Теорема

Пусть f(x)  g(x), где f(x) и g(x) – интегрируемые на [a,b] функции, тогда

b b

 f(x)dx   g(x)dx

a a

Доказательство:

f( _i)  g( _i) x_i>0

f( _i)x_i  g( _i)x_i

Отсюда интегральные суммы:

n n

 f( _i)x _i  g( _i)x _i

i=1 i=1

И, переходя к пределам получим:

b b

 f(x)dx   g(x)dx

a a

ч.т.д.

Отсюда некоторые следствия:

Следствие 1

Если f(x)>0, то, при b>a :

b

 f(x)dx  0

a

Доказательство следствия следует из выше доказанной теоремы (если принять g(x)=0)

Следствие 2

Если m  f(x)  M, то:

b

m (b-a)   f(x)dx  M (b-a)

a

Доказательство следствия следует из выше доказанной теоремы (если принять g(x) = m(b-a) в случае f(x)  g(x), а во втором случае (f(x)  g(x)) g(x) = M(b-a))

Следствие 3

Если M = sup f , m = inf f ,то  , что

b

 f(x)dx = (b-a) , где m    M

a

Доказательство следствия:

b

( f(x)dx) / (b-a)= 

a

По предыдущему следствию

b

m (b-a)   f(x)dx  M (b-a)

a

b

m  ( f(x)dx) / (b-a)  M

a

Но у нас

b

( f(x)dx) / (b-a)= 

a

Получается, что m    M

Следствие доказано

Следствие 4

Пусть f – непрерывная на [a,b], тогда существует такое c, что

b

 f(x)dx = f(c)(b-a), где c[a,b]

a

Доказательство следствия:

По предыдущему следствию

  [m,M]

b

 f(x)dx = (b-a)

a

f(x)  [m,M]

Тогда по второй теореме Больцано-Коши

 c[a,b], f(c)=  [m,M], 

b

 f(x)dx = f(c)(b-a)

a

Следствие доказано

Теорема

Если f интегрируема на [a,b], то имеет место формула:

b b

 f(x)dx  f(x)dx , b>a

a a

Доказательство:

Рассмотрим интегральную сумму

n n n

f( _i)x _i f( _i)x _i = f( _i)x _i

i=1 i=1 i=1

Переходим к пределам:

n n

lim f( _i)x _i lim f( _i)x _i

n i=1 n i=1

и получаем:

b b

 f(x)dx  f(x)dx

a a

_ч.т.д.

Первая теорема о среднем

Теорема: Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a;b] и g(x) принимает на отрезке значения одного знака, то справедливо равенство:

= , где [m;M], M=sup[f(x)], m=inf[f(x)] .

Доказательство: для определенности будем считать, что g(x)>0 на [a;b].

Т.к. m и M точные грани, то верно неравенство m  f(x)  M 

mg(x)  f(x)g(x)  Mg(x) 

m   M (1).

Рассмотрим , т.к g(x)  0, то  . Получили 2 случая.

1) =0  утверждение теоремы верно.

2) g(x)>0. Все части неравенства (1) делим на , после получим

m  /  M. Обозначим через = /  [m;M]

и = .

Теорема доказана.

Опр.: если существует предел последовательности интегрируемых сумм, а n зависит от способа разбиения отрезка [a;b] и от выбора точек разбиения, то lim_n = I = (n) называется интегралом, а функция интегрируемой.

Т.е. F(x) интегрируема по Риману на [a;b] , если >_n  тогда   называется интегралом, а функция интегрируемой.

Опр.: число M(m) называется точной верхней (нижней) гранью f(x) на множестве X, если выполняются следующие условия:

• xX f(x)M (f(x)m)

•   x₀ X ,что верно f(x₀)+>M (f(x₀)-<m)

Следствие: если f(x) и g(x) интегрируемы на отрезке [a;b] , g(x) сохраняет знак на [a;b], а f(x) непрерывна на [a;b] _, то c[a;b] такое, что выполняется = f(c)

Доказательство: по первой теореме о среднем получаем, что

= , где [m;M], M=sup[f(x)], m=inf[f(x)]

т.к. f(x) непрерывна на [a;b], то по 2-й теореме Больцано-Коши (f(x):[a;b]R, т.е. функция определена, непрерывна и x₁, x₂[a;b], f(x₁)=A, f(x₂)=B, A<B. c(A;B) x₀[a;b], f(x₀)=c) c[a;b], что f(c)=.

