Лекция 9 дифференциальное уравнение теплопроводности

Вывод дифференциального уравнения для нестационарного режима в подвижной среде с внутренними источниками теплоты в декартовой системе координат.

Рассмотрим процессы происходящие в подвижной среде с внутренними источниками теплоты (токи Фуко, парообразование, конденсация).

Выделим в подвижной среде элементарный объем в виде прямоугольного параллелепипеда со сторонами dx, dy, dz.

Запишем уравнение теплового баланса для данного случая

,

где – изменение энтальпии;

– подводимое количество теплоты;

– внутреннее изменение теплоты.

Вывод уравнения производим при следующих условиях:

q_v = const (q_v – удельная производительность внутренних источников теплоты).

 = const – коэффициент теплопроводности.

Чтобы построить математическую модель этого объекта надо все параметры увязать в одно уравнение.

Изменение энтальпии

,

где - объем; - изменение температуры во времени.

Определяем подводимое количество теплоты

- входящий поток по направлению оси x.

где - поверхность, через которую проходит тепловой поток по направлению оси x.

- количество теплоты, выходящее из элементарного параллелепипеда в направлении оси x,

где - температурный градиент.

- количество теплоты, аккумулированной элементарным объемом в направлении x.

- результирующее количество теплоты.

Запишем уравнение теплового баланса:

разделим это уравнение на , тогда:

- дифференциальное уравнение второго порядка.

- коэффициент температуропроводности является мерой теплоинерционных свойств материалов. Приводится в таблицах, определяется экспериментально.

Температура обладает полным дифференциалом, значит:

- локальная составляющая изменения температуры во времени;

- составляющая скорости по оси x;

- конвективная составляющая изменения температуры.

• дифференциальное уравнение теплопроводности в декартовой системе координат или уравнение Фурье-Кирхгофа для подвижной среды при нестационарном режиме.

Частные случаи дифференциального уравнения теплопроводности.

1. Для неподвижной среды (для твердого тела).

- без внутренних источников теплоты для трехмерного случая.

где - оператор Лапласа второго порядка (сумма вторых производных).

2. Дифференциальное уравнение теплопроводности для твердого тела в цилиндрической системе координат.

3. Простейший случай дифференциального уравнения теплопроводности для одномерного стационарного поля.

Краевые условия (условия однозначности).

Для решения дифференциального уравнения необходимы краевые условия (условия однозначности) при решении задач теплопроводности.

Краевые условия подразделяются:

Геометрические – ими задаются форма и размеры объекта;

Физические условия однозначности – задаются значения теплофизических характеристик вещества ;

1. Временные или начальные условия – для решения нестационарных задач. Задается закон распределения температуры в начальный момент времени.

4. Граничные условия – условия на границе раздела сред то есть на поверхности объекта. Подразделяются на граничные условия четырех родов.