Комп'ютерні проекти

1. Задано множину продукцій породжувальної граматики. Визначити тип цієї граматики за класифікацією Хомські.

2. (*) Задано множину продукцій контекстно вільної грама­тики і ланцюжок, який належить мові, породженій цією грама­тикою. Побудувати дерево виведення для заданого ланцюжка.

3. Автомат Мура задано таблицею станів. Побудувати вихід­ний ланцюжок за заданим вхідним ланцюжком.

4. Автомат Мілі задано таблицею станів. Побудувати вихід­ний ланцюжок за заданим вхідним ланцюжком.

5. Скінченний детермінований автомат без виходу задано таблицею станів. Визначити, чи допускає автомат заданий ланцю­жок.

6. Скінченний недетермінований автомат без виходу задано таблицею станів. Визначити, чи допускає автомат заданий ланцюжок.

(*) Скінченний недетермінований автомат без виходу задано таблицею станів. Побудувати таблицю станів скінченного детермінованого автомата, який розпізнає ту саму мову, що й заданий недетермінований автомат.

8. (*) Задано регулярний вираз. Побудувати недетермінований скінченний автомат, який розпізнає відповідну регулярну множину.

9. (*)Задано регулярну граматику. Побудувати скінченний автомат без виходу, який розпізнає мову, що породжується цією граматикою.

10. (*)Задано скінченний автомат без виходу. Побудувати регулярну граматику, яка породжує мову, розпізнавану цим автоматом.

Література

1. Брауэр В. Введениев теориюконечныхавтоматов. - М.: Радио и связь, 1987.

2. Гладкий А. В. Формальныеграмматики и языки. - М.: Наука, 1973.

3. Гладкий А. В., Мельчук И. А. Элементыматематическойлингвистики. - М.: Наука, 1969.

4. Гросс М., Лантен А. Теорияформальныхграмматик. - М.: Мир, 1971.

5. Кузнецов О. П., Адельсон-Вельский Г. М. Дискретная мате­матика для инженера. - М.: Энергоатомиздат, 1988.

6. Кук Д., Бейз Г. Компьютерная математика. - М.: Наука, 1990.

7. Хопкрофт Дж., Мотвани Р., Ульман Д. Введение в теориюавтоматов, языков и вычислений. - СПб.: Вильямc, 2002.

8. Rosen К. Н. Discrete Mathematics and Its Applications. McGraw-Hill, 2002.

Розділ 10

Основи теорії алгоритмів

План викладення матеріалу

1. Основні вимоги до алгоритмів.

2. Машини Тьюрінга.

3. Обчислення числових функцій на машинах Тьюрінга.

4. Теза Тьюрінга. Приклади алгоритмічно нерозв'язних проблем.

5. Рекурсивні функції.

6. Теза Чорча. Зв'язок рекурсивних функцій з машинами Тьюрінга.

Задачі.

Комп'ютерний проект.

Література.

10.1. Основні вимоги до алгоритмів

Поняття алгоритму є одним із головних понять математики. Гли­боке розуміння цього поняття потрібне, по-перше, для розробки конкретних алгоритмів, особливо, коли мається на меті їхнє май­бутнє програмування. По-друге, щоб орієнтуватись у великій кіль­кості алгоритмів, необхідно вміти порівнювати різні алгоритми розв'язування одних і тих самих задач, причому не тільки за якістю розв'язку, але й за характеристиками самих алгоритмів (кількість операцій, потрібного об'єму пам'яті тощо). Таке порівняння немож­ливе без уведення точної мови для пояснення цих питань. По-третє, може виникнути питання про доведення відсутності алгоритму для розв'язування певного класу задач. Отже, самі алгоритми повинні розглядатись як об'єкти точного дослідження.

Строге дослідження головних понять теорії алгоритмів почнеть­ся у наступному параграфі. Тут проаналізуємо на неформальномурівні деякі основні принципи, на яких будуються алгоритми, і з'ясуємо, що саме в понятті алгоритму вимагає уточнення.

1. Будь-який алгоритм застосовується до початкових даних, і він видає результати. У звичних технічних термінах це означає, що алгоритм має входи й виходи. Отже, алгоритм застосовують для розв'язування цілого класу задач з різними початковими даними(масовість алгоритму). Крім того, під час роботи алгоритму з'являються проміжні результати, котрі використовуються у подальшому. Таким чином, кожний алгоритм має справу з даними - вхідними, проміжними й вихідними. Оскільки збираємось уточ­нити поняття алгоритму, то потрібно уточнити й поняття даних, тобто вказати, які вимоги повинні задовольняти об'єкти, щоб алгоритми могли з ними працювати.

2. Дані для свого розташування вимагають пам'яті. Пам'ять, як правило, уважається однорідною й дискретною, тобто склада­ється з однакових комірок, причому кожна комірка може містити один символ алфавіту даних. Отже, одиниці виміру об'єму даних і пам'яті узгоджені, при цьому пам'ять може бути нескінченною. Питання про те, чи потрібна одна пам'ять, чи декілька і, зокрема, чи потрібна окрема пам'ять для кожного із трьох типів даних, вирі­шують по-різному.

