- •5.Разложение на простые дроби. Pn(X)/Qm(X)
- •6.Метод Остроградского.
- •9. Интегралы вида вычисляются при помощи подстановок Эйлера.
- •Окончательно.
- •10.Интегралы вида :
- •11.Рассмотрим функцию f(X), определенную в каждой точке сегмента [a,b].
- •13. Интегрируемость непрерывной функции или кусочно-непрерывной.
- •14. Линейность определённого интеграла.
- •Для того чтобы доказать это равенство сформулируем и докажем лемму:
- •Теорема
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Следствие 3
- •Следствие доказано
- •Следствие доказано
- •Рассмотрим интегральную сумму
- •16. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям, замена переменных в определенном интеграле.
- •17.Формулы прямоугольников и трапеций для приближенного вычисления интегралов. Оценка погрешности.
- •20.Плоской фигурой q называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой l. При этом кривую l будем называть границей фигуры q.
- •Если рассмотрим обе формулы площадей вместе, получим
- •Площадь плоской фигуры.
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Площадь фигуры ограниченной спрямляемой прямой в параметрическом виде
- •Объем тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Необходимость
- •Достаточность
- •Замечание
- •Утверждение
- •Доказательство
- •23. Несобственные интегралы 1,2-го рода, сходимость. Сходимость интегралов вида
- •24. Признаки Абеля и Дирихле для несобственных интегралов.
- •25.Признак сходимости (Достаточное условие)
- •26.Числовой ряд. Сходимость и расходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •27. Интегральный признак Коши.
- •28. Признак сравнения для числовых рядов. Предельный признак сравнения.
- •Признак Коши.
- •31.Интегральный признак сходимости числовых рядов.
- •32.Признак Лейбница (не все)
- •33. Абсолютная и условная сходимось.
- •Теорема Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет сумму s, то ряд (3) также сходится абсолютно и имеет ту же самую сумму.
- •1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
- •2.Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве.
- •3. Понятие равномерной сходимости на множестве.
- •4. Критерий Коши.
- •Доказательство теоремы 1.1.
- •1) Необходимость.
- •2) Достаточность.
- •3.2 Признак Вейерштрасса.
- •Доказательство:
- •3.3 Признаки равномерной сходимости Абеля и Дирихле
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Утверждение
- •Теорема Абеля
- •Аналитическая функция (единственность). Ряд Тэйлора.
- •Утверждение
2.Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве.
Предположим, что функциональная последовательность (или ряд) определены на множестве {x}. Фиксируем произвольную точку x0 из множества {x} и рассмотрим все члены последовательности (или рядя) в точке x0 . При это получим числовую последовательность (или ряд).
Если указанная числовая последовательность (или ряд) сходится, то говорят, что функциональная последовательность (или ряд) сходится в точке x0.
Множество всех точек x0, в которых сходится данная функциональная последовательность (или ряд) , называется областью сходимости этой последовательности (или ряда).
В различных конкретных случаях область сходимости может либо совпадать с областью определения, либо составлять часть области определения, либо вообще являться пустым множеством.
Предположим, что функциональная последовательность {fn(x)} имеет в качестве сходимости множество {x}. Совокупность пределов, взятых для всех значений x из множества {x}, образует вполне определённую функцию f(x), также заданную на множестве {x}.
Эту функцию называют предельной функцией последовательности {fn(x)}.
Если функциональный ряд (1.1) сходится на некотором множестве {x}, то на этом множестве определена функция S(x), являющаяся предельной функцией последовательности его частичных сумм и называется суммой этого ряда.
Последовательность (1.3) из рассмотренного выше примера 1 сходится на всём сегменте 0 ≤ x ≤ 1.
fn(0)=1 для всех номеров n, т.е в точке x=0 последовательность (1.3) сходится к единице.
Если же фиксировать любое x из полученного сегмента 0 < x ≤ 1, то все fn(x), начиная с некоторого номера (зависящего, конечно, от x), будут равны нулю. Стало быть, в любой точке x полусегмента 0 < x ≤ 1 последовательность (1.3) сходится к нулю.
Последовательность (1.3) сходится на всём сегменте 0 ≤ x ≤ 1 к предельной функции f(x), имеющей вид
1 при x = 0
f(x) =
0 при 0 < x ≤ 1.
Эта функция не является непрерывной на сегменте 0 ≤ x ≤ 1 (она разрывна в точке x = 0).
3. Понятие равномерной сходимости на множестве.
Предположим, что последовательность
f1(x), f2(x), …, fn(x), … (1.5)
сходится на множестве {x} к предельной функции f(x).
Определение 1. Будем говорить, что последовательность (1.5) сходится к функции f(x) равномерно на множестве {x}, если для любого ε > 0 можно указать такой номер N(ε), при n ≥ N(ε) для всех x из множества {x} справедливо неравенство *)
| fn(x) – f(x) | < ε. (1.6)
Замечание 1. Номер N зависит только от ε и не зависит от х. Таким образом, для любого ε > 0 найдётся универсальный номер N(ε), начиная с которого неравенство (1.6) справедливо сразу для всех х из множества {x}.
Замечание 2. Из сходимости последовательности {fn(x)} на множестве {x} вовсе не вытекает равномерная сходимость её на этом множестве. Так, последовательность (1.3) из рассмотренного выше примера 1 сходится на всём сегменте [0,1] (это установлено выше).
Докажем, что эта последовательность не сходится равномерно на сегменте [0,1]. Рассмотрим последовательность точек хn=1/2n (n=1,2…), принадлежащих сегменту [0,1]. В каждой из этих точек (т.е. для каждого номера n) справедливы соотношения fn(xn)=1/2, f(xn)=0. Таким образом, ля любого номера n
| fn(xn) - f(xn) | = 1/2,
т. е. при ε ≤ 1/2 неравенству (1.6) нельзя удовлетворить сразу для всех точек х из сегмента [0,1] ни при каком номере n.
Замечание 3. Равномерная на множестве {x} сходимость функциональной последовательности {fn(x)} к функции f(x) эквивалентна сходимости числовой последовательности {εn}, члены εn которой представляют собой точные верхние грани функции | fn(x) - f(x) | на множестве {x}.
Замечание 4. Из определения 1 непосредственно вытекает, что если последовательность {fn(x)} равномерно сходится к f(x) на всём множестве {x}, то {fn(x)} равномерно сходится к f(x) и на любой части множества {x}.
Приведём теперь пример функциональной последовательности, равномерно сходящейся на некотором множестве {x}. Рассмотрим последовательность (1.3), но не на всём сегменте [0,1], а на сегменте [∂,1], где ∂ - фиксированное число из интервала 0 < ∂ < 1. Для любого такого ∂ найдётся номер, начиная с которого все элементы fn(x) равны нулю на сегменте [∂,1]. Так как предельная функция f(x) также равна нулю на сегменте [∂,1], то на всём этом сегменте неравенство (1.6) будет справедливо для любого ε > 0, начиная с указанного номера. Это доказывает равномерную сходимость последовательности (1.3) на сегменте [∂,1].
Определение 2. Функциональный ряд называется равномерно сходящимся на множестве {x} к своей сумме S(x), если последовательность {Sn(x)} его частичных сумм сходится равномерно на множестве {x} к предельной функции S(x).