8.7. Симметричные составляющие трехфазной системы.

Выше было показано, что под симметричной системой э.д.с. и токов понимают такую систему из неравных по модулю величин, у которых все последующие величины отстают от предыдущих на угол 2/m.

Введем множитель q, то есть угол между соседними векторами- 2q/m, и если q - целое число, то, давая q значения от 0 до m-1, мы получим все возможные типы многофазных систем. Больше всего нас интересуют значения q: 0, 1, -1.

При q=1 - это известная нам симметричная система, когда на векторной диаграмме при обходе ее по часовой стрелке чередование векторов напряжений или токов фаз АВС. Если q=-1, на векторной диаграмме при обходе ее по часовой стрелке чередование векторов напряжений или токов фаз АСВ. Системы при q=1 называют прямыми системами или системами с прямым порядком следования фаз, а при q=-1 называют обратными системами или системами с обратным порядком следования фаз.

При q=0 векторы совпадают друг с другом, такие системы называют системами нулевой последовательности или нулевыми системами.

При q=1 между фазами A, B, C угол 2/3, между фазами B и C - 2/3 (рис.8.10а) и между фазами С и А - -2/3. При q=-1 (рис.8.10б) между фазами А и В угол 2/3, между В и С 2/3, между С и А угол -2/3.При q=0 (рис.8.10в) фазный сдвиг равен нулю, поэтому векторы совпадают по направлению.

Рассмотрим случай, когда в цепи нет вращающихся машин, и покажем, что любую несимметричную трехфазную систему можно разложить на три указанные составляющие, то есть :

А=А₀+А₁+А₂,

В=В₀+В₁+В₂,

С=С₀+С₁+С₂,

где А₀, В₀, С₀ - составляющие нулевой последовательности;

А₁, В₁, С₁ - составляющие прямой последовательности;

А₂, В₂, С₂ - составляющие обратной последовательности.

Рисунок 8.10.

Для определения этих составляющих необходимы еще шесть уравнений. Напомним, что буквой а обозначаем вектор, равный e ^j2/3. Присоединим к трем уравнениям еще шесть:

В₀=А₀, В₁=а²А₁, В₂=аА₁,

С₀=А₀, С₁=аА₁, С₂=а²А₁,

а²=e^j4/3, a³=e^j2=1, a⁴=a, 1+a+a²=0.

Тогда имеем:

Вычислим сумму и учтем, что А₀=В₀=С₀; А1+В1+С1=0; А2+В2+С2=0. Откуда получаем А₀= В₀ = С₀ =(А+В+С)/3.

Умножим второе уравнение на а, третье - на а² и , суммируя последние уравнения, найдем:

А+аВ+а²С=А₀+а²А₀+аА₀+А₁+а³А₁+а³А₁+А₂+А₂а²+А₂а=А₀(1+а+а²)+3А₁+А₂(1+а+а²), или:

А₁=(А+аВ+а²С)/3.

Умножим второе уравнение на а², а третье - на а и, просуммировав систему, получим:

А+а²В+аС=А₀+а²А₀+аА₀+а⁴А₁+а²А₁+А₁+А₂+а³А₂+а³А₂=А₀(1+а+а²)+А₁(1+а+а²)+3А₂,или:

А₂=(А+а²В+аС)3.

Таким образом имеем

Если система не имеет нулевого провода, то сумма линейных напряжений равна нулю, откуда А₀=0, то есть при соединении источников в треугольник получаем, что внутри треугольника нет напряжения нулевой последовательности.

При соединении звездой сумма токов всегда равна нулю. Следовательно, в этом случае нет токов нулевой последовательности.

Рассмотрим участок трехфазной четырехпроводной цепи, где полные сопротивления всех фаз одинаковы и взаимные индуктивности любой из двух фаз между собой одинаковы, равны между собой и взаимные индуктивности между любой из фаз и нейтральным проводом и включенными в него элементами цепи, то есть участок трехфазной цепи полностью симметричен.

Пусть, однако, токи, протекающие по этой цепи, образуют несимметричную систему, которую можно разложить на симметричные составляющие I₀, I₁, I₂. Пусть в цепи существуют только I₁ и I₂. Как для прямой, так и для обратной последовательности цепь симметрична и ток в нейтральном проводе равен нулю. При это комплексы эквивалентного сопротивления цепи будут одинаковы, то есть Z₁=Z₂. Токи нулевой последовательности замыкаются через нулевой провод, поэтому Z₀=Z₁=Z₂. Но все составляющие Z₀ образуют симметричную систему, поэтому падение напряжения на участке цепи также образует систему, которую можно разложить на симметричные составляющие U₀=I₀Z₀, U₁=I₁Z₁, U₂=I₂Z₂. Указанные равенства выражают независимость составляющих в симметричной трехфазной системе. Следует отметить, что если нагрузкой служит электрическая машина, то в связи с наличием вращающейся магнитной системы Z₁Z₂ даже при симметрии электрической и магнитной систем электрической машины.

В качестве примера рассмотрим применение метода симметричных составляющих для расчета однофазного к.з. в симметричной трехфазной системе.

Пусть нагрузка питается от трехфазного генератора через линию с сопротивлением в каждой фазе (рис.8.11). Напряжения на выходе генератора образуют симметричную трехфазную систему, поэтому Е₀=0, Е₁=Е₁, Е₂=0. Цепь до места короткого замыкания указанного стрелкой симметрична, а U_a, U_b, U_c, I_a, I_b, I_c несимметричны и, разлагая их на симметричные составляющие I₀, I₁, I₂ , независимо от вида короткого замыкания получим для каждой фазы(например фазы А)уравнения для составляющих:

Рисунок 8.11.

Мы имеем три уравнения, в которых 6 неизвестных. Остальные уравнения для определения неизвестных могут быть получены при следующих рассуждениях: при однофазном к.з: U_a=0, I_b=0 и I_c=0 по сравнению с током к.з. на фазе а. Поэтому Ua=0=Ua₀+Ua₁+Ua₂. Суммируя три первых уравнения, получим:

Откуда, так как I_b=0, I_c=0, то из формул для разложения I_a,b,c на симметричные составляющие, получим: Ia₀=Ia₁=Ia₂=1/3I_a. Следовательно:E=1/3I_a(Z₀+Z₁+Z₂), или:

.

Cимметричные составляющие напряжений U_a, U_b, Uc =

Напряжения других фаз прямой и обратной составляющих получим поворачивая вектор фазы А на плюс или минус 120 эл. градусов После чего по формулам перехода от симметричных составляющих к системе U_a, U_b, U_c определяются последние величины.