33. Абсолютная и условная сходимось.

Ряд k<=бесконечность) u_k (1) называется абсолютно сходящимся, если сходится ряд k<=бесконечность) |u_k| (2).

Теорема: Из сходимости ряда (2) вытекает сходимость ряда (1).

Док-во: воспользуемся критерием Коши для ряда. Докажем, что для любого е>0 найдется номер N такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n>=N, и для любого натурального p

| n +p |

| u_k | < e (3)

| k=n+1 |

Фиксируем любое е>0. Так как ряд (2) сходится, то, в силу критерия Коши, найдется номер N такой, что для всех номеров n, удовлетворяющих условию n>=N, и для любого натурального p

n +p

u_k | < e (4)

k=n+1

Т. к. модуль суммы нескольких слагаемых не превосходит суммы их модулей, можно записать:

| n +p | n +p

| u_k | = < u_k | (5)

| k=n+1 | k=n+1

Сопоставляя неравенства (4) и (5), получим неравенство (3). Теорема доказана.

Замечание: Обратное утверждение неверно, т. е. Существуют сходящиеся ряды не сходящиеся абсолютно. Например, ряд 1- ½ + 1/3 –1/4 +… сходится по признаку Лейбница, но ряд, состоящий из абсолютных величин, расходится.

Ряд (1) называется условно сходящимся, если этот ряд сходится, в то время как соответствующий ряд из модулей (2) расходится.

Пусть дан ряд u_n с произвольными по знаку членами. Составим новый ряд

w_n (6), в который будут входить все члены ряда (1), но только в другом порядке.

Теорема Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет сумму s, то ряд (3) также сходится абсолютно и имеет ту же самую сумму.

Для абсолютной сходимости ряда выполняется коммутативный закон сложения, и сумма ряда не зависит от порядка его членов.

Док-во:

Пусть ряд (1) сходится абсолютно, тогда сходится ряд (2)  |u_k| = S. По условию теоремы для любого n справедливо неравенство: |w₁| + |w₂| + …+ |w_n|=< |u₁| + |u₂| + …+ |u_n|, т. к. все слагаемые левой части содержаться в правой части только в ином порядке, частичные суммы ряда (6) образуют монотонно возрастающую ограниченную последовательность (сверху), значит эта последовательность сходится, т. е. ряд (6) сходится абсолютно. Чтобы доказать, что суммы рядов (1) и (6) одинаковы, зададим произвольное е>0 и зафиксируем настолько большое натуральное число N, что выполняется условие: |u_N+1|+…+ |u_N+P|<e (*). Это возможно в силу абсолютной сходимости ряда (1). Члены ряда (1) с номерами u₁,u₂,…,u_N занимают определенные места. Обозначим наибольшее из номеров этих мест через N_max(N_max>=N). Тогда при

n> N_max рассмотрим разность q_n=(u₁ + u₂ + …+ u_n ) – (w₁ + w₂ + …+ w_n ). Члены ряда (1) от u₁ до u_n уничтожатся и останутся со знаками (+) или (– ) те члены ряда (1), номера которых >N. Поэтому в силу неравенства (*) можно заключить

_{|qn |<e, n = Nmax => lim qn =0 => lim (u1 + u2 + …+ un ) = lim (w1 + w2 + …+ wn )= S.}

Перестановка слагаемых условно сходящегося ряда.

Условно сходящийся ряд не обладает переместительным свойством.

Теорема(Римана): Если ряд сходится условно, то, каково бы ни было наперед взятое число L, можно так переставить члены этого ряда, чтобы преобразованный ряд сходился к числу L.

Док-во: Пусть <=k<=бесконU_k (1) _– произвольный условно сходящийся ряд. Обозначим через p₁, p₂,p_3,… положительные члены ряда, выписанные в таком порядке, в каком они стоят в этом ряде, а через q₁,q₂,q₃,… модули отрицательных членов ряда, выписанные в таком порядке, в каком они стоят в этом ряде. Ряд (1) содержит бесконечное число как положительных, так и отрицательных членов, итак, срядом связаны два бесконечных ряда с положительными членами <=k<=бесконp_k и <=k<=бесконq_k. Будем обозначать первый из этих рядов символом P, а второй – символом Q. Докажем, что оба ряда P и Q являются расходящимися. Обозачим символом S_n n-ю частичную сумму ряда (1), символом P_n – сумму всех положительных членов, входящих в S_n , символом Q_n сумму модулей всех отрицательных членов, входящих в S_n

