Вопрос 38. Симплексный метод решения задач линейного программирования

Для канонической формы записи разработан об­щий алгоритм решения задач линейного программи­рования, называемый симплексным методом.

Практические расчеты при решении реальных за­дач симплексным методом выполняются в настоящее время с помощью компьютеров. Однако если расче­ты осуществляются без ЭВМ, то удобно использовать симплексные таблицы.

Для определенности считаем, что решается задача на максимум, то есть:

x_j ≥ 0

j =

1) Приведем стандартный вид к каноническому. Для этого введем m штук (по количеству неравенств в системе ограничений) дополнительных неотрицательных переменных (х_n+1; x_n+m). Получим следующую систему:

Эта система называется расширенной.

2) Исходную расширенную систему заносим в пер­вую симплексную таблицу:

Базис	Сво­бод­ные члены	Переменные							О.О
		x1	х2		xn	xn+1		xn+m
xn+1	b1	a11	a12		a1n	1		0
xn+2	b2	a21	а22		a2n	0		0
xn+m	bm	am1	am2		amn	0		1
F	0	-с1	-c2		-cn	0		0

Последняя строка называется оценочной строкой.

Далее таблица преобразуется по определенным правилам.

3) Проверяем выполнение критерия оптимальности.

Если в оценочной строке отсутствуют отрицатель­ные элементы, то найденное решение является опти­мальным (для задачи на max). Достигнут максимум (в левом нижнем углу таблицы). Базисные переменные принимают значения, записанные во втором столбце, остальные переменные равны нулю.

4) Если критерий оптимальности не выполнен, то наибольший по модулю отрицательный коэффициент с_i<0 в оценочной строке определяет разрешающий столбец S.

Составляем оценочные отношения каждой строки по следующим правилам: делим построчно столбик b_i на столбец S и получаем:

• ∞, если b_i и a_is имеют разные знаки;

• ∞, если b_i=0 и a_is<0;

• ∞, если a_is= 0;

• 0, если a_is> 0 и b_i= 0;

• , если b_i и a_is имеют одинаковые знаки.

Вместо ∞ в оценочных отношениях можно ставить просто прочерк (-).

Далее определяем минимум оценочных отношений (среди ненулевых). Если конечного минимума нет, то задача не имеет конечного оптимума (F_max= ∞).

Если минимум конечен, то выбираем строку q, на которой он достигается (любую, если их несколько), и назовем ее разрешающей строкой.

На пересечении разрешающей строки и разрешаю­щего столбца находится разрешающий элемент а_qs.

5) Переход к следующей таблице осуществляется по правилам:

а) в крайнем левом столбце записываем новый ба­зис: вместо переменной х_q записываем переменную х_s, а остальные переменные базиса остаются нетронутыми;

б) в столбцах, соответствующих базисным переменным, проставляем: 1 против «своей» базисной переменной, 0 против «другой» базисной переменной; 0 в оценочной строке для всех базисных переменных;

в) новую строку под номером q получаем из разрешающей строки делением всех ее элементов на разрешающий элемент а_qs;

г) все остальные элементы таблицы a_ij вычисляем по правилу прямоугольника:

a_ij = a_ij – a_ij∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙a_is

b_i = b_i – a_qj∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙∙a_qs

6) Далее возвращаемся к пункту 3) этого алгоритма.