1. 5.5. Влияние вращения Земли на движение тел. Маятник Фуко

Вернемся к рассмотрению случая движения тела вдоль радиуса диска, вращающегося вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью . На рис. 5.15, а изображены кинематические характеристики этого тела при его движении к центру вращения, а на рис. 5.15, б — при движении от центра вращения. Вектор угловой скорости в обоих случаях направлен перпендикулярно за плоскость чертежа. Если тело движется вдоль диска не равномерно, то при рассмотрении движения тела относительно неподвижной системы отсчета, необходимо учесть, что абсолютное ускорение тела в этой системе будет равно векторной сумме не двух (как было в случае постоянной относительной скорости (5.26)), а трех ускорений:

, (5.28)

где — переносное ускорение, зависящее только от характера переносного движения (); — относительное ускорение, зависящее только от характера относительного движения; = −ω r a′ r — кориолисово ускорение, зависящее от характера как относительного, так и переносного движений.

В общем случае нахождение абсолютного ускорения представляет сложную задачу. Мы ограничимся частным случаем, когда диск вращается вокруг неподвижной оси с постоянной угловой скоростью. В качестве примера такого случая может служить движение тела массой m в системе отсчета, связанной с Землей.

Умножив все члены равенства (5.28) на массу тела, найдем силу

. (5.29)

Из равенства 5.29 имеем:

.

Откуда получаем уравнение движения тела во вращающейся (неинерциальной) системе отсчета rrr цб ma F F ′

,

где — кориолисова сила.

Угловая скорость вращения Земли вокруг Солнца (2радиан в год) настолько мала, что связанные с ней силы инерции не играют существенной роли в ходе процессов, происходящих на Земле. В то же время угловая скорость суточного вращения Земли примерно в 365 раз больше угловой скорости ее годового

Рис. 5.15 r

вращения. Поэтому при составлении уравнения движения тела в системе отсчета, связанной с Землей нужно учитывать не только ньютоновские силы (Fr), но и все силы инерции (центробежные и кориолисовы). В то же время часто при грубых количественных оценках характеристик некоторых явлений можно пренебречь и силами инерции, вызываемыми суточным вращением Земли, а систему координат, связанную с Землей, считать приблизительно инерциальной.

Таким образом, в соответствии с проведенными выше рассуждениями сила Кориолиса проявляется при движении по поверхности земного шара благодаря суточному вращению Земли. Рассмотрим более подробно некоторые примеры, подтверждающие это явление.

Французский физик-экспериментатор Жан Фуко (1819—1868), наблюдая за колебаниями специально сконструированного маятника, в 1851 г. экспериментально доказал, что система координат, связанная с Солнцем, инерциальна, а Земля совершает суточное вращение вокруг своей оси. Этот маятник, состоящий из подвеса длиной 67 м и железного шара массой 28 кг, названный маятником Фуко, был сконструирован в парижском Пантеоне. В настоящее время известно около 20 действующих конструкций маятника Фуко. Например, в здании ООН (Нью-Йорк), Грифитской обсерватории (Лос-Анжелес), Калифорнийской академии наук, Кувейте, Национальном музее американской истории (Вашингтон), Сиднейском университете (Австралия) и др.

В Республике Беларусь маятник Фуко специальной конструкции в виде четырехгранной застекленной пирамиды установлен в Белорусском государственном педагогическом университете им. М. Танка (2002). Шар из алюминиевого сплава массой 27 кг, подвешенный на стальной проволоке длиной 6,35 м колеблется с амплитудой 1,25 м и периодом 5,5 с. Верхний конец проволоки закреплен в кардановом подвесе, установленном в вершине пирамиды. Внутри шара расположен постоянный магнит из редкоземельного материала, а в основании пирамиды электромагнитная система, служащая для восполнения потерь энергии при колебаниях. На географической широте Минска (ϕ=) за сутки пирамида поворачивается относительно плоскости качаний маятника на угол, равный 290°. o mg

Для простоты рассуждений рассмотрим случай, когда маятник Фуко находится на Северном полюсе (рис. 5.16). Выведем маятник из состояния равновесия и дадим ему возможность свободно колебаться. В гелиоцентрической системе отсчета на маятник действуют сила тяжести r и сила натяжения r . Обе силы лежат в плоскости качаний маятника, следовательно, плоскость качаний должна

Рис. 5.16

сохранять свое положение в пространстве относительно этой системы. В то же время проекция плоскости качаний маятника поворачивается в направлении, противоположном вращению Земли, со скоростью 15° в час. Наблюдаемый поворот плоскости качаний маятника может быть обусловлен только лишь суточным вращением Земли.