Тогда очевидно, S_n= P_n - Q_n ,и так как по условию ряд (1) сходится к некоторому числу S, то

(2)lim(P_n - Q_n ) =S при n->бескон. С другой сторомы так как ряд не сходится абсолютно, то

(3) lim(P_n + Q_n ) =бескон. при n->бескон. Сопоставляя (2) и (3) получим lim P_n =бескон

_{при n->бескон., lim Qn =бескон при n->бескон., т.е. доказано, что оба ряда P и Q расходятся. Из расходимости рядов P и Q вытекает, что даже после удаления любого конечного числа первых членов этих рядов, мы можем взять из оставшихся членов рядов P и Q столь большое число членов, что их сумма превзойдет любое наперед заданное число. Опираясь на этот факт, докажем, что можно так переставить члены исходного ряда (1), что в результате получится ряд, сходящийся к наперед взятому числу L. В самом деле, мы получим требуемый ряд следующим образом. Сначала выберем из исходного ряда (1) ровно столько положительных членов p1, p2,p3,… ,pk1 , чтобы их сумма p1,+p2+…+ pk1 превзошла L. Затем добавим к выбранным членам ровно столько отрицательных членов -q1,-q2,-q3,… -qk2, чтобы общая сумма p1,+p2+…+ pk1-q1-q2… -qk2 оказалась меньше L. Затем снова добавим ровно столько положительных членов pk1+1 , pk1+2 ,…, pk3 , чтобы общая сумма p1,+p2+…+ pk1-q1-q2… -qk2 + pk1+1 +…+pk3 оказалась больше L. Продолжая аналогичные рассуждения далее, мы получим бесконечный ряд, в состав которого войдут все члены исходного ряда (1), ибо каждый раз нам придется добавлять хотя бы один положительный или отрицательный член исходного ряда. Остается доказать, что исходный ряд сходится к L. Заметим, что в полученном ряде последовательно чередуются группы положительных и группы отрицательных членов. Если частичная сумма полученного ряда заканчивается полностью завершенной группой, то отклонение этой частичной суммы от числа L не превосходит модуля последнего его члена. Если же частичная сумма заканчивается не полностью завершенной группой, то отклонение этой частичной суммы от числа L не превосходит модуля последнего члена предпоследней из групп. Для установления сходимости ряда ряда к L достаточно убедиться в том, что модули последних членов групп образуют бесконечно малую последовательность, а это непосредственно вытекает из необходимого условия сходимости исходного ряда (1). Т. Доказана.}

Преобразование Абеля. Признаки сходимости Абеля и Дирихле для числовых рядов.

Пусть u₁ , u₂, u₃ ,…,v₁, v₂, v₃, … - совершенно произвольные числа, S_n= u₁ + u₂ + …+ u_n , n и p – любые номера. Тогда справедливо следующее тождество Абеля:

n +p n +p-1

u_k v_k = S_k (v_k - v_k+1) + S_n+p v_n+p – S_n-1 v_n (1)_.

k=n k=n

Вывод тождества Абеля. Учтем, что u_k = S_k – S_k-1, поставим это значение u_k в левую часть (1). Получим

n +p n +p n +p

u_k v_k = S_k v_k –  S_{k -1}v_k.

k=n k=n k=n

В последней сумме уменьшим на единицу индекс суммирования k. Получим

n +p n +p n +p-1 n +p-1 n+p-1

u_k v_k = S_k v_k –  S_k v_k+1 = S_k v_k + S_n+pv_n+p –  S_k v_k+1 - S_n-1 v_n

k=n k=n k=n-1 k=n k=n

n+p-1

= S_k (v_k - v_k+1) + S_n+p v_n+p – S_n-1 v_n

k=n

Признак Дирихле – Абеля.

Пусть дан ряд  u_k v_k (2) . Этот ряд сходится, если выполнены следующие два условия:

Последовательность {v_k} является невозрастающей и бесконечно малой;

2. ряд u_k имеет ограниченную последовательность частичных сумм.

Док-во.

