2.4. Основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов

Идеальный газ можно рассматривать как собрание свободно двигающихся молекул, между которыми отсутствуют силы взаимного притяжения. Сами молекулы при соударениях между собой и со стенками сосуда ведут себя как абсолютно упругие шарики конечных, но весьма малых размеров.

Реальные газы при не очень низких температурах и не сверхвысоких давлениях близки по своим свойствам и идеальному газу. Давление газа определяется ударами молекул о стенки сосуда. Попробуем вычислить его.

Рис. 2.5

Пусть сосуд, в котором находится газ, имеет форму куба со стороной l (рис. 2.5). Внутри куба беспорядочно двигаются n молекул с массой m каждая. Поскольку молекулы двигаются совершенно хаотично, то результат их ударов о стенки будет таков, как если бы молекул двигались бы прямолинейно между верхней и нижней стенками, двигалась бы между передней и задней стенками и – между левой и правой.

При ударе о стенку молекула упруго отскакивает, и ее импульс mv изменяется на величину

.

Это изменение импульса определит импульс силы, действующий на молекулу со стороны стенки. Обозначим через ΔF силу удара и через δt – время удара. Очевидно, что

.

По III закону Ньютона сила, численно равная ΔF, будет действовать на стенку. Молекула, отскочив от стенки, долетит до противоположной, отскочит от нее и вернется к первой стенке через время

.

Средняя сила , действующая на стенку за время между двумя последовательными ударами, найдется из условия, что ее импульс должен быть численно равен импульсу, действующему во время удара, т.е.

.

Учитывая это, можно записать:

, , .

Это среднее значение силы ударов одной молекулы. Но число молекул, движущихся между противоположными стенками, n', и каждая имеет свою скорость. Учтя это, запишем для средней силы , действующей на стенку:

.

Умножим и поделим полученное выражение на n'. Тогда

.

Обозначая

,

назовем полученную величину средней квадратичной скоростью. Учитывая, что , запишем:

.

Поделим левую и правую части на l², тогда слева будет давление :

.

Дробь определяет число молекул в единице объема, т.е. концентрацию:

.

И для давления получаем выражение:

.

Это и есть основное уравнение молекулярно-кинетической теории газов. Ему можно придать другой вид, умножив и поделив правую часть на 2:

.

Здесь – средняя кинетическая энергия одной молекулы.

.

(2.5)

Из последней формулы видно, что давление определяется количеством молекул в единице объема и их средней энергией поступательного движения.