5.Задачи на законы распределения дискретных и непрерывныъх случайных ве - личин.

5.1 В мастерской имеется 4 мотора. При существующем режиме работы вероятность того, что мотор работает с полной нагрузкой, равна 0,8. найти вероятность того, что в данный момент не менее двух моторов работает с полной нагрузкой. ( )

5.2 На автобазе имеется 12 автомашин. Вероятность выхода на линию каждой из них равна 0,8. найти вероятность нормальной работы автобазы, если для этого необходимо иметь на линии не менее 8 автомашин.

5.3 Вероятность возникновения опасной для прибора перегрузки в каждом опыте равна 0,4. Определить вероятность отказа прибора в серии из 3-х независимых опытов, если вероятность отказа прибора при одной, двух и трёх опасных перегрузках соответственно равны 0,2; 0,5; 0,8.

Решение.

Определим вероятности одной, двух и трёх опасных перегрузок в серии из трёх опытов (вероятности гипотез Н₁, Н₂, Н₃ соответственно).

Вероятность отказа (событие А) находим по формуле полной вероятности:

5.4 Ожидается прибытие трёх судов с бананами. Статистика показывает, что в 1% случаев груз бананов портится в дороге. Составить ряд распределения, найти мат. ожидание и дисперсию числа судов с испорченным грузом.

Решение.

Случайная величина Х – число судов с испорченным грузом, её возможные значения равны: 0; 1; 2; 3. Подсчитаем вероятности этих значений. Закон распределения – биномиальный, с параметрами: р = 0,01; q = 0,99.

М(Х) = np = 0,03; D(X) = npq = 0,0297.

5.5 Рабочий обслуживает 4 станка. Каждый станок в течение 6 часов работы несколько раз останавливается, и всего в сумме простаивает 0,5 часа, причём, остановки станков в любой момент времени равновероятны. Составить ряд распределения числа станков, работающих в данный момент времени. Найти числовые характеристики.

Решение.

Случайная величина Х – число станков, работающих в данный момент времени. Её возможные значения: 0; 1; 2; 3; 4. Каждый станок пребывает в двух состояниях: рабочем, вероятность такого состояния р равна отношению временного промежутка, когда он работает, к всему рабочему времени р= 5,5час/6час= 11/12; нерабочем, вероятность этого состояния q = 0,5час./6час.=1/12.

Ряд распределения для с. в. Х имеет вид:

хi	0	1	2	3	4
P(xi)

Закон распределения с. в. Х – биномиальный, поэтому числовые характеристики вычисляем по формулам:

5.6 При массовом производстве полупроводниковых диодов вероятность брака при формовке равна 0.1. Какова вероятность того, что из 400 взятых наугад диодов 50 будут бракованными? (n=400; p=0,1; q=0,9; m=50).

5.7 При проверке контродьных работ, выполненных студентами по определённой теме, было выявлено, что только 60% студентов из числа писавших контрольную работу, смогли правильно ответить на все поставленные вопросы.

Найти вероятность того, что из 100 случайно взятых контрольных работ 60 из них написаны студентами, сумевшими правильно ответить на все поставленные вопросы.

5.8 Вероятность выхода из строя за время Т одного конденсатора рапвна 0,2. определить вероятность того, что из 100 конденсаторов в течение времени Т выйдет из строя не менее 30 конденсаторов.

P = 0,2; q = 0,8; m 30; n = 100.

5.9 Вероятность загорания леса от удара молнии во время отдельной грозы равна 0,1. За лето над лесом возникает в среднем 360 гроз. а) Какова вероятность возникновения от 30 до 50 очагов пожара? б) Каково наивероятнейшее число возникающих от гроз очагов возгорания и какова его вероятность?

P = 0,1; q = 0,9; n = 360; ;

М₀ = 36 – наивероятнейшее число возникающих очагов возгорания.

5.10 Среднее число вызовов, поступающих в справочное бюро вокзала за одну минуту, равно двум. Найти вероятность того, за три минуты поступит: а) четыре вызова; б) менее четырёх вызовов; в) не менее четырёх вызовов.

Решение.

Минутная плотность вызовов равна а)

б)

в)

5.11 Случайная величина имеет плотность Найти постоянную а и вероятность того, что в двух независимых испытаниях Х примет значения, меньше единицы.

Решение.

5.12 Случайная величина распределена по закону Релея:

Найти коэффициент А, медиану, моду, М(Х), D(X).

(А=2h²; М(Х)= )

5.13 Заряд охотничьего пороха взвешивают на весах, имеющих мг. Номинальный вес заряда равен 2,3 г. Определить вероятность разрыва ружья, если максимально допустимый заряд равен 2,5 г.

Решение.

Случайная величина Х – вес порохового заряда. Закон распределения вероятностей – нормальный. Разрыв произойдёт, если вес заряда превысит 2,5 г.

=

5.14 Систематическая ошибка дальномера равна +20 метров, а случайные ошибки распределены по нормальному закону. Какое с.к.о. должен иметь дальномер, чтобы с вероятностью 0,9 ошибка измерения высоты по абсолютной величине не превышала 100 м?

Решение.

Случайная величина Х – ошибка в измерении расстояния до цели, по абсолютной величине не должна превышать 100 м.

P(-100 < M(X) <100) = F(100) – F(-100), здесь М(Х) =0 – точное расстояние до цели. Тогда:

F(100) – F(-100) = метров.

5.15 Перед руйсом длиной в 3000 миль все форсунки главного двигателя (их 8 штук) заменили новыми. Продолжительность работы одной форсунки до отказа – случайная величина Т, подчинённая нормальному закону со средним временем безотказной работы 5000 миль и с.к.о. =1000 миль. Какова вероятноть того, что ни одна форсунка не откажет в рейсе?

Решение.

Закон распределения с. в. Т – нормальный, усечённый на . Нормирующий множитель при этом получает значение:

Тогда вероятность безотказной работы одной форсунки за рейс длиной в 3000 миль можно подсчитать по формуле:

Вероятность того, что все 8 форсунок не откажут в рейсе (вероятность произведения 8-ми независимых событий с одинаковой вероятностью появления), подсчитается по формуле: