Признак Коши.

Теорема.

1. Если для всех номеров n, по крайней мере начиная с некоторого номера, справедливо нер-во

[n]√ a_nq<1 {[n]√ a_n1}, (*), то ряд [1;∞] ∑a_n сх-ся {расх-ся}.

2. Если существует предел

[n->∞]lim [n]√ a_n= L, то ряд [1;∞]∑ a_n сх-ся при L<1 и расх-ся при L>1.

Теорему 2 обычно называют признаком Коши в предельной форме.

Док-во:

1. Для док-ва теоремы 1 положим a`<sub>n</sub> = q<sup>n</sup> { a`_n = 1}.

Тогда из нер-ва (*) получим a_n a`<sub>n</sub> { a<sub>n</sub> a`_n }. (**)

Т.к. ряд [1;∞]∑ a`_n совпадающий с рядом

[1;∞]∑ qⁿ = q + q² + ... + qⁿ + ..., │q│<1, сх-ся {[1;∞]∑ 1 = 1 + 1 +...+ 1 +... расх-ся}, то, на основании первого признака сравнения, нер-во (**) гарантирует сх-ть {расх-ть} ряда [1;∞]∑ a_n .

2. Докажем теперь теорему 2. Если L<1, то найдется положительное число ε такое, что L = 1 – 2ε, т.е. L + ε = 1 – ε. По определению предела последовательности для указанного ε найдется номер N такой, что при n≥N L - ε < [n]√ a_n< L + ε = 1 – ε (***)

Число L + ε = 1 – ε играет роль q в теореме 1. Ряд сх-ся.

Если же L>1, то найдется положительное число ε такое, что L = 1+ε

и L – ε = 1. В этом случае на основании левого из нер-в (***) получим

_{[n]√ an > L – ε = 1 (при n≥N). Ряд [1;∞]∑ an расх-ся на основании теоремы 1.}

Признак Раабе.

Пусть дан ряд с неотрицательными членами, тогда:

1. Если существует такое вещественное число r>1 и такое натуральное чило n' , что для всех номeров nn' выполняется неравенство n*(u_n /u_n+1 –1)  r, то данный ряд сходится.

2. Если существует такое натуральное число n, что для всех номеров n' выполняется неравенство n*(u_n /u_n+1 –1) <1, то данный ряд расходится.

Док-во:

1. Пусть начтиная с некоторого номера n' выполняется неравенство n*(u_n /u_n+1 –1) r >1, u_n /u_n+1 1 + r /n, возьём любое вещественное число S (1<S<r) с учётом замечательных пределов и следствий из них имеет место след. предельное соотношение

lim ((1+)^S-1)/lime^S*ln(1+) –1)/{ limln(1+} =

= lim (e^{S*O()} –1)/ = {lim (e^} = lim (1+S*O S

С учётом этого результата можно записать:

lim _n ((1+ 1/n )^S-1) / 1/n = S. Для nn' будет выполняться неравенство:

((1+ 1/n )^S-1) / 1/n < r ;

(1+ 1/n )^S < 1 + r /n

u_n / u_n+1 > (1+ 1/n ) ^S = (n + 1)^S / n^s ; n^S * u_n > (n+1)^S * u _n+1

Это неравенство показывает, что при достаточно больших n произведение (n^S * u_n ) уменьшается при переходе от n к n +1 => это произведение является ограниченным при n  . Это означает, что существует такое число M>0, что выполняется неравенство:

n^S * u_n < M; u_n < M / n^S

Т. к. s>1, то ряд k) 1 / k^S (1) сходится. Покажем это. Пусть s=1+b (b>0). Справедливо неравенство:

__1__ +__1__ + +__1__ < n* _1_ = _1_ (2)

(n+1)^S (n+2)^{S …} (2n)^S n^S n^b

Рассмотрим ряд (1). В этом ряду отбросим первые 2 члена, а остальные члены ряда последовательно разобьем на группы по 2, 4, 8, …, 2 ^k-1, … членов в каждой группе. Возьмем первую группу:

1_ + 1_ __1__ +__1__ < _1_

3^S 4^S n=2 (n+1)^S (n+2)^S 2^b (в силу (2)).

След. группа: 1_ + 1_ + 1_ + 1_ __1__ +__1__ +__1__ +__1__ < _1_

5^S 6^S 7^S 8 ^S n=4 (n+1)^S (n+2)^S (n+3)^S (n+4)^S (2^b)²;

С лед. группа: 1_ +… + 1_ < _1__

9^S 16^S n=8 (2^b)³

__1___ + …+ _ 1__ <__1__ = __1__

(2^k-1+1)^S (2^k)^S n=2^k-1 (2^k-1)^b (2^b )^k-1 ;

Все эти суммы меньше соответствующих членов геом. прогрессий. Какую бы частичную сумму данного ряда мы ни взяли, она будет меньше постоянного числа, равного

S= 1+ 1 /2s + (1/2^b)/(1- 1/2^b) => ряд (1) сходится, тогда сходится и ряд k) M / k^S, а с учетом неравенства uⁿ< M / n^S, по признаку сравнения сходится и данный ряд.

2. Пусть начиная с некоторого номера n' выполняется неравенство

n*(u_n /u_n+1 –1)  1, u_n /u_n+1  1 +1/n = (n+1)/n  n*U_n  (n+1)*U_n+1. При переходе от n к n+1 произведение n*U_n не убывает, положим n’ *U_n’ = с тогда при n  n’ мы получим n*U_n c от сюда следует U_n c/n ряд k) 1/k является расходящимся тогда по признаку сравнения расходится данный ряд.

_{Следствие: Если при n (бесконечность) существует предел lim n*(un /un+1 –1)=q (тогда если q>1 то ряд сходится, если q <1 то ряд расходится).}