В системе отсчета, связанной с Землей, поворот плоскости качаний маятника объясняется действием силы Кориолиса. На полюсе скорость маятника при большой длине его подвеса можно считать перпендикулярной вектору угловой скорости вращения Земли . Сила Кориолиса в соответствии с формулой перпендикулярна плоскости качаний маятника и по правилу буравчика направлена вправо по отношению к относительной скорости движения маятника. Поскольку сила Кориолиса никакой другой силой не уравновешивается, то в результате ее действия и происходит поворот плоскости качаний маятника. Траектория движения маятника будет иметь вид розетки (рис. 5.17). Если маятник установлен на определенной широте , то в этом случае его плоскость качаний повернется за сутки на угол . Таким образом, опыт с маятником Фуко экспериментально подтверждает, что система отсчета, связанная с Землей, является неинерциальной системой отсчета.

Сила Кориолиса, которая действует на тело, движущееся с относительной скоростью вдоль меридиана, направлена по отношению к этой скорости вправо в северном полушарии и влево — в южном (рис. 5.18, а ). Если тело движется в плоскости экватора с запада на восток, то сила Кориолиса направлена вертикально вверх, при движении тела с востока на запад она направлена вертикально вниз (рис. 5.18, б ). Сила Кориолиса равна нулю, если тело движется на экваторе в плоскости меридиана, потому что векторы и параллельны. Примером влияния сил Кориолиса на движение тел у поверхности земного шара является также отклонение свободно падающих тел к востоку (рис. 5.18, в ).

Большую роль играют кориолисовы силы в метеорологических явлениях. Так, отклоняющее влияние кориолисовой силы заставляет мощное океаническое течение Гольфстрим, выходящее из Мексиканского залива через Флоридский

Рис. 5.17

Рис. 5.18

пролив в направлении, близком к меридианному, отойти от берегов Америки, пересечь Атлантический океан и выйти в Баренцево море у берегов Скандинавии. Действием кориолисовых сил объясняется и направление ветров-пассатов. Массы холодного атмосферного воздуха приходят в движение в направлении от полюса к экватору, где давление атмосферного воздуха вследствие нагревания несколько ниже, чем у полюса. Под влиянием силы Кориолиса, которая в данном случае будет направлена на запад, пассаты в северном полушарии Земли дуют с северо-востока на юго-запад, а в южном — на северо-запад. При движении тел на Земле проявление кориолисовых сил не очень заметно, поскольку в обычных условиях малы и скорости движения тел, и угловая скорость вращения Земли. Так, например, на груз маятника Фуко, установленного в БГПУ, при его колебаниях действует сила мН. Однако следует иметь в виду, что малая сила, которая действует продолжительное время, может создать довольно ощутимый эффект. Продолжительное действие кориолисовых сил объясняет тот факт, что правый берег рек в северном полушарии всегда более крутой, чем левый, в южном полушарии более крутой — левый берег (закон Бера). Сила Кориолиса прижимает воду к правому берегу, и она подмывает его. Поскольку сила Кориолиса, как отмечалось ранее, в северном полушарии всегда направлена в правую сторону от направления движения тела, то этим и объясняется преждевременный износ правого рельса на двухколейной железной дороге.

В научно-популярной литературе можно встретить информацию о том, что перелетные птицы при сезонной миграции сохраняют выбранный курс полета благодаря влиянию на них кориолисовой силы.

Билет 15

Сухое трение. Сила трения покоя. Закон Амотона. Зависимость сил сухого трения от скорости соприкасающихся тел. Закон Кулона. Сила трения качения и ее свойства.

Сухое трение - когда взаимодействующие твёрдые тела не разделены никакими дополнительными слоями/смазками (в том числе и твердыми смазочными материалами) — очень редко встречающийся на практике случай. Характерная отличительная черта сухого трения — наличие значительной силы трения покоя.

Сила трение покоя — сила, возникающая между двумя контактирующими телами и препятствующая возникновению относительного движения. Эту силу необходимо преодолеть для того, чтобы привести два контактирующих тела в движение друг относительно друга. Возникает при микроперемещениях (например, при деформации) контактирующих тел. Она действует в направлении, противоположном направлению возможного относительного движения.

