Необходимость

Пусть фигура E кубируема, т.е. =V= . Так как и - точные верхняя и нижняя грани множеств {V_i} и {V_d} то для любого числа >0 можно указать такой вписанный в фигуру E многогранник, объем V_d которого отличается от =V меньше чем на /2, т.е. V-V_i</2 . Для этого же >0 можно указать такой описанный многогранник, площадь V_d которого отличается от =V меньше чем на /2, т.е. V_d-V</2. Складывая полученные неравенства найдем, что V_d-V_i<.

Достаточность

Пусть V_d и V_i – объемы многогранников, для которых V_d-V_i<. Так как V_i V_d , то - <. В силу произвольности  отсюда вытекает, что = . Таким образом, фигура E кубируема.

Теорема доказана.

Будем называть цилиндром тело, ограниченное цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными некоторой оси, и двумя плоскостями, перпендикулярными этой оси. Эти плоскости в пересечении с цилиндрической поверхностью образуют плоские фигуры, называемые основаниями цилиндра, а расстояние h между основаниями называется высотой цилиндра.

Если основанием цилиндра E является квадрируемая фигура Q, то цилиндр представляет собой кубируемое тело, причем объем V цилиндра E равен Ph, где P – площадь основания Q, а h – высота цилиндра.

Доказательство

Так как фигура Q квадрируема, то для любого положительного числа  можно указать такие описанный и вписанный в эту фигуру многоугольники, разность S_d-S_i площадей которых будет меньше /h. Объемы V_d-V_i призм с высотой h, основаниями которых служат указанные выше многоугольники, равны соответственно S_dh и S_ih. Поэтому . Так как эти призмы являются соответственно описанным и вписанным в рассматриваемое тело E многогранниками, тело E кубируемо (на основании теоремы, доказанной выше). Поскольку , то объем цилиндра равен Ph.

Доказано.

Замечание

Если для любого положительного числа  можно указать такое описанное вокруг тела E ступенчатое тело и такое вписанное в E ступенчатое тело, разность V_d-V_i объемов которых меньше , то тело E кубируемо.

Утверждение

Пусть функция непрерывна на сегменте [a, b]. Тогда тело E, образованное вращением вокруг оси Ox криволинейной трапеции, ограниченной графиком функции , ординатами в точках a и b и отрезком оси Ox от a до b, кубируемо и его объем V может быть найден по формуле:

Доказательство

Пусть T- разбиение сегмента [a, b] точками , m_i и M_i – точные грани на сегменте [x_i-1, x_i]. На каждом таком сегменте построим два прямоугольника с высотами m_i и M_i. мы получим две ступенчатые фигуры, одна из которых содержится в криволинейной трапеции, а другая содержит ее. При вращении криволинейной трапеции и этих ступенчатых фигур мы получим тело E и два ступенчатых тела, одно из которых содержится в E, а другое содержит E. Объемы V_i b V_d этих ступенчатых тел равны соответственно

и

_{очевидно, эти выражения представляют собой верхнюю и нижнюю суммы для функции . Так как эта функция интегрируема, то разность указанных сумм для некоторого разбиения T сегмента [a, b] будет меньше данного . Следовательно, тело E кубируемо. Поскольку предел указанных сумм равен , то объем V тела E может быть найдена по формуле:}