27. Интегральный признак Коши.

Пусть f(x) ≥0 тогда для любого x (1;+∞) f(x)-убывает, тогда -сходится, если расходится интеграл .

Док-во: т.к f(x) – монотонна => интегрируется по Риману [1;А], А<+∞ => интегрируется по Риману [k;k+1]. f(k+1)≤f(x) ≤f(k) – x принадл. [k;k+1].≤ ≤f(k)(k+1-k),k=1..n =>

≤ ≤ ≤ ≤ ≤ .

S_n+1-f(1)≤ ≤ S_n (*).

1. пусть -сходится. Перейдем к пределу, т.о. S_n –ограничена сверху по(Т1) => сходимость ряда.

2. пусть -расходится (-->+∞) тогда из (*) ≤ т.е. по опр. Т.к. {S_n} – расх, ряд расходится.

Замечание: α≤1-расх. α>1 –сходится. f(x)=1/х^α – убыв. Для люб. α>0.

Следствие: α<0 => ряд расх.

Теоремы сравнения:

1. пусть 0≤U_n ≤V_n начиная с n₀

a) =>сходится =>

б) =>расход.=>

Док-во: Не нарушая общности будем считать что n₀=1(утв.)

1)пусть =σ, = σ_n –частичная сумма, σ_n ≤ σ, 0≤U_n ≤V_n , 0≤ ≤ ≤ σ_n

S_n≤σ по Т1 ряд сх-я.

2) - расх., предположим пусть сход. По п1 теоремы => - сход. => противоречие

2) пусть и - знакоположительные ряды и , q≠0 и <+∞. Тогда ряд сходится или расходится одновременно.

Док-во: начиная с n₀ ≤q+1, U_n≤(q+1)V_n (Т.3), тогда с n₀ : ≤1/(q+1)

_{Vn≤(1+1/q)Un(Т.3).}

Теорема(критерий Коши для ряда):

Для того чтобы ряд {1;∞}∑ a_n сходился, необходимо и достаточно, чтобы для любого положительного числа ε нашёлся номер N такой, что для всех номеров n,удовлетворяющих условию n>=N, и для всех натуральных чисел p(p=1,2,3,...)

{n;n+p}│∑ a _k│ < ε.

Док-во: Для док-ва достаточно заметить, что величина, стоящая под знаком модуля, равна разности частичных сумм S_n+p-S_n .

28. Признак сравнения для числовых рядов. Предельный признак сравнения.

Теорема. Пусть даны {1;∞}∑ a_n и {1;∞}∑ b_n , пусть начиная с некоторого номера выполняется нер-во 0 a_n b_n ,тогда из сх-ти «большего» ряда b_n, следует сх-ть «меньшего» a_n , а из расх-ти «меньшего» a_n , следует расх-ть «большего» ряда b_n.

Док-во:

1. Пусть {1;∞}∑ b_n сх-ся к B, рассмотрим частичную сумму для a_n

S^a_n = {1;n}∑ a_i {1;n}∑ b_i B, S^a_n ограничена и возрастает, следовательно по теореме о пределе ограниченной последовательности ряд из a_n сх-ся.

2. Пусть {1;∞}∑ a_n расх-ся, тем не менее предположим, что {1;∞}∑ b_n сх-ся, следовательно по первому пункту {1;∞}∑ a_n тоже сх-ся, чего быть не может, т.к. по условию этот ряд расх-ся, наше предположение неверно, ряд {1;∞}∑ b_n расх-ся.

Теорема. Пусть {1;∞}∑ a_n эквивалентен {1;∞}∑ b_n , a_n 0, b_n 0, тогда числовые ряды сх-ся или расх-ся одновременно.

Док-во: Пусть {n->∞}lim(a_n/b_n) = k≠0,>0

Для любого ε >0, найдется такой номер n₀, что для любого nn₀ :

│(a_n/b_n) - k│< ε.

Рассмотрим: k – ε < (a_n/b_n) < k + ε {домножим на (b_n)}

(k – ε) b_n< (a_n) < (k + ε) b_n

1. Если {1;∞}∑ b_n сх-ся, то {1;∞}∑(k + ε) b_n тоже сх-ся, но тогда по предыдущему признаку {1;∞}∑ a_n сх-ся.

2. Если {1;∞}∑ a_n расх-ся, то по предыдущему признаку {1;∞}∑(k + ε) b_n тоже расх-ся, след. {1;∞}∑ b_n расх-ся.

Теорема. Пусть даны 2 ряда, причем (a_n+1/a_n)  ( b_n+1/b_n) для любого

nn₀, тогда, если {1;∞}∑ b_n сх-ся, то {1;∞}∑ a_n сх-ся, если {1;∞}∑ a_n расх-ся, то {1;∞}∑ b_n расх-ся.

Док-во: считаем, что нер-во выполняется с 1-ого номера:

(a₂/a₁)  ( b₂/b₁) (a₃/a₂)  ( b₃/b₂) …(a_n+1/a_n)  ( b_n+1/b_n) перемножим по св-вам неравенств получим:

(a₂/a₁)*( a₃/a₂)*...*(a_n+1/a_n)  ( b₂/b₁)*(b₃/b₂)*...*( b_n+1/b_n)

(a_n+1/a₁)  ( b_n+1/b₁) отсюда

(a_n+1 )  (b_n+1) ( a₁/b₁)

отсюда, в силу того что константа не влияет на сх-ть ряда, исследуем на сх-ть по первому признаку.

_{29-30.Признак Даламбера.}

Теорема.

1. Если для всех номеров n, по крайней мере, начиная с некоторого номера, справедливо нер-во (a_n+1/a_n)q<1 {(a_n+1/a_n)1} (*), то ряд [1;∞]∑ a_n сх-ся {расх-ся}.

2. Если существует предел [n->∞]lim (a_n+1/a_n) = L, то ряд [1;∞]∑ a_n сх-ся при L<1 и расх-ся при L1.

Теорему 2 обычно называют признаком Даламбера в предельной форме.

Док-во:

3. Для док-ва теоремы 1 положим a`<sub>n</sub> = q<sup>n</sup> {a`_n =1}. Тогда (a`<sub>n+1</sub>/a`_n) = q, где q<1 {(a_n+1/a_n) = 1}, и мы можем переписать рав-во (*) в виде (a_n+1/a_n) (a`<sub>n+1</sub>/a`_n) {(a_n+1/a_n) (a`<sub>n+1</sub>/a`_n)} (**).

Т.к. ряд [1;∞]∑ a`_n совпадающий с рядом

[1;∞]∑ qⁿ = q + q² + ... + qⁿ + ..., │q│<1, {[1;∞]∑ 1 = 1 + 1 +...+ 1 +...} сх-ся {расх-ся}, то, на основании третьего признака сравнения, нер-во (**) гарантирует сх-ть {расх-ть} ряда [1;∞] ∑ a_n

2. Докажем теперь теорему 2. Если L<1, то найдется положительное число ε такое, что L = 1 – 2ε, т.е. L + ε = 1 – ε. По определению предела последовательности для указанного ε найдется номер N такой, что при nN

L - ε < (a_n+1/a_n) < L + ε = 1 – ε (***)

Число L + ε = 1 – ε играет роль q в теореме 1. Ряд сх-ся.

Если же L>1, то найдется положительное число ε такое, что L = 1+ε

и L – ε = 1. В этом случае на основании левого из нер-в (***) получим (a_n+1/a_n)> L – ε = 1 (при nN). Ряд [1;∞]∑ a_n расх-ся на основании теоремы 1.