Доказательство

Будем исходить из тождества Абеля. Это тождество можно переписать в виде

_{n+p n+p - 1}

∑ [U_k(x)V_k(x)] ≡ ∑ S_k(x)[V_k(x) – V_k+1(x)]+[ S_n+p(x) - S_n(x) ]V_n+p(x) +

^{k=n+1 k=n+1}

+ S_n(x) [V_n+p(x) – V_n+1(x)] (5)

Из последнего тождества вытекает неравенство

_{n+p n+p - 1}

| ∑ U_k(x)V_k(x) | ≤ ∑ | S_k(x)| |V_k+1(x) – V_k(x)|+|S_n+1(x) - S_n(x)| |V_n+p(x)| +

^{k=n+1 k=n+1}

+ | S_n(x) | | V_n+p(x) – V_n+1(x)| (5’)

Так как по условию сумма S(x) ряда

∞

∑ U_n(x) = U₁(x) + U₂(x) + … + U_n(x) +… (2)

n=1

и предельная функция V(x) последовательности {V_n(x)} ограничены на множестве {x}, то найдутся постоянные М₁ и М₂ такие, что для всех х из множества {x}

| S(x) | ≤ M₁ | V(x) | ≤ M₂ (6)

Из неравенств (5) и из равномерной на множестве {x} сходимости последовательностей {S_n(x)} и {V_n(x)} к предельным функциям S(x) и V(x) соответственно вытекает существование такого номера N₁, что для всех точек х множества {x} и всех номеров n, удовлетворяющих условию n ≥ N₁, будут справедливы неравенства

| S_n(x) | ≤ M₁ + 1 | V_n(x) | ≤ M₂ +1 (7)

Далее, из равномерной на множестве {x} сходимости функциональных рядов

(2) и

∞

∑ [ V_k+1(x) – V_k(x) ] (7’)

k=1

и из критерия Коши равномерной сходимости вытекает, что для произвольного ε > 0 найдутся номера N₂(ε) и N₃(ε) такие, что неравенство

| S_n+p(x) – S_n(x) | < ___ε____ (8)

3(M₂+1)

Будет справедливо для точек х множества {x} всех натуральных р и всех номеров n, удовлетворяющих условию n ≥ N₂(ε), а неравенство

_n+p-1

∑ | Vk+1(x) – Vk(x) | < ___ε____ (9)

^k=n+1 3(M₂+1)

для всех точек х множества {x}, всех натуральных р и всех номеров n, удовлетворяющих условию n ≥ N₃(ε).

Наконец, из тождества

_n+p-1

V_n+p(x) – V_n(x) = ∑ [ Vk+1(x) – Vk(x) ]

^k=n+1

из вытекающего из него неравенства

_n+p-1

| V_n+p(x) – V_n(x) | ≤ ∑ [ Vk+1(x) – Vk(x) ]

^k=n+1

и из неравенства (9) получаем

| V_n+p(x) – V_n(x) | < ___ε____ (10)

3(M₂+1)

для всех точек х множества {x}, всех натуральных р и всех номеров n, удовлетворяющих условию n ≥ N₃(ε).

Обозначим через N(ε) наибольший из трёх номеров N₁, N₂(ε), N₃(ε). Тогда при n ≥ N(ε) для всех точек х множества {x}, всех натуральных р будет справедливо каждое из четырёх неравенств (7) – (10).

Из этих неравенств и из (5’) вытекает, что

_n+p

∑ | U_k(x)V_k(x) | < ε

^k=n+1

при всех n ≥ N(ε), всех натуральных р и для всех точек х множества {x}. В силу критерия Коши ряд (1) сходится равномерно на множестве {x}. Теорема доказана.

Признак Абеля-Дирихле

Если функциональный ряд (2) обладает равномерно ограниченной на множестве {x} последовательностью частичных сумм, а функциональная последовательность {V_n(x)} не возрастает в каждой точке множества {x} и равномерно на этом сходится к нулю, то функциональный ряд (1) сходится равномерно на множестве {x}.

Достаточно заметить, что невозрастающая в каждой точке множества {x} и сходящаяся равномерно на этом множестве к нулю последовательность {V_n(x)} заведомо обладает на множестве {x} равномерно ограниченным изменением, так как для неё n-я частичная сумма S_n(x) ряда (7’) равна V₁(x) – V_n+1(x). Поэтому существует равномерный на множестве {x} предел

lim S_n(x) = lim [V₁(x) – V_n+1(x) ] = V₁(x)

n→ ∞ n→ ∞

Т. об интегрируемости функционального ряда

Ряд вида ∑Un(x)=F(x), где Un(x) и F(x) функции от x [a,b], можно почленно интегрировать, т.е. ∫ F(x) dx=∑ ∫ Un(x)dx, при условиях:

Un(x) – непрерывна, ∑Un(x) – сходится равномерно, по теореме о непрерывности функционального ряда, F(x) непрерывна, а если функция непрерывна, то она и интегрируема.

