
- •5.Разложение на простые дроби. Pn(X)/Qm(X)
- •6.Метод Остроградского.
- •9. Интегралы вида вычисляются при помощи подстановок Эйлера.
- •Окончательно.
- •10.Интегралы вида :
- •11.Рассмотрим функцию f(X), определенную в каждой точке сегмента [a,b].
- •13. Интегрируемость непрерывной функции или кусочно-непрерывной.
- •14. Линейность определённого интеграла.
- •Для того чтобы доказать это равенство сформулируем и докажем лемму:
- •Теорема
- •Следствие 1
- •Следствие 2
- •Следствие 3
- •Следствие доказано
- •Следствие доказано
- •Рассмотрим интегральную сумму
- •16. Вычисление определенного интеграла. Формула Ньютона-Лейбница.
- •Интегрирование по частям, замена переменных в определенном интеграле.
- •17.Формулы прямоугольников и трапеций для приближенного вычисления интегралов. Оценка погрешности.
- •20.Плоской фигурой q называется часть плоскости, ограниченная простой замкнутой кривой l. При этом кривую l будем называть границей фигуры q.
- •Если рассмотрим обе формулы площадей вместе, получим
- •Площадь плоской фигуры.
- •Площадь криволинейной трапеции
- •Площадь криволинейного сектора
- •Площадь фигуры ограниченной спрямляемой прямой в параметрическом виде
- •Объем тела вращения
- •Площадь поверхности вращения
- •Необходимость
- •Достаточность
- •Замечание
- •Утверждение
- •Доказательство
- •23. Несобственные интегралы 1,2-го рода, сходимость. Сходимость интегралов вида
- •24. Признаки Абеля и Дирихле для несобственных интегралов.
- •25.Признак сходимости (Достаточное условие)
- •26.Числовой ряд. Сходимость и расходимость числового ряда. Необходимый признак сходимости.
- •27. Интегральный признак Коши.
- •28. Признак сравнения для числовых рядов. Предельный признак сравнения.
- •Признак Коши.
- •31.Интегральный признак сходимости числовых рядов.
- •32.Признак Лейбница (не все)
- •33. Абсолютная и условная сходимось.
- •Теорема Если ряд (1) абсолютно сходится и имеет сумму s, то ряд (3) также сходится абсолютно и имеет ту же самую сумму.
- •1. Понятие функциональной последовательности и функционального ряда.
- •2.Сходимость функциональной последовательности в точке и на множестве.
- •3. Понятие равномерной сходимости на множестве.
- •4. Критерий Коши.
- •Доказательство теоремы 1.1.
- •1) Необходимость.
- •2) Достаточность.
- •3.2 Признак Вейерштрасса.
- •Доказательство:
- •3.3 Признаки равномерной сходимости Абеля и Дирихле
- •Доказательство
- •Доказательство
- •Утверждение
- •Теорема Абеля
- •Аналитическая функция (единственность). Ряд Тэйлора.
- •Утверждение
23. Несобственные интегралы 1,2-го рода, сходимость. Сходимость интегралов вида
,
.
Несобственные интегралы. где ∞<a<b<∞ f(x) – ограниченна
Несобственные
интегралы 1-го рода (одна из границ ∞):
Несобственные
интегралы 2-го рода (по неограниченной
функсии):
Несобственные интегралы 1-р: f(x) – C[a,+∞] и И[a,b] для любого А [a,+ ∞]
б.говорить, что
несобственный интеграл
сохраняется если
,
расходится если
.
аналогично можно
определить сходимость (расходимость)
интеграла вида:
аналогично можно
определить сходимость (расходимость)
интеграла:
сходится, если
сходится каждый из интегралов справа,
т.е.
б.говорить, что
интеграл сходится в смысле главного
значения (по Коши) если
УТВ: Если интеграл сходится то он сходится и в V.P.(по Коши), обратное не верно
Несобственные интегралы 2-р: f(x) – С[a,b] и И[a,c] и a<c<b.
б.гов-ть, что
несобственный интеграл
сохраняется если
,
расходится если
,=∞
аналогично можно определить сходимость (расходимость) интеграла если а – особая т.
Если
где
особенность в т. с, то
и каждый исследовать на сходимость.
Если хотя бы один из них расходится то
расходится и исходный интеграл.
ОПР: б.гов-ть., что
сходится в V.P.
если
УТВ: Сходимость в обычном смысле => сходится по Коши, обратное не верно.
Пусть f(x) ограничена и определена на множестве [a; +∞), так, что для любого b из промежутка [a; +∞),
f R[a;b]
О: рассмотрим выражение
b +∞
Lim ∫f(x)dx = ∫f(x)dx
b+∞ a a
если такой предел существует и конечен, то интеграл от функции сходится, а предел называется несобственным интегралом первого рода.
+∞ +∞
Пр: 1. ∫dx/x² 2. ∫dx/(x²+x-2)
1 2
Пусть f(x)-интегрируема и огран. на [a+c;b], но не интегрируема на [a;b], то по опред.
b b
Lim ∫f(x)dx = ∫f(x)dx
b c+0 a+с a
то ∫f(x)dx называется несобственным интегралом второго рода.
a
+∞ 1 3
Пр: 1. ∫(arctg(ax)/xⁿ)dx, при x0 2. ∫dx/x 3.∫[(³√(x²-x-2)²)/(x-2)]dx
0 0 1
Метод
интегрирования по частям:
.
Замеч.1:
Замеч.2:
Если сход-ся любой из
или
то
сход. другой. Замеч.3:
Анало-но можно применять методы замены
и по частям для интегралов 2 рода. (b-
особ. тчк)
.
-
удов. всем усл. Т. Только
.
(b-ос. тчк)
.
■