4. Критерий Коши.

Теорема 1. Для того чтобы функциональная последовательность {f_n(x)} равномерно на множестве {x} сходилась к некоторой предельной функции, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашёлся номер N(ε) такой, что

| f_n+p(x) – f_n(x) | < ε. (1.7)

для всех n ≥ N(ε), всех натуральных р (р = 1, 2, … ) и всех х из множества {x}.

Теорема 2. Для того, чтобы функциональный ряд

∞

∑ U_k (x) (1.8)

k=1

равномерно на множестве {x} сходился к некоторой сумме, необходимо и достаточно, чтобы для любого ε > 0 нашёлся номер N(ε) такой, что

_n+p

∑ U_k (x) < ε (1.9)

^k=n+1

для всех n ≥ N(ε), всех натуральных р и всех х из множества {x}.

Теорема 1.2 является следствием теоремы 1.1: достаточно заметить, что в левой части неравенства (1.9) под знаком модуля стоит разность S_n+p(x) - S_n(x) частичных сумм ряда (1.8).

Доказательство теоремы 1.1.

1) Необходимость.

Пусть последовательность {f_n(x)} сходится равномерно на множестве {x} к некоторой предельной функции f(x). Фиксируем произвольное ε > 0. Для положительного числа ε/2 найдётся номер N такой, что для всех n ≥ N и сразу для всех х из множества {x}

| f_n(x) – f(x) | < ε/2. (1.10)

Если р – любое натуральное число, то для n ≥ N и для всех х из множества {x} тем более справедливо неравенство

| f_n+p(x) – f(x) | < ε/2. (1.11)

Поскольку модуль суммы не превосходит суммы модулей, то в силу (1.10) и (1.11) получим

| f_n+p(x) – f_n(x) | ≡ | [f_n+p(x) – f(x)] + [f(x) – f_n(x)] | ≤ |f_n+p(x) – f(x)| + |f(x) – f_n(x)| < ε

(для всех n ≥ N, всех натуральных р и всех х из множества {x} ).

Необходимость доказана

2) Достаточность.

Из неравенства (1.7) и из критерия Коши для числовой последовательности вытекает сходимость последовательности {f_n(x)} при любом фиксированном х из множества {x} и существование предельной функции f(x).

Так как неравенство (1.7) справедливо для любого натурального р, то, осуществив в этом неравенстве предельный переход при р → ∞, получим, что для всех n ≥ N и всех х из множества {x} справедливо неравенство

|f(x) – f_n(x)| < ε

В силу произвольности ε > 0 достаточность доказана.

Простейшие свойства равномерно сходящихся последовательностей

Если последовательность f_n сходится равномерно на некотором множестве, то она сходится поточечно

f_n → f₀ на Х = f_n (х) → f₀ при любых х € X

2. Если две последовательности {f_n}и {g_n} сходятся равномерно к функциям f₀ и g₀ соответственно, то любая линейная комбинация {α f_n + βg_n },α € С и β € С, данных последовательностей также равномерно на этом множестве сходится к такой же линейной комбинации предельных функций αf₀ ± βg₀ :

(α f_n ± βg_n ) → αf₀ ± βg₀

Доказательство:

Так как по условию последовательность {f_n} сходится равномерно к функции {f₀} на некотором множестве {x}, то для любого ε₁ > 0 существует номер n₀’ такой, что для любого n ≥ n₀’ , выполняется неравенство:

| f_n(x) – f(x₀) | < ε₁

при любых х из множества {x}.

Так как по условию последовательность {g_n} сходится равномерно к функции {g₀} на некотором множестве {x}, то для любого ε₂ > 0 существует номер n₀’’ такой, что для любого n ≥ n₀’’ , выполняется неравенство:

| g_n(x) – g(x₀) | < ε₂

при любых х из множества {x}.

Зафиксируем произвольное ε > 0. В силу предыдущих условий существует такой номер n₀ такой, что для любого n ≥ n₀ , выполняется:

ε_{1 = ___}ε____

| α | + | β |

ε_{2 = ___}ε____

| α | + | β |

а потому и неравенство

| [αf_n(x) + βg_n(x)] - [αf(x₀) + βg(x₀)] | ≤ | α | | f_n(x) – f(x₀) | + | β | | g_n(x) – g(x₀) | <

< | α | _{___}ε____ + | β | _{___}ε____ = ε

| α | + | β | | α | + | β |

Согласно определению равномерной сходимости это и означает, что

(α f_n ± βg_n ) → αf₀ ± βg₀

3. Если последовательность {f_n} равномерно сходится на множестве Х к функции f, а функция g ограничена на этом множестве, то последовательность {gf_n} также равномерно сходится на Х к функции gf.

Доказательство:

Ограниченность функции g на множестве Х означает, что существует такое М > 0, что для всех х принадлежащих Х выполняется неравенство | g(x) | ≤ M. В силу же равномерной сходимости на множестве Х последовательности {f_n} к функции f существуют такой номер n₀, что для всех n ≥ n₀ и всех х принадлежащих Х выполняется неравенство:

| f_n – f(x) | < ε ,

M

а потому и неравенство

| g(x)f_n(x) - g(x)f(x) | = | g(x) | | f_n(x) - f(x) | < ε .

Это и означает, что последовательность {gf_n} равномерно сходится на Х к функции gf.