Обозначим S_n n–ю частичную сумму ряда u_k. По условию существует такое число M>0, что |S_n|<= M для всех номеров n. В силу критерия Коши достаточно доказать, что для любого e>0 найдется номер N такой, что при n>=N и для любого натурального р

| n +p |

| u_k v_k | <e. (3)

| k=n |

Пусть данолюбое e>0. Т. к. последовательность {v_k} является бесконечно малой и не возрастает, то для положительного числа e/2M найдется номер N такой, что

0<= v_n < e/2M ( при n>=N). (4)

Применим теперь для оценки величины, стоящей в левой части (3), тождество Абеля (1). Учитывая, что модуль суммы нескольких величин не превосходит суммы их модулей, модуль произведения равен произведению модулей и что v_k>=v_k+1, получим

| n +p | n+p-1

| u_k v_k | <= S_k| (v_k – v_k+1) + |S_n+p| v_n+p + |S_n-1| v_n . (5)

| k=n | k=n

В правой части (5) воспользуемся неравенством |S_n| <= M, справедливым для всех номеров n. Получим

| n +p | n+p-1

| u_k v_k | <= M  (v_k – v_k+1) + v_n+p + M v_n . (6)

| k=n | k=n

Далее, заметим, что сумма, стоящая в фигурных скобках, точно равна v_{n .} В таком случае неравенство (6) принимает вид

| n +p |

| u_k v_k | <= 2 M v_n . (7)

| k=n |

Теперь, если в правой части (7) воспользоваться неравенством (4), получим, что при n>= N и для любого натурального р справедливо неравенство (3). Теорема доказана.Преобразование Абеля. Признаки сходимости Абеля и Дирихле для числовых рядов.

Пусть u₁ , u₂, u₃ ,…,v₁, v₂, v₃, … - совершенно произвольные числа, S_n= u₁ + u₂ + …+ u_n , n и p – любые номера. Тогда справедливо следующее тождество Абеля:

n +p n +p-1

u_k v_k = S_k (v_k - v_k+1) + S_n+p v_n+p – S_n-1 v_n (1)_.

k=n k=n

Вывод тождества Абеля. Учтем, что u_k = S_k – S_k-1, поставим это значение u_k в левую часть (1). Получим

n +p n +p n +p

u_k v_k = S_k v_k –  S_{k -1}v_k.

k=n k=n k=n

В последней сумме уменьшим на единицу индекс суммирования k. Получим

n +p n +p n +p-1 n +p-1 n+p-1

u_k v_k = S_k v_k –  S_k v_k+1 = S_k v_k + S_n+pv_n+p –  S_k v_k+1 - S_n-1 v_n

k=n k=n k=n-1 k=n k=n

n+p-1

= S_k (v_k - v_k+1) + S_n+p v_n+p – S_n-1 v_n

k=n

Признак Дирихле – Абеля.

Пусть дан ряд  u_k v_k (2) . Этот ряд сходится, если выполнены следующие два условия:

Последовательность {v_k} является невозрастающей и бесконечно малой;

2. ряд u_k имеет ограниченную последовательность частичных сумм.

Док-во.

Обозначим S_n n–ю частичную сумму ряда u_k. По условию существует такое число M>0, что |S_n|<= M для всех номеров n. В силу критерия Коши достаточно доказать, что для любого e>0 найдется номер N такой, что при n>=N и для любого натурального р

| n +p |

| u_k v_k | <e. (3)

| k=n |

Пусть данолюбое e>0. Т. к. последовательность {v_k} является бесконечно малой и не возрастает, то для положительного числа e/2M найдется номер N такой, что

0<= v_n < e/2M ( при n>=N). (4)

Применим теперь для оценки величины, стоящей в левой части (3), тождество Абеля (1). Учитывая, что модуль суммы нескольких величин не превосходит суммы их модулей, модуль произведения равен произведению модулей и что v_k>=v_k+1, получим

| n +p | n+p-1

| u_k v_k | <= S_k| (v_k – v_k+1) + |S_n+p| v_n+p + |S_n-1| v_n . (5)

| k=n | k=n

В правой части (5) воспользуемся неравенством |S_n| <= M, справедливым для всех номеров n. Получим

| n +p | n+p-1

| u_k v_k | <= M  (v_k – v_k+1) + v_n+p + M v_n . (6)

| k=n | k=n

Далее, заметим, что сумма, стоящая в фигурных скобках, точно равна v_{n .} В таком случае неравенство (6) принимает вид

| n +p |

| u_k v_k | <= 2 M v_n . (7)

| k=n |

_{Теперь, если в правой части (7) воспользоваться неравенством (4), получим, что при n>= N и для любого натурального р справедливо неравенство (3). Теорема доказана.}