Загальні формули прямокутників
Якщо
відрізок інтегрування [а;b]
великий, то похибка формули (**) може
бути досить значною. Щоб цьому запобігти,
розбивають відрізок на частини і
застосовують формули до кожної з них.
Розділимо, наприклад, відрізок
інтегрування [а; b]
на m
рівних
частин: [x0;
x1],
[x1;
x2],
[x2;
x3],...,
[xm-1;
xm]
завдовжки
,
де x0=а,
xm=b.
За властивістю інтеграла маємо:
.
П
означивши
(і = 1, 2, 3, ...,
m)
і обчисливши кожний з інтегралів
(і
= 1, 2, 3, ..., m),
наприклад за формулою середніх
прямокутників, матимемо:
.
Цю формулу називають узагальненою формулою середніх прямокутників.
Аналогічно дістанемо узагальнені формули лівих і правих прямокутників.
З
геометричного погляду, якщо
,
права частина формули виражає площу
фігури, що складається із заштрихованих
прямокутників (мал.).
Гранична абсолютна похибка результату за квадратурною формулою середніх прямокутників дорівнює
,
де
-
заключна похибка округлення результату,
М2
– максимум другої похідної функції
f(x)
на проміжку [a;b].
Квадратурна формула трапецій
Розглянемо випадок квадратурної формули Ньютона — Котеса, яка має два вузли х0 = а і х1 = b (n = 1).
Тоді квадратурнa формулa трапецій матиме вигляд:
.
Квадратурну формулу трапецій легко дістати також на основі геометричних міркувань. Так, у випадку додатної функції інтеграл наближено замінюється числом, яке дорівнює площі трапеції ABCD (мал.). Звідси і походить назва формули.
Практичні оцінки точності квадратурних формул. Вибір кроку інтегрування
Розглянемо зручний спосіб визначення похибки квадратурних формул при подвійному перерахунку. Цей спосіб застосовують тоді, коли відомий порядок залишкового члена квадратурної формули відносно кроку h. Зауважимо, що точність квадратурної формули характеризується в основному порядком залишкового члена R(f) відносно степенів h. Якщо залишковий член відносно h має порядок s, тобто R(f)=0 (hs) (s – натуральне число), то квадратурна формула вважається тим точнішою, чим більше число s. Тому на практиці часто спочатку обчислюють визначений інтеграл, використовуючи розбиття на n частин проміжку інтегрування, потім аналогічну процедуру повторюють для розбиття цього ж проміжку на 2n частин. Різницю між першим і другим значенням вважають абсолютною похибкою обчислення визначеного інтеграла за однією із квадратурних формул. Як правило, це припущення виявляється істинним в переважній більшості випадків.
Приклад.
Використовуючи
методи наближеного знаходження
визначеного інтеграла знайти
Використати розбиття проміжку
інтегрування на n=2000
частин;
Розв’язання.
Наведемо приклад розв’язку поставленої задачі різними методами.
а) методом лівих прямокутників розв’язок може виглядати так:
Program liv;
Const n=2000;
var i : integer;
a, b, h, x, y, s1, S : real;
Begin
writeln (’ввести значення кінців проміжкy інтегрування’);
readln (a, b);
h:=(b-a)/n;
S:=0;
For i:=1 to n do
begin
x:=a+(i-1)*h;
y:=sqrt(17*x*x+ln(3*x));
s1:=y*h;
S:=S+s1;
end;
writeln (’S=’, S);
end.
b) методом правих прямокутників розв’язок може виглядати так:
Program prav;
Const n=2000;
var i : integer;
a, b, h, x, y, s1, S : real;
Begin
writeln (’ввести значення кінців проміжкy інтегрування’);
readln (a, b);
h:=(b-a)/n;
S:=0;
For i:=1 to n do
begin
x:=a+i*h;
y:=sqrt(17*x*x+ln(3*x));
s1:=y*h;
S:=S+s1;
end;
writeln (’S=’, S);
end.
c) методом середніх прямокутників розв’язок може виглядати так:
Program seredn;
Const n=2000;
var i : integer;
a, b, h, x, y, s1, S : real;
Begin
writeln (’ввести значення кінців проміжкy інтегрування’);
readln (a, b);
h:=(b-a)/n;
S:=0;
For i:=1 to n do
begin
x:=a+(i-1/2)*h;
y:=sqrt(17*x*x+ln(3*x));
s1:=y*h;
S:=S+s1;
end;
writeln (’S=’, S);
end.
d) методом трапецій розв’язок може виглядати так:
Program trap;
Const n=2000;
var i : integer;
a, b, h, x1, x2, y1, y2, s1, S : real;
Begin
writeln (’ввести значення кінців проміжкy інтегрування’);
readln (a, b);
h:=(b-a)/n;
S:=0;
For i:=1 to n do
begin
x1:=a+(i-1)*h;
x2:=a+i*h;
y1:=sqrt(17*x1*x1+ln(3*x1));
y2:=sqrt(17*x2*x2+ln(3*x2));
s1:=(y1+y2)/2*h;
S:=S+s1;
end;
writeln (’S=’, S);
end.