Покажем, что

│∫ F(x)dx - ∑ ∫ Un(x)dx│→ 0

│∫ F(x)dx - ∑ ∫ Un(x)dx│= │∫ (F(x) - ∑ Un(x))dx│ ≤

≤ ∫│F(x)- ∑ Un(x)│dx ≤ (так как интеграл – это сумма, то модуль суммы меньше или равен сумме модулей)

≤ ∫ ε₁ dx = ε₁ (b - a) < ( т. к. ряд из Un сходится равномерно, то │F(x) - ∑ Un(x)│< ε₁

при k ≥ k₀ )

< ε ( при ε₁ = ε / (b - a) )

Значит, если Un(x) – непрерывна и ряд ∑ Un(x) сходится равномерно, то его можно интегрировать.

Пусть Un(x) не обязательно непрерывна, а из условий останется только то, что ряд ∑ Un(x) сходится равномерно, тогда зададим разбиение на отрезке [a,b]:

p_i = ( {Δx_i }, { ξ_i }) i=1, 2, 3 … k, тогда интегральная сумма

Fp = ∑ F(ξ_i) Δx_i

Un,p = ∑ Un(ξ_i) Δx_i (одни и те же разбиения)

т. к. ∫ F(x)dx = ∑ ∫ Un(x)dx = lim ∫ f_n(x)dx, где f_n(x) = ∑ Ui(x).

Обозначим Ф_n,p = ∑ f_n(ξ_i) Δx_i , рассмотрим разность

│Fp - Ф_n,p│ ≤ ∑│F(ξ_i) - f_n(ξ_i)│∆x_i ≤

так как f_n→F, то можно делать оценку для любых ξ_i, т. к. │F(ξ_i) - f_n(ξ_i)│≤ ε

для любого ξ_i

≤ ε ∑ ∆x_i = ε (b - a)

Значит, Ф_n,p(x) cтремится к Fp(x), при определенном, заданном n, устремим n к ∞, то Ф_n,p(x) Fp(x), т. к. в пределе оценка зависит только от константы, и не зависит от x, поэтому нужен предельный переход при разбиении стремящемся к 0

Ф_n,p(x) → Fp(x)

↓ ↓

∑∫ Un(x)dx ∫ F(x)dx

∑∫Un(x)dx→∫ F(x)dx

Т. о дифференцируемости функционального ряда

Пусть дан ряд ∑U_n(x) (т.е. задана последовательность f_n(x)= ∑ U_i(x), lim f_n(x)=F(x)), рассмотрим ряд ∑U_n’(x), который сходится равномерно, т. е. U_n(x) и U_n’(x) непрерывны на отрезке [a,b]. Потребуем, чтобы ряд ∑U_n(x)сходился в некоторой точке c из отрезка [a,b], тогда исходный ряд сходится равномерно на отрезке [a,b] и справедливо соотношение

(∑ U_n(x))’=∑ U_n’(x) (т.е. lim f_n(x)=F(x)

lim f_n’(x)=F’(x))

Пусть Φ(x)= ∑ U_n’(x), т. к. производные непрерывны, а ряд сходится равномерно, то Ф – непрерывна, кроме того x,c принадлежат [a,b]. Значит

∫ Ф(x) определен на отрезке [a,b], т. к. на этом отрезке все условия для интегрируемости выполняются.

∫ Ф(x)dx = ∑ ∫ U_n’(x)dx = ∑(U_n(x)-U_n(c)) (по свойствам определенного интеграла),

причем сумма ∫ Ф(x)dx сходится, по доказанному, а если сходится вся сумма, то и отдельное слагаемое должно сходится, значит ряд ∑U_n(x) сходится при любом x

∫ Ф(x)dx = ∑ U_n(x) - ∑ U_n(c) ∑ U_n(x)=F(x)

∫ Ф(x)dx = F(x) – F(c)

∫ Ф(x)dx – интегрируема по свойствам переменного интеграла, а значит F(x)-диффренцируема

(∫ Ф(x)dx)’ = F’(x)

Ф(x) = F’(x) => ∑ U_n’(x) = ( ∑ U_n(x) )’

докажем, что ряд ∑ U_n(x) сходится равномерно:

∑U_n(x) = ∑ ∫ U_n’(x)dx + ∑ U_n(c), где U_n(c) – это константа, а значит и ряд из них тоже константа, а ряд ∑ ∫ U_n’(x)dx сходится равномерно, значит и ряд ∑U_n(x) сходится равномерно.

3.4Теорема Дини

Если ряд ∑ U_n(x)=F(x) сходится на промежутке [a,b], U_n(x)≥0, тогда ряд ∑U_n(x) сходится равномерно

Так как ряд ∑ U_n(x) сходится, то его остаток r_n(x) равномерно стремится к 0, тогда последовательность частичных сумм f_n(x) = ∑U_i(x) не убывает, т. к. U_n(x) ≥ 0, а r_n(x) убывает и больше либо равно 0, то r_n(x)=F(x)-f_n(x).

