3.3 Признаки равномерной сходимости Абеля и Дирихле

Теорема 1(первый признак Абеля ) :

Если функциональный ряд

∞

∑ U_n(x)

n=1

обладает равномерной ограниченностью на множестве {x} последовательностью частичных сумм, а функциональная последовательность {V_n(x)} обладает равномерно ограниченным на множестве {x} изменением и имеет предельную функцию, тождественно равную нулю, то функциональный ряд

∞

∑ [U_n(x)V_n(x)] (1)

n=1

сходится равномерно на множестве {x}.

Доказательство

По условию существует число М > 0 такое, что последовательность S_n(x) частичных сумм ряда

∞

∑ U_n(x) = U₁(x) + U₂(x) + … + U_n(x) +… (2)

n=1

для всех номеров n и всех точек х из множества {x} удовлетворяет неравенству

| S_n(x) | ≤ M

Фиксируем произвольное ε > 0 и по нему номер N такой, что для всех n, превосходящих N, всех натуральных р и всех точек х множества {x} справедливы неравенства

| V_n(x) | < __ε___ (3)

3M

_n+p-1

∑ | V_k+1(x) – V_k(x) | < _ ε__ (4)

^k=n+1 3M

В силу тождества Абеля и в силу того, что модуль суммы трёх величин не превосходит сумму их модулей, имеем

_{n+p n+p}

| ∑ [U_n(x)V_n(x)] | ≤ | ∑ S_k(x)[V_k(x) – V_k+1(x)] | + | S_n+p(x)| | V_n+p(x) | +

^{k=n+1 k=n+1}

+ | S_n(x)| | V_n+1(x) |

Учитывая, что для всех номеров n и всех х из {x} справедливо неравенство | S_n(x) | ≤ M, получим

_{n+p n+p-1}

| ∑ [U_n(x)V_n(x)] | ≤ M ∑ | V_k(x) – V_k+1(x) | + M | V_n+p(x) | + M | V_n+1(x) |

^{k=n+1 k=n+1}

Сопоставление последнего неравенства с (2) и (3), позволяет записать неравенство

_n+p

| ∑ [U_k(x)V_k(x)] | < ε

^k=n+1

справедливое для всех номеров n, превосходящих N, всех натуральных р и всех точек х множества {x}, а это и означает, что ряд (1) сходится равномерно на множестве {x}. Теорема доказана.

Теорема 2(второй признак Абеля)

Если функциональный ряд

∞

∑ U_n(x) = U₁(x) + U₂(x) + … + U_n(x) +… (2)

n=1

сходится равномерно на множестве {x} к сумме S(x), ограниченной на этом множестве, а функциональная последовательность {V_n(x)} обладает равномерно ограниченным на множестве {x} изменением и имеет ограниченную на этом множестве предельную функцию V(x), то функциональный ряд (1) сходится равномерно на множестве {x}.