Математическая экономика Вопрос 35. Оценивание процентной ставки. Эффективная процентная ставка

1. Наращивание простых процентов

Основные термины – единичный промежуток начисления и ставка процента. Обозначим процентную ставку через . Пусть имеется начальная сумма .

При наращивании простых процентов по процентной ставке каждая следующая сумма больше предыдущей на долю от начальной суммы , т.е. на .

К концу 1-ого единичного промежутка начисления сумма . К концу 2-ого единичного промежутка начисления эта сумма возрастет еще на и станет и т.д. К концу -ого промежутка начисления наращенная сумма станет .

Таким образом, последовательность наращенных сумм есть арифметическая прогрессия с начальным членом и разностью .

Величина называется множителем наращения по простым процентам, а – наращенной суммой по схеме простых процентов.

2. Наращивание сложных процентов

При наращивании сложных процентов по процентной ставке каждая следующая сумма возрастает на долю от предыдущей. Таким образом, к концу единичного промежутка начисления сумма возрастет на долю и станет , к концу 2-ого единичного промежутка начисления эта сумма возрастет еще на долю и станет и т.д. К концу -ого промежутка начисления наращенная сумма станет .

Таким образом, последовательность наращенных сумм есть геометрическая прогрессия с начальным членом и знаменателем прогрессии .

Величина называется множителем наращения по сложным процентам, а – наращенной суммой по схеме сложных процентов.

3. Номинальная процентная ставка

На практике часто при объявлении условий финансовой операции оговаривается годовая ставка процентов и указывается количество выплат процентов в год. В этом случае используют понятие номинальной ставки, которую обозначим через .

Пусть количество выплат процентов в год равно . Тогда начисление процентов осуществляется по процентной ставке . Общее количество интервалов выплат за лет составит . В этом случае наращенная сумма определяется по формуле

.

Таким образом, номинальная ставка – это годовая процентная ставка при начислении процентов раз в год.

4. Эффективная процентная ставка

Эффективная ставка – это годовая процентная ставка, которая начисляется раз в год и дающая тот же финансовый результат, что и разовое начисление в год с использованием номинальной процентной ставки .

В этом случае должно выполняться равенство множителей наращения

.

Отсюда получаем

.

Замена в договоре номинальной ставки при начислении процентов раз в год на эффективную ставку по формуле не меняет финансовых обязательств сторон.

Вопрос 36. Кредитные расчеты. Детерменированные постоянные и возрастающие ренты

5. Расходы по обслуживанию долга

Разовую сумму по обслуживанию долга называют срочной уплатой. Срочные уплаты включают: текущие процентные платежи, средства, предназначенные для погашения (амортизации) основного долга. Таким образом, срочная уплата , где – годовые расходы по погашению основной суммы долга, – проценты по займу.

Погашение займа одним платежом в конце срока займа

Пусть займ выдан на лет под сложных годовых процентов. К концу -ого года наращенная его величина станет . Если предполагается отдать займ одним платежом, то это и есть размер данного платежа.

Погашение основного долга одним платежом в конце срока займа

Сам займ называется основным долгом, а наращиваемый добавок – процентными деньгами.

Пусть займ выдан на лет под сложных годовых процентов. За 1-й год процентные деньги составят . Если их выплатить, то останется снова только основной долг в размере . И так будет выплачиваться в конце каждого -ого года наращенные за этот год процентные деньги в размере . В конце -ого года выплаты составят величину – процентные деньги за последний год и основной долг. Общая сумма выплат за лет составит

.

Погашение основного долга равными годовыми выплатами

Пусть займ выдан на лет под сложных годовых процентов. При рассматриваемом способе его выплаты в конце каждого года выплачивается -ая доля основного долга, т.е. величина . В конце 1-ого года, кроме того, платятся проценты с суммы , которой пользовались в течение этого года, т.е. еще . Весь платеж в конце 1-ого года равен . В конце 2-ого года выплата составит и т.д. В конце -ого года платеж . Платежи образуют убывающую арифметическую прогрессию с разностью , первый член которой равен и последний член – . Общая сумма выплат за лет составит

.

Погашение основного долга равными срочными уплатами

На протяжении всего срока погашения регулярно выплачивается постоянная срочная уплата, часть которой идет на погашение долга, а другая часть – на погашение процентов за заем. Величина долга убывает после каждой выплаты.

Однако, в связи с уменьшением выплат по процентам с течением времени увеличиваются суммы, идущие на погашение основного долга. Срочная уплата равна

,

где – сумма, которая идет на погашение основного долга в году с номером , – проценты за кредит в году с номером .

Периодически выплачиваемые суммы можно рассматривать как постоянную годовую ренту, член которой определяется по формуле

,

где – размер займа.

Структура срочной уплаты, т.е. та ее часть, которая идет на погашение основного долга, и часть, которая идет на погашение процентов, имеет вид

• размер погасительного платежа в -м году:

• остаток долга на начало -ого года:

• сумма погашения долга на конец -ого года

,

где – коэффициент наращения годовой ренты, срок которой равен лет.

• выплаченные проценты на конец -ого года:

.