4. Вероятность появления только одного из группы независимых событий а1, а2, ..., Аn.

Рассмотрим для простоты случай n = 3.

Пусть А: произойдет только одно из А₁, А₂, А₃, т.е. произойдет или событие , или , или , причем эти события несовместны. Тогда по теореме сложения для несовместных событий имеем:

Аналогично можно вычислить вероятность появления только двух событий из А₁, А₂, А₃: .

Пример: Студент разыскивает формулу в трех справочниках. Вероятность обнаружить нужную формулу в первом справочнике р₁ = 0,7; во втором р₂ = 0,8; в третьем р₃ = 0,6.

Найти вероятность того, что студент обнаружит формулу 1) только в одном справочнике; 2) только в двух справочниках; 3) во всех трех справочниках; 4) хотя бы в одном справочнике.

1) А: формула есть только в одном справочнике.

2) В: формула есть только в двух справочниках.

3) С: формула есть во всех трех справочниках.

4) D: формула есть хотя бы в одном справочнике.

: формулы нет ни в одном справочнике.

. Тогда .

Лекция №3. Формулы классической теории вероятности.

1. Формула полной вероятности (фпв).

Пример. В магазин поступают лампочки с двух заводов, с завода №1 – 70%, с завода №2 – 30%. Из каждый 100 шт. на заводе №1 90 стандартные; на заводе №2 из 100 шт. 80 стандартные.

Наудачу купили одну лампочку. Какова вероятность, что она стандартная?

Пусть А: лампочка стандартная. Относительно купленной лампочки может возникнуть два предположения (гипотезы): В₁ – лампочка изготовлена на заводе №1; В₂ – лампочка с завода №2.

Событие А в этом случае можно представить в виде (лампочка стандартна, если она с завода №1 и стандартна или с завода №2 и стандартна).

События АВ₁ зависимые и события АВ₂ тоже зависимые.

События и несовместные. Тогда, используя теоремы умножения и сложения, имеем

По условию задачи Р(В₁) = 0,7; Р(В₂) = 0,3; ; P(A/B₂)=0,8.

Следовательно, .

Обобщение. Если интересующее нас событие А может произойти только в результате осуществления одного из несовместных событий В₁, В₂, ..., В_n, составляющих ПГНС, то вероятность события А равна сумме парных произведений вероятностей событий В₁, В₂, ..., В_n, называемых гипотезами или предположениями, на соответствующие условные вероятности события А:

-формула полной вероятености.

2. Формула Байеса (формула пересчета вероятности гипотез).

Пусть событие А может произойти в результате осуществления одной из гипотез В₁, В₂, ..., В_n, составляющих ПГНС. Пусть событие А произошло. Пересчитаем вероятность i-той гипотезы в этом случае, т.е. найдем Р_А(В_i).

По теореме умножения имеем:

. Отсюда , в этом случае Р(А) – есть полная вероятность события А.

Последняя формула называется формулой Байеса.

Пример. Возьмем условие предыдущего примера.

Пусть купленная наудачу лампочка оказалась стандартной. Найти вероятность того, что лампочка изготовлена на заводе №1, т.е. требуется пересчитать вероятность гипотезы В₁.

.

3. Формула Бернулли.

Формула Бернулли применяется в случае проведения серии одинаковых независимых испытаний.

Если производится серия испытаний, причем вероятность появления события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называются независимыми относительно события А.

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем рассматривать второй случай.

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться с одной и той же вероятностью р, где .

Требуется найти вероятность того, что при n испытаниях событие А появится ровно к раз и, следовательно, не появится (n – к) раз, т.е. найти Р_n(к).

Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в n испытаниях А появится к раз и не появится (n-к) раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний . Тогда: или . Полученная формула называется формулой Бернулли.

Пример: 1) Проводится 3 испытания Р(А) = р; . Найти вероятность того, что А появится ровно два раза.

номер испытания:	I	II	III
	А	А
	А		А
		А	А

Комбинаций 3 шт. Вероятность каждой комбинации р²q.

По теореме сложения несовместных событий имеем:

2) Монету бросаем 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет 3 раза. n = 5; k = 3; A: выпадение герба; ;

.

Наивероятнейшее число наступлений события А в n независимых

испытаниях.

Определение Число т наступлений события А в n независимых испытаниях называется наивероятнейшим, если , k = 0, 1, 2, ..., n.

Из определения следует, что ;

т.к. р>0, q>0, n-m>0, m>0 то, сокращая, получим: ; ; ; или .

Замечание 1) если (n – q) – нецелое, то (nр + р)– тоже нецелое, т.к. р+ q = 1. Тогда между этими числами есть единственное целое положительное число т.

2) Если (n – q) – целое, то и (nр + р) – целое, тогда т имеет два последовательных целых значения.

Пример Всхожесть семян составляет в среднем 80%. Найти наивероятнейшее число всхожих семян среди 9 шт.

n = 9; р = 0,8; q = 0,2; ;

; .

Следовательно, т = 7 или т = 8.

;

.