Интеллектуальные информационные системы

Вопрос 53. Нечеткие множества, нечеткие отношения и операции над ними.

Нечеткое множество – отображение - функция принадлежности нечеткого множества А.

- степень принадлежности х нечеткого множества А.

– промежуточная степень принадлежности.

Вывод: элементы нечеткого множества обладают некоторым свойством в различной степени в отличие от классического множества, в котором элемент либо принадлежит либо не принадлежит множеству.

Обычное классическое множество – бинарное множество.

Пример: А – «высокий коэффициент рентабельности». Этот коэффициент можно задать графически.

Операции:

1. объединение (дизъюнкция «ИЛИ»)

2. пересечение A и B есть D (конъюнкция «И»)

3. дополнение к нечеткому множеству А – отрицание («НЕ»)

Сохраняется свойство: коммутативность, ассоциативность, дистрибутивность, законы Де Моргана.

Не сохраняется: свойство исключенного третьего

Нечеткое отношение.

Пусть U и V – два универсальных множества, нечеткое отношение задается в виде:

1. для задания нечеткого отношения необходимо указать пары (U,V) однозначно связанные отношением R, .

2.указать пары (U,V) которые однозначно не связанны отношением R,

3. (U,V) имеющие промежуточную степень

Операции:

1. объединение (дизъюнкция «ИЛИ»)

2. пересечение A и B есть D (конъюнкция «И»)

3. дополнение к нечеткому множеству А – отрицание («НЕ»)

4.композиция нечетких отношений

Вопрос 54. Нечеткий логический вывод: база нечетких правил, введение нечеткости, нечеткая импликация, композиция, приведение к четкости; алгоритм Мамдани.

Основой для проведения операции нечеткого логического вывода является база правил, содержащая нечеткие высказывания в форме "Если-то" и функции принадлежности для соответствующих лингвистических термов. При этом должны соблюдаться следующие условия:

1. Существует хотя бы одно правило для каждого лингвистического терма выходной переменной.

2. Для любого терма входной переменной имеется хотя бы одно правило, в котором этот терм используется в качестве предпосылки (левая часть правила).

В противном случае имеет место неполная база нечетких правил.

Пусть в базе правил имеется m правил вида: 

R₁: ЕСЛИ x₁ это A₁₁ … И … x_n это A_1n, ТО y это B₁

…

R_i: ЕСЛИ x₁ это A_i1 … И … x_n это A_in, ТО y это B_i

…

R_m: ЕСЛИ x₁ это A_i1 … И … x_n это A_mn, ТО y это B_m,

где x_k , k=1..n – входные переменные; y – выходная переменная; A_ik – заданные нечеткие множества с функциями принадлежности.

Результатом нечеткого вывода является четкое значение переменной y^* на основе заданных четких значений x_k, k=1..n.

В общем случае механизм логического вывода включает четыре этапа: введение нечеткости (фазификация), нечеткий вывод, композиция и приведение к четкости, или дефазификация (см. рисунок 5).

Рисунок 5. Система нечеткого логического вывода.

Алгоритмы нечеткого вывода различаются главным образом видом используемых правил, логических операций и разновидностью метода дефазификации. Разработаны модели нечеткого вывода Мамдани, Сугено, Ларсена, Цукамото.

Рассмотрим подробнее нечеткий вывод на примере механизма Мамдани (Mamdani). Это наиболее распространенный способ логического вывода в нечетких системах. В нем используется минимаксная композиция нечетких множеств. Данный механизм включает в себя следующую последовательность действий.

1. Процедура фазификации: определяются степени истинности, т.е. значения функций принадлежности для левых частей каждого правила (предпосылок). Для базы правил с m правилами обозначим степени истинности как A_ik(x_k), i=1..m, k=1..n.

2. Нечеткий вывод. Сначала определяются уровни "отсечения" для левой части каждого из правил:

Далее находятся "усеченные" функции принадлежности:

3. Композиция, или объединение полученных усеченных функций, для чего используется максимальная композиция нечетких множеств:

где MF(y) – функция принадлежности итогового нечеткого множества.

4. Дефазификация, или приведение к четкости. Существует несколько методов дефазификации. Например, метод среднего центра, или центроидный метод:

.

Алгоритм Мамдани

Предположим, что базу знаний образуют два нечётких правила:

П1: если х есть А1 и y есть В1, то z есть С1,

П2: если х есть А2 и y есть В2, то z есть С2,

где х и у - имена входных переменных, z - имя переменной вывода, А1, А2, В1, В2, С1, С2 - некоторые заданные функции принадлежности, при этом чёткое знание z0 необходимо определить на основании приведённой информации и чётких знаний x0, y0.

Данный алгоритм математически может быть описан следующим образом.

1. Нечёткость: находятся степени истинности для предпосылок каждого правила: А1(х0), А2(х0), В1(х0), В2(х0).

2. Нечёткий вывод: находятся уровни отсечения для предпосылок каждого из правил (с использованием операции минимума):

где через "^" обозначена операция логического минимума.

Затем находят усечённые функции принадлежности:

3. Композиция: с использованием операции max (обозначенной как "v") производится объединение найденных усеченных функций, что приводит к получению итогового нечёткого подмножества для переменной выхода с функцией принадлежности 

4. Приведение к чёткости (для нахождения z0) производится, например, центроидным методом (как центр тяжести для кривой функции принадлежности):