23. Несобственные интегралы 1,2-го рода, сходимость. Сходимость интегралов вида

, .

Несобственные интегралы. где ∞<a<b<∞ f(x) – ограниченна

Несобственные интегралы 1-го рода (одна из границ ∞):

Несобственные интегралы 2-го рода (по неограниченной функсии):

Несобственные интегралы 1-р: f(x) – C[a,+∞] и И[a,b] для любого А [a,+ ∞]

б.говорить, что несобственный интеграл сохраняется если , расходится если .

аналогично можно определить сходимость (расходимость) интеграла вида:

аналогично можно определить сходимость (расходимость) интеграла:

сходится, если сходится каждый из интегралов справа, т.е.

б.говорить, что интеграл сходится в смысле главного значения (по Коши) если

УТВ: Если интеграл сходится то он сходится и в V.P.(по Коши), обратное не верно

Несобственные интегралы 2-р: f(x) – С[a,b] и И[a,c] и a<c<b.

б.гов-ть, что несобственный интеграл сохраняется если , расходится если ,=∞

аналогично можно определить сходимость (расходимость) интеграла если а – особая т.

Если где особенность в т. с, то и каждый исследовать на сходимость. Если хотя бы один из них расходится то расходится и исходный интеграл.

ОПР: б.гов-ть., что сходится в V.P. если

УТВ: Сходимость в обычном смысле => сходится по Коши, обратное не верно.

Пусть f(x) ограничена и определена на множестве [a; +∞), так, что для любого b из промежутка [a; +∞),

f  R[a;b]

О: рассмотрим выражение

b +∞

Lim ∫f(x)dx = ∫f(x)dx

b+∞ a a

если такой предел существует и конечен, то интеграл от функции сходится, а предел называется несобственным интегралом первого рода.

+∞ +∞

Пр: 1. ∫dx/x² 2. ∫dx/(x²+x-2)

1 2

Пусть f(x)-интегрируема и огран. на [a+c;b], но не интегрируема на [a;b], то по опред.

b b

Lim ∫f(x)dx = ∫f(x)dx

b c+0 a+с a

то ∫f(x)dx называется несобственным интегралом второго рода.

a

+∞ 1 3

Пр: 1. ∫(arctg(ax)/xⁿ)dx, при x0 2. ∫dx/x 3.∫[(³√(x²-x-2)²)/(x-2)]dx

0 0 1

_{Метод интегрирования по частям: . Замеч.1: Замеч.2: Если сход-ся любой из или то сход. другой. Замеч.3: Анало-но можно применять методы замены и по частям для интегралов 2 рода. (b- особ. тчк) . - удов. всем усл. Т. Только . (b-ос. тчк) . ■}