3. Алгоритм складається з окремих елементарних кроків (або дій), причому множина різних кроків, з яких складений алгоритм, скінченна. Типовий приклад множини елементарних дій - система команд процесора. Зазвичай елементарний крок має справу з фіксо­ваною кількістю символів, проте є команди, які працюють з полями пам'яті змінної довжини.

4. Послідовність кроків алгоритму детермінована; тобто після кожного кроку або вказується, який крок робити далі, або викону­ється команда зупинки, після цього робота алгоритму вважається закінченою.

5. Природно від алгоритму вимагати результативності, тобто зупинки після скінченної кількості кроків (яка залежить від почат­кових даних) з зазначенням того, що вважати результатом. Зокрема, алгоритм для обчислення функції f(x) повинен зупинятись післяскінченної кількості кроків для будь-якого х з області задання функ­ціїf . У такому разі кажуть, що алгоритм збігається . Проте переві­рити результативність (збіжність) значно важче, ніж вимоги, викла­дені у пп. 1-4. На відміну від них збіжність здебільшого не вдається виявити простим прогляданням опису алгоритму Загального ж методу перевірки збіжності, придатного для довільного алгоритму А і довільних початкових даних а, взагалі не існує (див. параграф 10.4).

Потрібно розрізняти: а) опис алгоритму (інструкцію або програ­му); б) механізм реалізації алгоритму (наприклад, персональний комп'ютер), який передбачає засоби пуску, зупинки, реалізації елементарних кроків, видачі результатів і забезпечення детерміно­ваності, тобто керування перебігом обчислення; в) процес реалі­зації алгоритму, тобто послідовність кроків, яка буде породжена у разі застосування алгоритму до конкретних даних. Уважатимемо, що опис алгоритму й механізм його реалізації скінченні (пам'ять, як вже зазначалось, може бути нескінченною, але вона не входить у механізм). Вимога до скінченності процесу реалізації збігається з вимогою результативності (див. п. 5).

Отже, сформульовано основні вимоги до алгоритмів. Прості понят­тя, які використано в цих формулюваннях, самі є інтуїтивними. Тому в теорії алгоритмів використовують інший підхід: вибирають скінченний набір основних об'єктів, які називають елементарними, і скінченний набір способів побудови з них нових об'єктів. Уточненням поняття "дані" вважають множини слів у скінченних алфавітах. Для уточнення детермінізму використовують опис механізму реалізації алгоритму. Крім того, потрібно зафіксувати набір елементарних кроків і домовитись про організацію пам'яті. Після того, як це буде зроблено, одержують конкретну алгоритмічну модель.

Алгоритмічні моделі, які розглянуті у цьому розділі, претен­дують на право вважатись формалізацією поняття "алгоритм". Це означає, що вони повинні бути універсальними, тобто допускати опис будь-яких алгоритмів. Тому може виникнути природне заперечення проти запропонованого підходу: чи не призведе вибір конкретних засобів до втрати загальності формалізації? Якщо мати на увазі головні цілі, що були під час розробки теорії алгоритмів - універсальність і пов'язану з нею можливість говорити в рамках якої-небудь моделі про властивості алгоритмів взагалі, - то це запе­речення знімають так. По-перше, доводять звідність одних моде­лей до інших, тобто доводять, що будь-який алгоритм, описаний засобами однієї моделі, може бути описаний і засобами іншої. По-друге, завдяки взаємній звідності моделей у теорії алгоритмів вда­лося виробити інваріантну по відношенню до моделей систему понять, яка дозволяє говорити про властивості алгоритмів неза­лежно від того, яка формалізація алгоритму вибрана. Ця система понять ґрунтується на понятті обчислюваної функції, тобто функції, для обчислення якої існує алгоритм.

Однак, хоча загальність формалізації в конкретній моделі не втрачається, різний вибір початкових засобів призводить до моде­лей різного вигляду.

Можна виділити три основні типи універсальних алгоритміч­них моделей, які відрізняються початковими евристичними мірку­ваннями відносно того, що таке алгоритм.

Перший тип пов'язує поняття алгоритму з найтрадиційнішими поняттями математики - обчисленнями та числовими функціями (числовою називають функцію, значеннями якої та значеннями її аргументів є невід'ємні цілі числа). Найпопулярніша модель цього типу - рекурсивні функції — є історично першою формалізацією поняття алгоритму.

Другий тип заснований на уявленні про алгоритм як про деякий детермінований пристрій, здатний виконувати в кожний окремий момент лише дуже примітивні операції. Таке уявлення не залишає сумнівів в однозначності алгоритму та елементарності його кроків. Окрім того, евристика цих моделей близька до комп'ютерів. Голов­ною теоретичною моделлю цього типу (створеною у 30-х роках XX ст. - раніше комп'ютерів) є машина Тьюрінга.

Нарешті, третій тип алгоритмічних моделей - це перетворення слів у довільних алфавітах. У цих моделях елементарними опе­раціями є підстановки, тобто заміни частини слова (підслова) іншим словом. Приклади моделей цього типу - канонічні системи Поста і нормальні алгорифми Маркова.

Ми розглянемо алгоритмічні моделі двох перших типів, і почнемо з машин Тьюрінга.