Чисельне інтегрування

Якщо для визначеної і неперервної на проміжку [а; b] функції f(х) відома первісна F(х), то визначений інтеграл можна обчислити за формулою Ньютона-Лейбніца: , де

Проте в багатьох випадках обчислити визначений інтеграл за цією формулою неможливо, оскільки знайти первісну F(х) через елементарні функції, як правило, не вдається. Навіть тоді, коли її можна визначити, вона часто має досить складний і незручний для обчислень вигляд. Крім того, на практиці підінтегральна функція часто задається таблично і в такому разі аналітичні методи просто незастосовні. У цих випадках для обчислення визначених інтегралів користуються чисельними методами.

Ч исельне інтегрування – це обчислення значення визначеного інтеграла через ряд значень підінтегральної функції та її похідних. Оскільки знаходження числового значення визначеного інтеграла (якщо f(х)0) з геометричного погляду можна тлумачити як обчислення площі криволінійної трапеції (її квадратури), обмеженої віссю Ох, прямими х=а, х=b і лінією у=f(x), то формули для наближеного обчислення визначеного інтеграла називаються квадратурними.

Найширше застосовуються квадратурні формули, які дають можливість наближено відшукувати значення інтеграла у вигляді лінійної комбінації кількох значень підінтегральної функції

, (*)

де A_k — коефіцієнти формули (дійсні числа), x_k — вузли формули.

Якщо задано деякий клас функцій і для нього будуємо квадратурну формулу типу (*), то коефіцієнти і вузли формули не повинні залежати від вибору функції f(х) з даного класу функцій.

Величина

називається залишковим членом квадратурної формули (похибкою формули).

Можливі різні підходи до побудови квадратурних формул такого типу.

Квадратурні формули прямокутників

Нехай n = 0, тоді формула набирає вигляду:

(**)

Ця формула називається формулою прямокутників. Поклавши x₀=a, або x₀=b, або , дістанемо три формули (лівих, правих і середніх) прямокутників.

Формулу прямокутників можна легко вивести на основі геометричних міркувань.

Якщо для додатної неперервної на [а;b] функції площу криволінійної трапеції, що дорівнює точному значенню інтеграла, наближено замінити площею прямокутника, висота якого f(х₀), то дістанемо формулу (**). Ці формули мають зміст для будь-якої неперервної на [а; b] функції, не обов'язково додатної. Мал. є геометричною ілюстрацією формули середніх прямокутників. Залишкові члени формул прямокутників дістанемо, якщо n = 0, тобто

Для формул лівих (х₀ = а) і правих (х₀ = b) прямокутників функція П₁(х) = х – х₀ на [а; b] не змінює знака. Якщо f'(х) неперервна, то, скориставшись теоремою про середнє, відповідно матимемо:

Для формули середніх прямокутників функція П₁(х) = х – (a+b)/2 на [а; b] змінює знак і тому скористатися теоремою про середнє не вдається. Формули прямокутників даватимуть точний результат, якщо функція f(x) на [a; b] константа.

Проте навіть з геометричних міркувань видно, що формула середніх прямокутників даватиме точний результат не тільки тоді, коли f(х) буде константою, а й тоді, коли функція у = f (х) на відрізку [а; b] буде довільною лінійною функцією Ах + В. Крім того, формула середніх прямокутників дає точний результат і для всіх непарних відносно середини відрізка [а; b] функцій f(х).