13. Интегрируемость непрерывной функции или кусочно-непрерывной.

Опр.: «интегрируемость по Риману»

F(x) интегрируема по Риману на [a;b] , если тогда называется интегралом, а функция интегрируемой.

1)Теорема: непрерывная на отрезке [a;b] функция f(x) является интегрируемой на данном отрезке.

Опр: f(x) непрерывна на [a;b], если она непрерывна в каждой точке этого отрезка.

Т.е. m[a;b], lim f(x)=f(m), xm.

Доказательство:

Рассмотрим колебание f(x) на отрезке

Так как f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то по 2-й теореме Вейерштрасса (f непрерывна [a;b]она достигает свои верхнюю и нижнюю грани)

 _i, _ii такие, что f(_i)=m_i – inf, а f(_i)=M_i – sup

т.е. функция ограничена, значит, выполняется необходимое условие интегрируемости.

По теореме Кантора f(x) равномерно непрерывна (теорема: если f(x) непрерывна на отрезке [a;b], то она равномерна непрерывна на нем:   x₁, x₂[a;b] , для которых справедливо x₁- x₂ <, то выполняется неравенство ( x₁)-( x₂)<), т.е. для f(x) справедливо:

  x₁, x₂i таких, что справедливо x₁- x₂ <; то выполняется неравенство

( x₁)-( x₂)<.

Потребуем, чтобы i, т.е. ()<. Тогда получим, что i будет выполняться:

x,I)<    = (b-a). при 0 получим, что (b-a)0, т.е. выполняется критерий Дарбу интегрируемости по Риману (критерий: функция, определенная и ограниченная на отрезке, будет интегрируемой  предел разности верхней и нижней сумм = 0 при диаметре разбиения 0, т.е.

  разбиений  таких, что (), выполняется S -S  или )

теорема доказана.

2) Теорема (интегрируемость кусочно-непрерывной функции): f(x), определенная на отрезке [a;b] и непрерывная во всех точках этого отрезка, кроме некоторого конечного числа точек, интегрируема.

Доказательство:

Пусть дан отрезок [a;b], a₁,a₂…a_k – точки разрыва. Выберем такое разбиение отрезка, что точки разрыва туда не попадут.

Тогда =.

Рассмотрим (,i)x_i, где f(x) равномерно непрерывна (точек разрыва нет), тогда справедливо (,i)x_i  ’x_i  (b-a)

Рассмотрим (,i)x_i, где нет равномерной непрерывности f(x).

Пусть sup(f, на [a;b])=M, inf(f, на [a;b])=m, x,[a;b])=M-m=K. Тогда справедливо неравенство: (,i)x_i  x_i  k (x_i   по условию, k – количество точек разрыва).

Возьмем любое ₀ и потребуем, чтобы выполнялось 1) (b-a)  ₀/2; 2) k ₀/2.

Для чего возьмем =₀/2(b-a), для которого ₀/4Kk и ₁ (₁).

_{Выберем 0=min{1},  =.0/2+0/2=0. Получили, что 0 0, что если 0, то выполнится неравенство 0  f(x) интегрируема (выполняется критерий Дарбу интегрируемости по Риману).}

Интегрируемость монотонной функции

Опр.: функция называется неубывающей (невозрастающей) на множестве {X}, если для любых x₁, x₂ из множества {X}, удовлетворяющих условию x₁<x_2, выполняется неравенство f(x₁)f(x₂) (f(x₁)f(x₂)).

Опр.: «интегрируемость по Риману»

F(x) интегрируема по Риману на [a;b] , если <  _n  тогда  называется интегралом, а функция интегрируемой .

Теорема:

монотонная функция, определенная на отрезке [a;b], интегрируема.

Доказательство:

Пусть для определенности f(x) не убывает на [a;b]. Возьмем произвольное разбиение p на [a;b] и разобьем данный отрезок. Т.к. функция не убывает, то справедливо неравенство:

f(a)f(x₁)f(x₂)…f(b), ax₁x₂x₃x₄b (случай f(a)=f(b) можно исключить, т.к. тогда f(x)=const).

Рассмотрим i, ix_i)-x_i-1, пусть диаметр разбиения , тогда x_i

 i  ((f(x₁)-f(a))+(f(x₂)-f(x₁))+(f(b)-f(x_n-1)))  fb)-f(a))  

Получили, что  , т.е. мы можем подобрать такое , в нашем случае fb)-f(a)), что выполнится неравенство  , как только   .

_{Теорема доказана.}