10. Група перетворень подібності площини та її підгрупи. Застосування перетворень подібності до розв’язування задач.

Озн: Перетворенням подібності площин з коефіцієнтом подібності k>0 анз. таке перетворення площини коли т.М , так, що вик. співвідношення -(1), k-коефіцієнт подібності. .

Якщо k=1, то - рух.

Рух є частковим випадком пертв. подібності, другим частковим випадком є гомотетія.

Озн: Гомотетією з центром М₀ і наз. таке перетворення площини при якому т.М , так що = (2). М₀-центр.

Якщо k>0, гомотетія наз. першого роду(додатня). Якщо k<0, гомотетія є від’ємна. При k>0, М і М^/ лежать по один бік від М₀, а при від’ємній k<0 по різні боки від М₀. Властивості гомотетії:

1.Гомотетія визначається повністю центром гомотетії і k, центром гомотетії і парою відповідних точок.

2.При гомотетії зберігається просте відношення трьох точок.

3.Пряма проходить у паралельну пряму, відрізок у паралельний відрізок, промінь у паралельний промінь.

4.Гомотетія з коеф. є перетворення подібності з коефіцієнтом .

Д-ня: = , (3)

5.Кут переходить у рівний кут.

6.Відємна гомотетія є композиція додатної гомотетії і центральної симетрії відносно центра гомотетії.

а) Розглянемо: центр гомотетії збігається з початком координат.

, М(х,у), М^/(х^/,у^/). = , =(х,у), =(х^/,у^/).

б)Нехай центр гомотетії є довільна точка М_0.

_{= ,} (х-х₀,у-у₀),

(х^/-х₀,у^/-у₀).

Множина всіх гомотетій із спільним центром утв. рух.

Перетворення оберненої до даної гомотетії є гомотетія з коефіцієнтом 1/k, таким чином множина всіх гомотетій із спільним центром утв. групу.

Знайдемо формули аналітичного вираження перетворення подібності.

Теорема Всяке перетворення подібності є композицією гомотетії і руху.

Д-ня: Нехай при перетворені т.М і т.N переходять у точки М^/ і N^/ відповідно, маємо що . Розглянемо гомотетію з центром М₀ і k.

, за властивістю 4 маємо.

Отже, перетворення, яке переводить точки М^// у М^/, N^// у N^/ є рух. ,

Використовуючи теорему запишемо формули і центр гомотетії є початок координат. ,

Знайдемо композицію гомотетії і руху

Якщо -перетворення подібності 1-го роду, якщо перетворення 2-го роду.

Зауваження: Множина всіх перетворень подібності утв. групу підгрупами, якої є група гомотетії і руху.

Дві фігури Ф і Ф₁ наз. подібними, якщо існує перетворення фігури Ф у Ф₁.

11. Група афінних перетворень площини і її підгрупи. Застосування афінних перетворень до розв’язування задач.

Нехай маємо 2 репери і і точки і .

Афінним перетворенням площини наз. таке перетворення, при якому афінний репер переходить в афінний репер , т. у т. , так, що т. відносно репера має такі координати як і точка відносно репера .

– образ; – прообраз.

Властивості:

1. Зберігається просте відношення трьох точок;

2. Зберігається відношення “лежати між”;

3. Пряма переходить у пряму;

4. Множина всіх афінних перетворень площини утворює групу.

Знайдемо формули аналітичного задання афінного репера.

Розглянемо репери і і точку (не приймаючи до уваги т. ). Маємо перетворення афінного репера:

– формули перетворення афінної системи координат.

Розглянемо репер і точки і . Ті ж самі формули виражають зв'язок між координатами точок образу і прообразу відносно одного і того ж репера , тому ці ж самі формули і є формулами афінного перетворення площини.

В залежності від того, які репери і розглядати, можна отримати різні афінні перетворення.

Гомотетія, перетворення подібності, рух є афінними перетвореннями. Афінне перетворення є стиск площини.

Група афінних перетворень є найпершою групою, підрупами якої є підгрупи гомотетії.