Предположим, что равномерная сходимость не выполняется, тогда

(₀>0) (n₀, n  n₀) (  x_n: r_n(x_n)>₀), т.к. r_n0, то можно отбросить знак модуля, т. е. r_n(x_n) >₀. Будем задавать n = 1, 2, 3 . . . , получим последовательность {xn}, т.к. x₀  [a,b], то {x_n} ограничена, значит существует сходящаяся подпоследовательность, которая сходится к некоторой точке x₀

 {x_nk}  x₀  [a,b]

rn(x_nk) > ₀

Возьмем произвольное r_m(x), т.к. rn не возрастает, то существует такой номер nk, что при всех номерах  этого выполняется неравенство r_m  r_nk x, тогда

rm(x_nk)  r_nk(x_nk)  ₀

т.к. r_n(x) – непрерывна и r_n(x)=F(x) – f_n(x), где F(x) и f_n(x) непрерывны, значит можно переходить к пределу

lim r_n(x_nk)  0  r_m(x)  ₀

Отсюда следует, что для произвольного остатка существует такое ₀, что в некоторой точке любой остаток > ₀  противоречие, т.к. по условию ряд сходится, т.е. остаток ряда в любой точке  0, т.е. остаток должен быть < , а мы получили точку, где нет сходимости, значит ряд  U_n(x) сходится равномерно.

3.8 Степенные ряды. Область сходимости степенных рядов

Ряд вида  c_n( x-x₀ )ⁿ = F( x-x₀ ) называется степенным, где c_n последовательность чисел, x – переменная, x₀ – некоторая точка.

Этот ряд можно рассматривать как функцию F(x-x₀) от одной переменной. Чтобы изучить  c_n( x-x₀ )ⁿ можно изучить  c_nxⁿ, этот ряд хотя бы в одной точке сходится.

Теорема Абеля

Пусть дан ряд  c_nxⁿ и он сходится в точке x_0, тогда для любых x, таких что, x<x₀ ряд сходится абсолютно.

Необходимый признак сходимости числовых рядов выполняется c_nx₀ⁿ0 

 c_nx₀ⁿ – ограничена, т.е

 точка M, такая что  c_nx₀  ⁿ < M 

  c_nx ⁿ= c_nx₀ ⁿ *x/x₀ⁿ < M*x/x₀ⁿ

по условию x/x₀ < 1, т.к. x< x₀, а ряд x/ x₀ⁿ – бесконечно убывающая прогрессия, значит x/x₀ⁿ – сходится, а это в свою очередь означает по признаку сравнения, что и c_nxⁿ сходится абсолютно

Следствие

если в некоторой точке x₀ ряд c_nxⁿ – расходится, то для любых x, таких что x>x₀ ряд тоже расходится

Методом от противного:

Пусть задано x1 так, что x1>x₀, но ряд c_nxⁿ сходится, но тогда в точке x₀ ряд сходится по теореме  противоречие  следствие доказано

Область сходимости степенных рядов

Областью сходимости степенного ряда называют такой промежуток, на котором сходится этот ряд он равен (-R, R), причем ( – ∞, R )( R, + ∞) – область расходимости, где R – радиус сходимости степенного ряда

3.9 Признак Коши-Адамара и радиус сходимости

П усть задан ряд c_n, рассмотрим корень ⁿ c_n, если он <1, то ряд сходится, если > 1, то – расходится, но lim n cn не всегда существует, но зато всегда существует lim ⁿ c_n = q, q<1, то ряд сходится q>1, ряд расходится.

l im ⁿ c_n = lim ( sup { ^k c_k })

s up при n  ∞ и kn уменьшается

( >0) (n0: nn0) q– < sup { ^k c_k } < q+

если q<1, то q+ можно сделать <1  k ^k c_k < q+ <1  выполняется условие признака Коши

е сли q>1, то q– >1  1 < q– <sup { ^k c_k }  всегда существуют такие k, что ^k c_k > q– >1  ck > (q–)k >1  ck не стремится к 0  не выполняется необходимый признак. Теорема доказана

рассмотрим ряд  c_nxⁿ, применим признак Коши-Адамара

ⁿ c_nxⁿ  = x*ⁿc_n

lim ⁿ c_nxⁿ  = x*lim ⁿc_n = x*q <1, сходимость будет при всех x:

x<1/q = R – радиус сходимости степенного ряда

R=1/(lim ⁿc_n)

q=0 содится при любом х  R = ∞

q=∞  sup { ^k c_k } >An > на перед заданного числа  R=0

По признаку Дадамбера  c_nxⁿ

lim c_n+1xⁿ⁺¹/c_nxⁿ = x* lim c_n+1/c_n = x*q < 1

x<1/q = R  R = limc_n/c_n+1

3.10

Равномерная сходимость степенного ряда. Следствие (о непрерывности).

Ограничимся рассмотрением степенных рядов вида

_∞

∑a_nxⁿ = a₀+a₁x+ a₂x²+…+a_nxⁿ+…, (1)

ⁿ⁼⁰

так как ряды более общего вида

_∞

∑a_n(x-x₀)ⁿ = a₀+a₁(x-x₀)+ a₂(x-x₀)²+…+a_n(x-x₀)ⁿ+…, (1*)

ⁿ⁼⁰

непосредственно приводятся к виду (1*) простой заменой переменной.