Закон Амонтона — эмпирический физический закон, устанавливающий связь между касательной и нормальной составляющими реакции связи, возникающими при контактном взаимодействии тел.

Если   — относительная скорость в точке контакта,   — касательная составляющая реакции связи, т.е. сила трения,   — нормальная составляющая реакции связи, μ — коэффициент трения, то

• при 

• при 

причём сила трения направлена в сторону, противоположную результирующей активных сил, и равна ей по величине.

Коэффициент трения μ зависит от ряда физических факторов таких как материалы соприкасающихся поверхностей, качества их обработки, температуры и других.

Закон Кулона — это закон о взаимодействии точечных электрических зарядов.

Сила взаимодействия двух точечных неподвижных заряженных тел в вакууме направлена вдоль прямой, соединяющей заряды, прямо пропорциональна произведению модулей зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними.

Важно отметить, что для того, чтобы закон был верен, необходимы:

1. точечность зарядов — то есть расстояние между заряженными телами много больше их размеров — впрочем, можно доказать, что сила взаимодействия двух объёмно распределённых зарядов со сферически симметричными непересекающимися пространственными распределениями равна силе взаимодействия двух эквивалентных точечных зарядов, размещённых в центрах сферической симметрии;

2. их неподвижность. Иначе вступают в силу дополнительные эффекты: магнитное поле движущегося заряда и соответствующая ему дополнительная сила Лоренца, действующая на другой движущийся заряд;

3. взаимодействие в вакууме.

Однако с некоторыми корректировками закон справедлив также для взаимодействий зарядов в среде и для движущихся зарядов.

В векторном виде в формулировке Ш. Кулона закон записывается следующим образом:

где   — сила, с которой заряд 1 действует на заряд 2; q₁,q₂ — величина зарядов;   — радиус-вектор (вектор, направленный от заряда 1 к заряду 2, и равный, по модулю, расстоянию между зарядами — r₁₂); k — коэффициент пропорциональности. Таким образом, закон указывает, что одноимённые заряды отталкиваются (а разноимённые — притягиваются).

Сила трения качения — сопротивление движению, возникающее при перекатывании тел друг по другу. Проявляется, например, между элементами подшипников качения, между шиной колеса автомобиля и дорожным полотном. В большинстве случаев величина трения качения гораздо меньше величины трения скольжения при прочих равных условиях, и потому качение является распространенным видом движения в технике.

Трение качения возникает на границе двух тел, и поэтому оно классифицируется как вид внешнего трения.

Пусть на тело вращения, располагающееся на опоре, действуют

• P — внешняя сила, пытающаяся привести тело в состояние качения или поддерживающая качение и направленная вдоль опоры;

• N — прижимающая сила;

• R_p — реакция опоры.

Если векторная сумма этих сил равна нулю

то ось симметрии тела движется равномерно и прямолинейно или остаётся неподвижной(см. рис. 1). Вектор   определяет силу трения качения, противодействующую движению. Это означает, что прижимающая сила уравновешивается вертикальной составляющей реакции опоры, а внешняя сила уравновешивается касательной составляющей реакции опоры.

Рис. 2.   — внешняя сила;   — сила трения качения; R — радиус тела вращения; 

Равномерное качение означает также, что сумма моментов сил относительно произвольной точки равна нулю. Из равновесия относительно оси вращения моментов сил, изображённыхна рис. 2 и 3, следует:

откуда

где

• F_t — сила трения качения;

• f — коэффициент трения качения, имеющий размерность длины (следует отметить важное отличие от коэффициента трения скольжения, который безразмерен);

• R — радиус катящегося тела;

• N — прижимающая сила.

Рис. 3. Момент силы трения   действующий против часовой стрелки (относительно мгновенного центра вращения в зоне контакта — правого конца отрезка f) и тормозящий качение тела вправо; N — прижимающая сила; f — коэффициент трения качения, равный длине плеча силы N.

Рис. 4. Коэффициент трения f;   — асимметричная реакция опорной поверхности, векторная сумма вертикальной   и горизонтальной   компонент;   — прижимающая сила;   — сила трения качения.

Эта зависимость подтверждается экспериментально. Для малой скорости качения сила трения качения не зависит от величины этой скорости. Когда скорость качения достигает значений, сопоставимых со значениями скорости деформации в материале опоры, трение качения резко возрастает и даже может превысить трение скольжения при аналогичных условиях.