Т.е. =f(c)

_{Следствие доказано.}

Вторая теорема о среднем

Лемма: =g(b) , где g(x) непрерывна, дифференцируема, неотрицательна и не убывает на [a;b], а f(x) интегрируема и непрерывна на [a;b] .

Доказательство:

Рассмотрим вспомогательную функцию F(x) = , x[a;b]. Т.к. это интеграл с переменным нижним пределом от интегрируемой и непрерывной (по усл.) функции f(x), то F(x) дифференцируема, непрерывна и задана на [a;b]. Тогда по 2-й теореме Вейерштрасса (f непрерывна [a;b]она достигает свои верхнюю и нижнюю грани) F(x) ограничена и достигает sup=M, inf=m.

Заметим, что dF(x)=f(x)dx  = =g(x)F(x)  =(причем g'(x)>0, т.к. g(x) возрастает)=g(a)F(a)+ g(a)M+M =M(g(a)+g(x)  )=Mg(b).

Аналогично g(a)F(a)+ mg(a)+m[g(b)-g(a)]=mg(b).

m / g(b)M.

воспользуемся 2-й теоремой Больцано-Коши (f(x):[a;b]R, т.е. функция определена, непрерывна и x₁, x₂[a;b], f(x₁)=A, f(x₂)=B, A<B. c(A;B) x₀[a;b], f(x₀)=c),

F(x) непрерывна[a;b], F()= / g(b), а по условию F()= 

=g(b) , что и требовалось доказать.

Лемма доказана.

Теорема: если на отрезке [a;b] f(x) интегрируема и непрерывна, а g(x) интегрируема, монотонна, дифференцируема и непрерывна, то выполняется равенство:

= g(a) +g(b) ,[a;b] (формула Боне).

Доказательство:

1. пусть g(x) не убывает. Рассмотрим вспомогательную функцию h(x)=g(x)-g(a)0 (т.к. возрастающая функция). По лемме =h(b)

= h(b) =[g(b)-g(a)]   = g(b)  g(a)  =g(a)  g(a)  g(b) = =g(a) +g(b)

2. пусть g(x) не возрастает, тогда (-g(x)) – функция, возрастающая. Для возрастающей функции утверждение теоремы верно, значит для (-g(x)) выполняется теорема.

= (-g(a)) +(-g(b)) 

- =-[ g(a) +g(b) ], домножив на (-1) получим равенство:

= g(a) +g(b) теорема верна и для убывающей функции.

_{Теорема доказана.}

_{15. Пусть f –Интегрируема на промежутке [a,b]=> f – интегрируема [a,x] (a<x<b), то есть Существует}

Теорема. 1)Ф(х) непрерывна на [a,b] 2) если f(x) –непрерывна тогда Ф(х) – дифференцируема на [a,b]. Ф(штрих)(х)=f(x)

Доказательство. 1) ∆у-> 0 при ∆х->0, то у-непрерывна в х(нулевой). Рассмотрим ∆Ф(х), зададим ∆х такое что (х-∆х) € [a,b], ∆Ф(х)=Ф(х+∆х)-Ф(х)= =(по свойству 1)= =(по св. 3)= (по опред.) => Ф(х)-f(x) € C[a,b] (непрерывна)

2) (по 1 Т.) = ζ [x; ∆x] Ф(штрих) (х)=f(х)

Утверждение 1. Пусть f(х)- не возрастает на [a,b] и f(x)-не отрицательная g(х)-интегрируема на [a;b] тогда существует где (тета) ζ [a;b ] (2) Формула Боне.

Утверждение 2. f(x) –неубывает [a;b] и не отрицательна g(x) –интегрируема [a;b] тогда (3) Формула Боне.

Если f(x) непрерывна на [a;b ] g(x) –интегрируема [a;b]

ζ(тета) [x; ∆x]

Доказательство. f- не возрастает φ(х)=f(x)-f(b)>=0 φ(х)- не возрастает

По свойствам: