3. Скалярний добуток векторів. Застосування скалярного добутку векторів до розв’язування задач.

Означення. Кутом між двома ненульовими векторами називають кут між відповідними їм напрям­леними відрізками, які виходять з однієї точки.

Від вибору цієї точки міра розглядуваного кута не залежить. Вважають, що кут між протилежно на­прямленими векторами дорівнює 180°, а між співнапрямленими — 0°.

Тепер введемо поняття скалярного добутку двох векторів простору.

Означення. Скалярним добутком двох векторів на­зивається добуток довжин цих векторів на косинус кута між ними.

Якщо кут між векторами і дорівнює φ, то їх скалярний добуток

Якщо хоч один з векторів або нульовий, то

Приклад застосування скалярного добутку векторів відомий з Фізики. Механічна робота А, яку виконує стала сила при переміщенні , дорівнює скалярному добутку даних векторів:

Застосовується це поняття і в геометрії. З означен­ня скалярного добутку векторів випливає, що відрізки перпендикулярні тоді і тільки тоді, коли скалярний добуток векторів дорівнює нулю

(ознака перпендикулярності векторів). Важливі й інші наслідки. Щоб користуватися ними, треба знати влас­тивості скалярного добутку векторів.

Теорема 26. Скалярний добуток векторів дорівнює

Доведення. Відкладемо дані вектори і від початку координат. Їм відповідають на­прямлені відрізки і , кінці яких і . Якщо дані вектори не колінеарні, то — трикутник. За теоремою косинусів

звідки

(*)

Виразимо квадрати довжин векторів через їх координати:

Тому

Співвідношення (*) справедливе і для кутів φ, що дорівнюють 0° або 180°. Адже у першому з цих випадків

а у другому

Отже, теорема, яку доводимо, справедлива і для колінеарних векторів. Завжди

Задачі. 3найдіть кут між векторами і

Доведіть, що трикутник з вершинами в точках А(2;1;3), В(7;4;5) і С(4;2;1) прямокутний.

4. Векторний добуток векторів. Застосування векторного добутку до розв’язування задач.

Розглянемо у просторі 2 вектори . Векторним добутком 2-х векторів назив. вектор, який позначається так: і задовольняє наступні умови:

–однаково орієнтовані.

Теорема: якщо дано 2 вектори

, то

.

Дов.: Нехай , тоді із за умови 2 означення позначивши координати вектора маємо:

(1), отримавши однорідну с-му 2-х рів-нь і 3-х невідомих, с-ма має безліч розв’язків.

. Знайдемо параметр , для цього скористаємося 3-ю умовою означення. Оскільки однаково орієнтовані то визначник матриці переходу від базису

, розкладемо визначник по елементам 3-го рядка:

, замість , підставимо їхні значення:

Скористаємося 1-ю умовою:

Знайдемо іншим шляхом

, зробивши відповідні перетворення під знаком кореня у першому і другому випадку отримаємо той самий вираз

Властивості:

– не комутативний.

– дистрибутивний закон

Добуток 2-х ненульових векторів =0 тоді і тільки тоді коли вектори колінеарні.

Якщо один з векторів є 0-вектор, то векторний добуток =0.

Застосування векторного добутку:

Для обчислення кута між векторами.

Для доведення колінеарності двох векторів.

Для обчислення площі паралелограма.

Для обчислення площі трикутника.

Для обчислення моменту сили у фізиці.

5. Мішаний добуток векторів. Застосування мішаного добутку векторів до розв’язування задач.

Розглянемо 3 вектори:

Мішаним добутком 3-х векторів взятих в такому порядку назив. скалярний добуток вектора на векторний добуток векторів . Мішаним добутком 3-х векторів є число.

Т: Якщо , то мішаний добуток векторів .

Доведення: обчислимо спочатку векторний добуток:

.

Вл. випливають із вл. визначників:

Сталий множник можна винести за знак мішаного добутку

Мішаний добуток дистрибутивний

.

Мішаний добуток 3- ох ненульових векторів =0 тоді і тільки тоді коли вектори є компланарними.

Модуль мішаного добутку чисельно = об’єму паралелепіпеда побудованого на даних векторах як на ребрах.

Застосування:

для доведення компланарності векторів

для обчислення об’єму паралелепіпеда.

для обчислення об’єму тетраедра