1) Баланс нейтронов в размножающей среде

Уравнение переноса нейтронов есть одночастичное уравнение Больцмана, так как по сравнению с плотностью вещества в среде, плотность нейтронного газа в ней достаточно мала, вследствие чего можно пренебречь влиянием распределения нейтронов по скоростям на аналогичное распределение ядер вещества, а так же соударениями нейтронов друг с другом.

(1.1)

(1) есть распределение нейтронов в момент времени t в некоем пространстве с координатами , по энергии E и по направлениям скоростей движения нейтронов .

Отсюда видно, что есть число нейтронов в элементе объема dr c энергией , и с направлением скоростей движения вдоль орта .

Среда, в которой осуществляется перенос нейтронов, обладает макроскопическими сечениями взаимодействия для нейтронов

(1.2)

где b означает тип взаимодействия (a – поглощение нейтронов, f – деление ядра нейтроном, se – упругое рассеяние, si – неупругое рассеяние, t – полное сечение взаимодействия равное и т. д.) – ядерная плотность l-того изотопа в точке r, есть микроскопическое сечение взаимодействия b-того типа при энергии нейтрона Е с ядром l-того изотопа.

Пусть есть функция распределения вторичных нейтронов, образовавшихся в некоторой -ой ядерной реакции с l-тым изотопом по энергии E и направлению Ω, если нейтрон, вызвавший реакцию имел энергию и направление . Нормируем вероятность:

(1.3)

Запишем уравнение Больцмана

(1.4)

Производная является производной по направлению Ω. Если dx, dy, dz – проекции ds на оси координат, то, обозначив

(1.5)

Получаем

(1.6)

Далее запишем уравнение переноса нейтронов в своем обычном виде

(1.7)

Как видно, баланс нейтронов в некоем пространстве размножающей среды равен суперпозиции нескольких факторов – диффузии нейтронов, как в данное пространство, так и из него , убыли нейтронов за счет поглощения , приходу нейтронов за счет замедления из областей большими энергиями и приходу нейтронов от источника .

Метод Монте-Карло применительно к расчету размножающих сред

Решение уравнения переноса нейтронов возможно найти как численными методами, так и методом Монте-Карло. В случаях, если геометрия и материальный состав среды достаточно сложны, численные методы применять достаточно проблематично – расчет решения займет огромное количество компьютерного времени. В таком случае удобно искать решение методом Монте-Карло. Метод Монте-Карло позволяет моделировать поведение каждой частицы в некоторой системе.

1. Рождается некоторая заданная частица (пусть для простоты это будет нейтрон)

2. Определение траектории частицы в среде, от точки рождения до некоторой точки взаимодействия. Нейтрон будет двигаться в среде прямолинейно, от одной точки взаимодействия до другой, до тех пор, пока не поглотится, либо не будет выведен из симуляции другим путем.

3. Моделируется взаимодействие частицы с веществом – выбор реакции, изотопа, и т. д.

4. Определение параметров вторичных частиц, возникающих в система, если необходимо.

Собирая информацию о каждой промоделированной частице, можно определить некоторые параметры среды. Например, коэффициент размножения для нейтронов, или потоки частиц в разных точках интересной нам системы.