4.3 Анализ одноканальной системы массового обслуживания с ожиданием.

Рис.4.3. Схема одноканальной СМО с ожиданием.

Рис.4.4. Граф состояний одноканальной разомкнутой СМО.

P₀, P_1, …, P_n вероятности наличия 0,1,2…n требований в системе.

С истема уравнений:

……………… (4.10)

…………………

В стационарном режиме: , n=0,1,…

-P₀+P₁=0

P₀-(+)P₁+P₂=0 (4.11)

……………………

P_n-1-(+)P_n+P_n+1=0

……………………

Выразим вероятности состояний системы в виде некоторой реккурентной формулы.

Из первого уравнения системы (2) определяем наличие одного требования в системе:

,

где (коэффициент использования).

Из второго уравнения – вероятность наличия двух требований в системе:

, где или:

Вероятность наличия в СМО 3-х требований:

Суммируя полученные значения для P₀, P_1, …, P_n находим:

Используя формулу суммы геометрической прогрессии, получаем:

При n , откуда имеем вероятность простоя канала обслуживания: (4.12)

Вероятность того, что в системе находится n требований:

(4.13)

Можно получить следующие формулы:

Среднее число требований находящихся в системе: (4.14)

Среднее число требований находящихся в очереди: (4.15)

Среднее время ожидания требования в системе: (4.16)

4.4 Анализ одноканальной замкнутой системы с ожиданием.

Рис.4.5. Граф состояний системы.

m – число требований нуждающихся в обслуживании;  - интенсивность поступления одного требования.

Основные формулы:

Вероятность того, что в системе находится n требований: (4.17)

Вероятность простоя канала обслуживания: (4.18)

Среднее число требований, находящихся в очереди: (4.19)

Среднее время ожидания требования в очереди: (4.20)

Среднее время ожидания требования в системе: (4.21)

4.5 Анализ многоканальной разомкнутой системы с отказом.

Рис.4.6. Граф состояний системы.

Интенсивность поступления требований в систему ; N – количество каналов. Если N каналов занято, то требование получает отказ и покидает систему. Задача решена датским учёным Эрлангом.

Возможные состояния системы:

P₀ – все каналы свободны, ни одно требование не обслуживается;

P₁ – один канал занят, обслуживается одна заявка;

…………………………………………………

Р_n – каналов занято, обслуживается n требований;

P_{N –} все N каналов заняты, обслуживается N требований;

(4.22)

Из первого уравнения: ; из второго уравнения с учётом первого равенства

(4.23)

Используя полученные соотношения, определим вероятность P₀ того, что все каналы обслуживания свободны:  (4.24)

Вероятность того, что занято ровно n каналов обслуживания: (4.25)

Среднее число занятых каналов обслуживания: (4.26)

4.6 Анализ многоканальной замкнутой системы с ожиданием.

Рис.4.6. Граф состояний системы.

n – число требований поступивших в систему; N – число каналов обслуживания; m –число требований нуждающихся в обслуживании; Nnm.

Возможно 2 случая:

1. Число требований n, поступивших в систему меньше числа каналов обслуживания,

т.е они все находятся на обслуживании. 0nN

2. Число требований n, поступивших в систему больше или равно числу каналов

обслуживания nN из них N обслуживаются, а z требований ожидают в очереди

(z=1,2,…,m-N).

Вероятность того, что в системе находится n требований:

для 0nN (4.27)

для Nnm (4.28)