерно во вращающейся системе (шарик на диске). Кориолисово ускорение.

(рад)

- приращение по касательной

Приращение возникает из-за поворота радиальной скорости

приращение характеризует изменение модуля тангенсального ускорения

- приращение по касательной

- нормальное приращение вращательной скорости

Кориолисово ускорение:

Нормальное ускорение:

2 силы создают свое ускорение:

создается

создается

В системе диска:

1)

2)

Билет 13

Силы инерции, действующие на произвольно движущееся во вращающейся системе координат тело.

- приращение вектора, полученное при помощи поворота вектора вокруг оси

справедливо, если вектор неподвижен во вращающейся системе.

- производная во вращающейся системе отсчета, когда вектор меняется во вращающейся системе отсчета

- радиус окружности, которую описывает точка в данный момент времени.

- скорость в неподвижной системе

- скорость относительная вращающейся системы, относительная скорость

- связь между абсолютной и относительной скоростью во вращающейся системе

производная в неподвижном состоянии

- относительное ускорение (ускорение относительно вращающейся системы)

- производная относительной скорости, взятой в неподвижной системе

абс отн кол центрострем.

,

Билет 14

Влияние вращения Земли на движение тел. Маятник Фуко.