24. Признаки Абеля и Дирихле для несобственных интегралов.
(данные признаки используются для исследования на условную сходимость)
Г
О: Если ∫│f(x)│dx сущ-ет, сходится, то f- интегрируема абсолютно, т. е. интеграл
a
Г
∫f(x)-сходится абсолютно.
a
О: Если интеграл сходится, но не сходится абсолютно, то говорят, что он сходится условно.
Признак Абеля.
Пусть вып-ся условие второй теоремы о среднем:
ф-ии f(x) и g(x) ограничены и интегрируемы на [a;b]; g(x)-монотонна при х из (a;b),то
b c b
(1) ∫(f(x)*g(x))dx=g(a+0)∫f(x)dx+g(b-0)∫f(x)dx, где с из [a;b]
a a c
b b
Тогда ∫(f(x)*g(x))dx сходится, если ∫f(x)dx сходится и g(x) ограничена.
a a
(для док-ва необходимо обе части выражения (1) рассмотреть по модулю)
Признак Дирихле.
Пусть вып-ся условие второй теоремы о среднем (см.выше), g(x) монотонно ->0 и f(x)-огранич., т. е.
b b
∫f(x)dx- ограничен, тогда ∫(f(x)*g(x))dx сходится.
a a
(для док-ва необходимо обе части выражения (1) рассмотреть по модулю)
Понятие абсолютной
сходимости
Опр: Будем говорить что
(
,
b
– особ.тчк) абсолютно сход-ся, если
сх-ся
(
)
и условно если сам исх-й инт-л сход-ся,
а
(
)
– расходится. ■ Теорема
Если интеграл сход-ся абсол-но то он
сх-ся и в обычном смысле. Док-во: По
свойствам интег-в |
|<=
■
Замена
в несоб-м интеграле
=
если
строго
монотон-я
Док-во:
=(по
опр-ю)=
=(тк
-
непрер. и строго монт-я =>
-
непрер. и монт-я) =
=(
-
непрер-я)=
(по
св-вам предела)=
=
■.
25.Признак сходимости (Достаточное условие)
Признак Коши
- сходится
- сходится (b
– особая точка)
ДОК: => из ОПР сходимости несобственных интегралов и критерия Коши (сходимость на ∞ и в т.)
26.Числовой ряд. Сходимость и расходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости.
Рассмотрим бесконечную числовую последовательность
а1 , а2 , …, аn , … и образуем из элементов этой посл-ти выражение вида
а1 + а2 + …+ аn + …= {1;∞}∑ аn
Это выражение принято называть числовым рядом.
Сумму первых n членов данного ряда будем называть n-ой частичной суммой данного ряда и обозначать Sn.
Ряд из аn называется сходящимся, если сх-ся посл-ть { Sn} его частичных сумм. При этом lim Sn называется суммой данного ряда.
Если (n->∞)lim Sn = ∞ , то ряд называется расходящимся.
Следтвие(необходимое условие сходимости ряда):
Для сх-ти ряда {1;∞}∑ аn необходимо, чтобы посл-ть его членов являлась б.малой.
Док-во: Достаточно док-ть, что для данного сходящегося ряда и любого ε>0 найдется номер N0 такой, что при n>=N0 │an│<ε. Пусть дано любое ε>0. Согласно критерию Коши для ряда найдется такой номер N, что при n>=N и для любого натурального p выполняется неравенство {n;n+p}│∑ ak │ < ε. В частности, при p=1 │an+1│<ε (*) (при n>=N). Если теперь положить номер N0 равным N+1, то при n>=N0 в силу нер-ва (*) получим │ an│<ε, что и требовалось док-ть.
Опр1:
┘Дана числовая последовать {an}
n
прин Z.
Выражение вида a1+a2+..+an=об=(1)
и
называть числовым рядом (an-
общ. чл. ряда). Sk=
-
будем называть частичной суммой ряда.
Опр2:
Будем говорить, что ч. ряд (1) сходится
и его сумма = S,
если сходится послед-ть частичных сумм
ряда и
и расходится если не сущ-ет предел
послед-ти частич-х сумм или
■.
Пример1:
an=a1+(n-1)d
┘a1=1,
d=2,
Рассмотрим
послед-ть
частичных
сумм
{Sk}
k прин
Z. S1=a1=1
S2=a1+a2=1+3=4
S3=a1+a2+
a3=1+3+5=9
S4=a1+a2+
a3+
a4=1+3+5+9=16
Sn=
a1+a2+..+an=(a1+an)n/2=
a1+an+(n-1)d*n/2=
1+1+(n-1)2*n/2=n2.
{Sk}
1,4,9,16,..,n2
=>
ряд расх-ся■. Пример2:
an=(-1)n
Рассмотрим послед-ть частичных сумм
S1=-1
S2=-1+1=0
S3=-1+1-1=-1
S4=0
{Sk}=-1,0,-1,0
предела не сущ. =>
ряд
расх-ся■.
Пример3:
an=(1/2)n
геом.
прогр.
S1=1/2
S2=1/2+1/4=3/4
S3=1/2+1/4+1/8=7/8
S4=1/2+1/4+1/8+1/16=15/16
Sn=a1(1-q)n/(1-q)=(1/2)*(1-1/2)/(1/2)n
{Sk}=1/2,3/4,7/8,15/16,..,(1-1/2)n=1
=1.
■ Замечание:
Зная все
частичные суммы можно восста-ть вид
ряда. a1=S1
a2=S2-S1
a3=S3-S2
… an=Sn-Sn-1
■ Исследование
поведения ч. рядов сводится к исследованию
поведения их сумм. ■
1)Т1.(необходимые
условия): Если числовой ряд
(1)
– сходится то
.Док-во:
an=Sn-Sn-1
т.к. ряд сходится
;
=>
=
=
.
Замечание:
Условие является только необходимым
но не достаточным: если
не следует что ряд сходится, но если
или
не существует, то ряд расходится.Пример:
,
не
существует => ряд расходится.
2)Т2:
пусть
и
-сходятся,
тогда сходится и ряд
=
+
=>
справедливо только для сходящихся.
Док-во:
Sn=
;
σn=
,
тогда
=
Пусть
и
тогда
= (свойства пределов)=
=
αS+βσ.
3)Опр:
Rn=
-
остаток ряда (составлен из Sn
– частичных сумм), т.е. Rn=
-
Т3.
(Об остатке): Если ряд сходится, то
.
Док-во:
,
тогда по опред. Rn=S-Sn
;
=
=
=0.
Утверждение: отбрасывание конечного числа членов ряда не виляет на его сходимость.
4)Т4.(Критерий
Коши):
;
ряд сходится.
Док-во:
т.к. исследование сходимости рядов
эквивалентно исследованию сходимости
последовательностей {Sn},
то из кр.Коши для последовательностей
=> кр.Коши для рядов.
{Sn}
– сходится.
=
=
Замечание:
ряд расходится
Пример:
-
гармонический ряд. n’=n;
p’=n;
ε0=1/2.
=
.
(по кр.Коши) ряд расходится.
-
расходится.