10.3. Обчислення числових функцій на машинах Тьюрінга

Нагадаємо, що числовою називають функцію f(x₁, ..., x_n), значеннями якої та значеннями її аргументів є невід'ємні цілі числа. Розглядатимемо часткові числові функції, тобто числові функції, визначені, загалом, не для всіх значень аргументів.

Для обчислення числових функцій на машинах Тьюрінга часто використовують спеціальне кодування чисел. Наприклад, невід'єм­не ціле число т можна задати набором з (m+1) одиниць, який позначють І^m+1. Отже, 0 задають як 1,1 —як 11,2-як 111 тощо.

Числову функцію f(x₁, …, х_n) називають обчислюваною за Тьюрінгам, якщо існує машина Тьюрінга T така, що для довільних цілих невід'ємних m₁, m₂, ..., m_n, якщо f(m₁, m₂, ..., m_n)=m, то машина Т∈ застосовною до слова і в заключній конфігура­ції на деякому відрізку стрічки буде записано слово , а решта комірок (якщо такі будуть) виявляться порожніми. Якщо ж f(m₁, m₂, ..., m_n) невизначене, то машина Т є незастосовною до слова

Приклад 10.3. Побудуємо машину Тьюрінга, яка обчислює чис­лову функцію s(x)=x+l. Зовнішній алфавіт A={Λ, 1}, множина станів Q={q₀, q₁}, а команди можна визначити так: q₁1→1Пq₁.

Робота цієї машини у разі обчислення s(1) складається з конфі­гурацій, зображених на рис. 10.4. ▲