14. Линейность определённого интеграла.

Линейность определённого интеграла заключается в равенстве

a a a

( f(x) + g(x) )dx = f(x)dx + g(x)dx

b b b

где f и g - некоторые интегрируемые на [a,b] функции.

Докажем это равенство.

Доказательство:

Итак, по определению интеграла по Риману

a k

(  f(x)dx = lim  f(_i) x_i )

b k i=1

имеем

a k

 ( f(x) + g(x) )dx = lim  ( f(_i) + g(_i) )x_i =

b k i=1

Рассмотрим частичную сумму

k k k

 ( f(_i) + g(_i) )x_i =  f(_i) x_i +  g(_i) x_i

i=1 i=1 i=1

Тогда получим

k k a a

=  lim  f(_i) x_i +  lim  g(_i) x_i = f(x)dx + g(x)dx

k i=1 k i=1 b b

что и требовалось доказать.

Аддитивность определённого интеграла.

Сформулируем свойство аддитивности в виде теоремы:

Пусть есть три точки: a < b < c,

Тогда для функции f интегрируемой на сегментах [a,b], [b,c] и [a,c] ( на сегменте [a,c] ) справедливо равенство:

b c a

 f(x)dx +  f(x)dx +  f(x)dx = 0

a b c

Для того чтобы доказать это равенство сформулируем и докажем лемму:

Если у нас есть три точки a < b < c и функция f, интегрируемая на [a,b] и [b,c], то справедливо равенство:

c b c

 f(x)dx =  f(x)dx +  f(x)dx

a a b

Доказательство леммы:

Т.к. функция интегрируема на [a,b] и [b,c], то  такие разбиения этих сегментов, что разность S-s (верхние минус нижние суммы) для каждого из них </2, объединяя эти разбиения получим разбиение сегмента [a,c], для которого S-s будет <,  f интегрируема на [a,c].

Будем включать точку b в число делящих точек сегмента [a,c] при каждом его разбиении. Тогда интегральная сумма на [a,c] будет равна сумме интегральных сумм для этой функции на [a,b] и [b,c]:

n n₁ n₂

_[a,c]f( _i)x _i = _[a,b]f( _i)x _i + _[b,c]f( _i)x _i

i=1 i=1 i=1

Переходя к пределам

n n₁ n₂

lim _[a,c]f( _i)x _i = lim _[a,b]f( _i)x _i + lim _[b,c]f( _i)x _i

n i=1 n₁ i=1 n₂ i=1

получим:

c b c

 f(x)dx =  f(x)dx +  f(x)dx

a a b

что и требовалось доказать.

(Случай, когда b выходит за пределы сегмента [a,c] (a < c < b) доказывается ещё проще – через свойство интеграла интегрируемости на сегменте, входящем в сегмент, на котором функция интегрируема: fR[c,d], при fR[a,b], где [c,d][a,b])

Доказательство теоремы:

Получим из исходного равенства

b c a

 f(x)dx +  f(x)dx +  f(x)dx =

a b c

Учитывая свойство интеграла:

b a

 f(x)dx = -  f(x)dx

a b

b c c

= ( f(x)dx +  f(x)dx) -  f(x)dx =

a b a

Учитывая выше доказанную лемму:

c c

=  f(x)dx -  f(x)dx = 0

a a

_{что и требовалось доказать.}

Монотонность интеграла и оценка для модуля.